2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

1、绝密启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1. 本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分。第I卷 1 至 3 页， 第H卷 3至 5 页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第I卷 -.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 (1) 设复数 z满足=i，则|z|= 1 z (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2 (2) sin20

2、 cos10 -con 160 sin 10 = (A) 3 (B)乜(C) - (D)- 2 2 2 2 (3) 设命题 P: n N, n22n，贝 S P 为 (A) n N, n22n (B) n N, n2 2n (C) n N, n2 0, (I)求an的通项公式： n W+1 (H) 设 ，求数列 的前 n 项和 (18) 如图，四边形 ABC 场菱形，/ ABC=120 , E, F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE!平面 ABCD DF 丄平面 ABCD BE=2DF AE! EC (I) 证明：平面 AECL 平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余

3、弦值 (19) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x (单位：千 元)对年销售量 y (单位：t )和年利润 z (单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣 传费 x1 和年销售量 y1 （i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一 些统计量的值。 （1）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d、,x哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣 传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （H）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y关于 x 的回归方程; 1 r (X1- x) x 1 2 1 u (w- w) x 1 2 1 r (X1- x) x

4、 1 u (y- y) 1 x 1 u (w- w ) u (y- y) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 ur 1 w =- 8 i w1 表中 w =仮1, x 1 z与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据（H）的结果回答 （i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（U1 V 1） , （ U2 v 2） （ Un Vn）,其回归线 V= U 的斜率 和截距的最小二乘估计分别为： （20）（本小题满分 12 分） 2 在直角坐标系 xoy中，曲线C: y=

5、与直线 y=ks+a(a0)交与 M,N 两点， 4 (I)当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (H) y轴上是否存在点 P,使得当 K 变动时，总有/ OPMHOPN 说明理由。 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f (X) =x3 ax -, g(x) In x 4 (I)当 a 为何值时，x 轴为曲线y f(x)的切线； (H)用min m,n 表示 m,n 中的最小值，设函数h(x) min f (x), g(x) (x 0)，讨论 h (x)零点的个数 请考生在(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。 如果多做

6、，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号 后的方框涂黑。 （皿） 以知这种产品的年利率 (22) (本题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图，AB 是。O 的直径，AC 是。C 的 Q 切线，BC 交。O 于 E (I)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 O 的切线； (| ) 若 OA二 CE 求/ ACB 的大小.？ (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系 O中。直线C1： = 2,圆C2: 1 2 2 2 1,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (I )求Ci , C2的极坐标方程； (II ) 若直线C3的极坐标方程为 R，设C2与C3的交点为M , N 4 求VC2MN的面积 (24) (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 已