2014概率习题答案

1、1 随机事件样本空间事件的关系与运算一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【C】1.在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中， 只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度to， 电炉就断电， 以E表示“电炉 断电”，而T(1)T(2)T(3)T(4)为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于(A)T(i)to.(B)T(2)to(C)T(3)to(D) T(4)to.【D】2.设事件A表示“甲种产品畅销而乙种产品滞销”，则事件A表示(A)“甲种产品滞销而乙种产品畅销” .(B)“甲、乙两种产品均畅销”.(C)“甲种产品滞

2、销”.(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.【B】3.设A, B,C是某随机试验中的三个事件，D表示“只有A发生”，则(A)D A.(B) D ABC.(C) D ABC.(D) D A(B C).【D 4.对于任意二事件A和B，与关系式ABB不等价的是 (A)A B.(B) B A.(C)AB.ABD).二、 任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数.设事件A表示“出现偶数点”， 事件B表 示“出现的点数能被3 整除”.(1)写出试验的样本点及样本空间;(2)把事件A及B分别表示为样本点的集合；(3)事件A, B, A B, AB, AB分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合.【解】(1)设Q

3、表示“出现i点”(i 1,2,6)，则样本点为W1,2,33,34,35,砸,样本空间为(2)A 32,34,36,B33,36；(3)A 3,33,35，表示“出现奇数点”；B 31,32,34,3，表示“出现的点数不能被 3 整除”；A B 32,33,34,36,表示“出现的点数能被 2 或 3 整除”；AB 36，表示“出现的点数能被 2 和 3 整除”；疋飞3,3，表示“出现的点数既不能被 2 整除也不能被 3 整除”.三、一盒中有5只外形完全相同的电子元件(分别标有号码1, 2, 3, 4, 5), 一次从中任取3只，记录所取元件的号码.(1)写出随机试验的样本点及样本空间；(2)

4、用样本空间的子集表示下列事件：A“最小号码为1”；B“号码之和为10”.【解】(1)设3jk表示“出现号码为i , j , k”(i,j,k 1,2,5;i j k),则A 123，124，125，134，135，145.四、设代B,C为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件:(1)A发生，B与C都不发生;【解】ABC；(或A(厂C)(2)A,B,C都发生；【解】ABC(3)代B,C中至少有两个发生；【解】ABC ABC ABC ABC或AB BC CA(4)代B,C中至多有两个发生.【解】ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC或A B C或ABC.2概率的古典定义概率加法定理

5、一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1.电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0,1,2, ,9中的任一个数(但第一个数不能为0)，则电话号码是由完全不同的数字组成的概率为送0.6048.A 1062.把10本书任意地放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为A AA1010.0667.153将20个球队任意分成两组(每组10个队)进行比赛，则最强的两个队恰好分在不同组内的概率为普1 0,5263.4.一盒中有20张奖票(其中只有2张有奖)，现有两人依次从盒中各抽一张奖票.第二人抽奖时不知道第一人是否中奖则第二人中奖的概率为1 0.1.5.一批产品共有200件，其中有6件次品.

6、任取3件产品恰有1件是次品的概率为213少于2件的概率为119436导0.0022.C200C2006.在区间(0,1)内随机地取两个数，则所取两数之和不超过0.5概率为1._8二、一批产品共有20件，其中一等品8件，二等品12件.现从这批产品中任取3件，求取出的产品中恰有2件等级相同的概率.【要求：使用互不相容情形的加法定理】【解】设取出的产品中恰有2件等级相同的概率为P(A),则三、 在1到100共一百个正整数中任取一个数，求这个数能被3或7整除的概率.【解】设这个数能被3或7整除的概率为P(A),则11四、 设P(A) P(B) P(C) , P(AB) P(AC) 0, P(BC)，求

7、三事件A, B, C中至少有34一个发生的概率.【解】因为P(AB) P(AC) 0,所以AB,AC，从而(AB)C,可推出P(ABC) 0,C194C632000.0856；任取3件产品没有次品的概率C3194C32000.9122；任取3件产品中次品不所求为P(A B C)3 条件概率概率乘法定理全概率公式与贝叶斯公式一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1. 设A, B是随机事件，P(A)0.7，P(B)0.6，P(B| A)0.4，贝卩P(AB)0.48.2. 设A, B是随机事件，已知P(A) 0.6,P(B) 0.5,P(A B) 0.8，则P(B A)竺.3. 设A,

