2022年人教版《二次根式的性质》公开课教案

1、第第 2 课时课时 二次根式的性质二次根式的性质 1经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜测的思想方法；(重点) 2了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算(重点，难点) 一、情境导入 a2等于什么？ 我们不妨取 a 的一些值，如 2，2，3，3，分别计算出对应的 a2的值，看看有什么规律 22 42；22 42； 32 93；32 93； 你能概括一下 a2的值吗？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的性质 【类型一】 利用 a2|a|、( a)2a 进行计算 化简： (1)( 5)2； (2) 52； (3)52； (4)(5)2. 解析： 根据二次根式的性质进行计算即可 解 ：

2、(1)(5 )2 5 ； (2)52 5 ；(3)525；(4)( 5)25. 方法总结：利用 a2|a|进行计算与化简，幂的运算法那么仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数 【类型二】 ( a)2a(a0)的有关应用 在实数范围内分解因式 (1)a213；(2)4a25；(3)x44x24. 解析： 由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式， 利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式 解： (1)a213a2( 13)2(a 13)(a 13)； (2)4a25(2a)2( 5)2(2a 5)(2a 5)； (3)x44x24(x22)2(x2)(x2)2(x 2)2(

3、x 2)2. 方法总结： 一些式子在有理数的范围内无法分解因式， 可是在实数范围内就可以继续分解因式 这就需要把一个非负数表示成平方的形式 探究点二：二次根式性质的综合应用 【类型一】 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简 实数 a，b 在数轴上的位置如以下图，化简：a122b12|ab|. 解析： 根据数轴确定a和 b的取值范围，进而确定 a1、b1 和 ab 的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解 解：从数轴上 a，b 的位置关系可知2a1，1b2，且 ba，故 a10，b10， ab0.原式|a1|2|b1|ab|(a1)2(b1)(ab)b3. 方法总结： 结合数轴利用

4、二次根式的性质求值或化简， 解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质 【类型二】 二次根式的化简与三角形三边关系的综合 a、b、c 是ABC 的三边长，化简abc2bca2cba2. 解析： 根据三角形的三边关系得出 bca， bac.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可 解：a、b、c 是ABC 的三边长，bca，bac，原式|abc|bca|cba|abc(bca)(bac)abcbcabac3abc. 方法总结： 解答此题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简 【类型三】 利用分类讨论的思想对二

5、次根式进行化简 x 为实数时，化简x22x1x2. 解析：根据 a2|a|，结合绝对值的性质，将 x 的取值范围分段进行讨论解答 解：x22x1 x2x12x2|x1|x|.当 x0 时，x10，原式1x(x)12x；当 0 x1 时，x10，原式1xx1；当 x1 时，x10，原式x1x2x1. 方法总结： 利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子 a2|a|，当 a 的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏 【类型四】 二次根式的规律探究性问题 细心观察，认真分析以下各式，然后解答问题 ( 1)212，S112， ( 2)213，S222

6、， ( 3)214，S332. (1)请用含 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出 OA10的长； (3)求出 S21S22S23S210的值 解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论， 会发现第 n 个三角形的一直角边长就是 n，另一条直角边长为 1，然后利用面积公式可得 解：(1)( n)21n1，Snn2(n 是正整数)； (2)OA11， OA22 ， OA33，OA10 10； (3)S21S22S23S210122222322102214(12310)554. 方法总结： 解题时通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解 探寻规律要认真观察、仔细思考，善

7、用联想 探究点三：代数式的定义及简单应用 按照以下程序计算，表格内应输出的代数式是_ n 立方 n n n 答案 解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可， 根据程序所给的运算可得输出的代数式为n3nnn.故答案为n3nnn. 方法总结： 根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析； (2)分清语言和图形表述中各种数量的关系； (3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式 三、板书设计 1二次根式的性质 1：( a)2a(a0)； 2二次根式的性质 2： a2a(a0) 3代数式的定义 用根本运算符号(根本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方

8、)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式 新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言， 但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识， 这样有助于他们今后的学习和生活 第 1 课时 比赛积分和行程问题 【知识与技能】 1.了解列二元一次方程组与列一元一次方程组的异同. 2.经历和体验方程组解决实际问题的过程， 了解应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 【过程与方法】 经历二元一次方程组解决实际问题的过程， 体会列二元一次方程组与列一元一次方程组的异同， 知道列二元一

9、次方程组解决实际问题的一般步骤. 【情感态度】 针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战. 【教学重点】 重点是会用列方程组解决比赛积分和行程问题. 【教学难点】 难点是在实际问题中找等量关系、 列方程组. 一、情境导入,初步认识 【情境】实物投影，并呈现问题：甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，假设同向跑，那么每隔103分钟相遇一次；假设反向跑，那么每隔 40 秒相遇一次.又知甲比乙跑得快， 求甲、 乙两人的速度.你能找出问题中所含的等量关系吗？你能列方程组解决问题吗？总结列方程组解应用题的一般步骤. 【

10、教学说明】情境中同向跑是追及问题，追及时甲比乙多跑一周；反向跑是相遇问题， 相遇时两人所跑路程之和是环形跑道的长.解：设甲的速度为 x 米/秒，乙的速度为 y米/秒.依题意， 得4040400200200400 xyxy，.解得64.xy，甲的速度 6 米/秒，乙的速度 4米/秒. 【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 问题列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么？ 【教学说明】 学生通

11、过类比一元一次方程应用的步骤，在经过观察、分析、类比后能得出结论. 【归纳结论】 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设出题中的两个未知数；找出题中的两个等量关系； 根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；解这个方程组，求出未知数的值； 检验所得结果的正确性及合理性并写出答案. 三、运用新知，深化理解 1.小明去郊游,早上 9 时下车,先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路返回到下车处,正好是下午 2 时,假设他走平路每小时走 4 km,爬山时每小时走 3 km,下山时每小时走 6 km,那么小明从上午到下午一共走的路程是 2.某校学生进行军训， 以每小时 5km的速度去执

12、行任务，出发 4 小时 12 分钟后，学校军训指挥部派通讯员骑摩托车追赶学生队伍传达新任务，用了 36 分钟赶上了队伍，求摩托车的速度. 【教学说明】 通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地稳固新知识.通过本环节的讲解与训练， 让学生对列二元一次方程组解应用题有了更加明确的认识， 同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题. x 千米. 根据题意，列方程得3660 x=5(41260+3660) 解这个方程得 x40 答：摩托车的速度为每小时 40 千米. 四、师生互动，课堂小结 1.列方程组解比赛积分和行程问题需要注意哪些问题？ 2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流. 【教学说明】 引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法， 从而将本节知识点进行很好的回忆以加深学生的印象， 同时使知识系统化. 1.布置作业：从教材第 109 页“练习和教材第 112 页“中选取. 2.完成同步练习册