大数定律及其在保险业中的应用

1、大数定律及其在保险业中的应用2010年9月第30卷第5期天水师范学院JournalofTianshuiNormalUniversitySep.,2010V01.30NO.5大数定律及其在保险业中的应用曹小玲f长江大学信息与数学学院.湖北荆州434023)摘要:在介绍几种常用大数定律的基础上,阐述了它们在制定保费,拟定保险单位数及减少保险个人平均危险值等方面的应用.关键词:大数定律;保费;保险单位中图分类号:F840文献标识码:A文章编号:16711351(2010)05002102我们知道.概率法则总是在对大量随机现象的考察中才能显现来.为了研究"大量"的随机现象.常常采用

2、极限的形式.这就引导到极限定理的研究.大数定律就是极限定理研究的成果之一.所谓大数定律.即是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称.1J以抛一枚硬币为例.虽然我们不能准确预言每次抛得的是正面还是反面.但若经过独立抛掷充分多次数之后.现正面的频率与0.5很接近.即在大量的随机现象里.各自的偶然性在一定程度上可以相互抵消.相互补偿.因而有可能显示某种必然的法则来.1大数定律的几种形式大数定律形式有很多.现仅介绍几种最常用的大数定律.定理1.1f切比雪夫(Chebyshev)大数定律)设随机变量.,?相互独立,它们的方差依次为,:,:,而且存在正常数,使得对一

3、切l,2,有,(k>0),则对任意给定的正常数,恒有limp喜一lnEf<=证明:利用切比雪夫不等式,有:l÷一÷,J,.(喜一.()一.(喜专Pcf砉一喜c=因为,?是一列两两相互独立的随机变量.它们的方差有界.即可得到Dl,l=J)()nk,从而有,一吉E()l嘉O.nOO.从而定律得证.切比雪夫大数定律在保险里可以说明.在承保标的数量足够大时.被保险人所交纳的纯保费与其所能获得赔款的期望值是相等的.这个结论反过来.则可说明保险人应如何收取纯保费.定理1.2(伯努利(Bernoulli)大数定律)设是n次ff努利试验fJ事件4发生的次数,p是

4、每次试验中事件4发生的概率.则对任意给定的正数s,有limPI一l<F:1(证明略)"一ll"IJ此定律表明:当Et很大时."重伯努利试验中事件发生的频率几乎等于每次试验r事件J4发生的概率.这个定理以严格的数学形式刻向频率的稳定性.因此.在实际应用中,当试验次数大时.便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.定理1.3(泊松(Poiss0n)大数定律)设在第i次试验中事件发生的概率为1,2n.EtA表示n次试验中事件4发生的次数.则有泊松大数定律表明.当独立进行的随机试验的条件变化时.频率仍然具有稳定性.即随着rz的无限增大.在凡次独立试验巾.事件的

5、频率趋于稳定在各次试验中事件发生概率的算术平均值附近.2大数定律在保险业中的应用收稿日期:20100112作者简介:曹小玲(1981一),女,湖北麻城人,长江大学信息与数学学院教师大数定律是保险业经营的一个重要数理基础21【:,l,.,<大数定律的运作.可以将个别风险单位遭遇损失的不确定性.转化为风险单位集合的损失的确定性.由于与损失金额的预测具有相关性,大数定律的运用直接关系到补偿或给付的实现程度与保险经营的稳定性.下面分成几个方面来阐述大数定律在保险业中的一些应用.2.1制定保费以切比雪夫大数定律为例.该极限定理运用到保险行业.相当于有几个投保人或被保险人.同时投保了n个相互

6、独立的保险标的,用毫表示每个标的实际发生损失的大小.其中,E(毫)为理论上每个投保人应缴纳的纯保费,为平均每个被保险人t1实际获得的赔款金额.当投保人数足够多.即一时.实际赔款金额等于理论上的纯保费21.这一定律说明在承保标的的数量足够大时.保险人收取的纯保费应与被保险人所能获得赔款金额的期望值相等.2.2计算保险单位数,假设某类保险有100个被保险单位.每个单位的损失概率为p=O.2.由于一般情况下各个被保险单位是相互独立的.所以.保险的损失次数服从二项分布,lPXb(n,P),其中n=lO0,p=O.2.设=EX,i=lfo,有,根据中心极限定理和(01)分布的t1.出现损失fn一1相关性

7、质,有:尸z号'i=lz号1-0,取=0.05,【jZ0.0252,则损失次数在区间印-z旦nV'npO-p)一,印+z旦N/np(1-p)=12,28这一范围内的概率为95%,即损失概率以95%的置信度落在区间0.12,0.281之内.这样实际损失变动与保险单位总数的比率为8%,显然出入较大.大数定律告诉我们.在有足够多的标的物(保险单位数)时,实际损失结果与预期损失结果的误差将很小.因此.若要减小实际损失变动的比率.必须增大保险单位数.例如,若我们将被保险单位数由原来的100增大为10000,同样取p=0.2,=0.05.可计算出此时的置信区间为1920,2080,实际损失

8、变动与保险单位总数的比率为0.8%,这样就大大降低了比率数.从而更有利于保险公司制定合理公正的费率.那么.应该怎样确定保险单位数呢?用.,示个被保险单位的损失的随机变量,f0.没有损失置=,由大数定律及中0极限定理知,当【1.出现损失很大时,保险的平均损失次数=喜,【p,),从而可得的一个置信水平为1一的置信区间为的比际损失变动与保险单位总数.若需要小于某个具体常数后,则可由解出n14P(17)Z2.,即可确定最Y低保险单位数.2-3降低被保险人平均危险值大数定律建立在"大数"的基础之上.即通过风险承担主体的增多.将保险产品承担的风险在更多风险单位中分摊.假设保险人承保了几

9、个危险相同,相互独立的风险单位.我们用相互独立且同分布的随机变量,表示每个保险单位的损失量,对单个被保险人而言,面临的损失是实际损失墨与期望损失E)(总体与期望值相同)的偏差,用的标准差表示.平均每个被保险人的损失与损失一,Var(X).偏差分别为旦,这样,n个保险人面临的总体损失为+,其方差为,标准差为,/O"X,而将每个被保险人看作单个个体他们所面临的危险总和为y/,O"X,显然,/r/,<几o-x.即保险人面临的整体危险小于所有单个被保险人面临的危险总和.所以.如果将凡个被保险人看成一个整体.则每个被保险人面临的平均危险随着被保险人数的增加而减少.3结语大数定律说明了大量的随机现象由于偶然性相互抵消而呈现出某种必然数量规律,作为保险业经营的一个重要数理基础.大数定律对于指导保险公司费率制定,确定最低保单数及降低每个被保险人的平均危险值等方面.都起着重要作用.参考文献:【1魏华林,林保清,主编.保险学【M】.北京:高等教育出版社,2006.2】张艳辉.