8、B是随机事件，P(A)0.5,P(B)0.6,P(A|B)0.8，贝P(A B)0.二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【D 1.已知事件A发生必导致事件B的发生，且0 P(B) 1，则P(A| B)(A)1.(B)0.5.(C)0.25.(D) 0.【B2 .已知P(A)1, P(B | A)411-,P(A| B)一，则P(A32B)(A)1.1(B)1.1(C)1.1(D)1.2345【A 3.已知事件A与B满足条件P(AB) 0.2，且P(A) 0.6，则P(B|A)三、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超1111

9、3333440.75.(A)0.5.(B)0.6.(C)0.7.(D) 0.8.过两次而接通所需电话的概率.【解】设A= “拨通电话”，Bi第i次才拨通电话(i 1,2),则AB1瓦B2,故P(A) P(BJ P(B1B2)丄0.2；10 10四、试卷中的一道选择题共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的.某考 生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机 选取一个答案.设该考生会做这道题的概率为0.8. ( 1)求该考生选出此题正确答案 的概率.(2)已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率.【解】设 A：该考生选出此题正确答案,B：该生会做此题，则

10、1(1)P(A) .P(AB) P(AB) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B) 0.8 10.2 0.854五、盒中放有10个乒乓球，其中有6个是新的.第一次比赛时从盒中任取2个来用, 比赛结束后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取2个，求第二次比赛时取出的都 是新球的概率.【解】设 A：第二次比赛时取出的都是新球,Bi：第一次比赛时取出 i 个新球,P(A) .P(AB。) P(ABJ P(AB2)P(B)P(A|B) P(B1)P(A|BJ P(B2)P(A|B2)(2)P(AB) P(A)P(B | A)P(B|A)P(AB)P(A)0.80.94120.854210CZcicC

11、20CIc：C4C10C100.2074随机事件的独立性独立试验序列一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1.两射手独立地向同一目标各射击一次，假设两射手的命中率分别为0.9和0.8， 则 目标被击中的概率为0.98.2.设事件A与B独立，P(A) 0.4, P(A B) 0.7，贝卩P(B)0.5.3.一射手对同一目标独立地进行4次射击，假设每次射击命中率相同，若至少命中1次的概率为80，则该射手的命中率p -.813二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【C 1.已知A与B相互独立，且P(A) 0,P(B) 0，则下面命题不正确 的是 (A

12、)P(BA)P(B).(B)P(AB)P(A).(C)P(A) 1P(B).(D)P(AB)P(A)P(B).【D 2 . 一种零件的加工由两道工序完成，已知第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q，则该零件加工的成品率为(A) 1 p q.(B) 1 pq.(C)p q pq(D) 1 p q pq.【D 3 .某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为p(0 p 1)，则此人4次射击恰好命中2次的概率为(A) 3p(1 p)2.(B) 6p(1 p)2.(C) 3p2(1 p)2.(D) 6p2(1 p)2.三、一个工人看管三台车床，在一小时内车床需要工人照管的概率：第一台等于0.

13、1,P(X5ak)yk 2.某段高速公路每周发生交通事故的次数服从参数为3的泊松分布，则该段高速第二台等于0.2，第三台等于0.3.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率.【解】设 A： 小时内第一台车床需要工人照管,B： 小时内第二台车床需要工人照管C： 一小时内第三台车床需要工人照管 ,D： 一小时内三台车床中最多有一 台需要工人照管，则P(A) 0.1,P(B)0.2,P(C)0.3,四、电路由电池a与两个并联的电池b及c串联而成.设电池a,b,c损坏的概率分别是0.3, 0.2, 0.2，求电路发生间断的概率.【解】设入:电池 a 损坏,A2：电池 b 损坏,A3：电池 c

14、 损坏 ,B：电路发 生间断，则五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7.现 在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率.【解】设A：任何一人贡献正确意见，则P(A) 0.7,于是所求概率为5离散随机变量三个重要的离散分布一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1 .设离散随机变量X的概率分布为公路每周发生4次交通事故的概率为0.168075.(取e30.0498)3.自动生产线在调整以后出现废品的概率为p (0 p 1).生产过程中出现废品时立即进行调整.则在两次调整之间生产的合格品数X的概率分布为：

15、二、已知一批产品共20个，其中有4个次品.(1)不放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布.(2)放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布.【解】(1)设随机变量X维取出的样本中的次品数，贝 SX H (6, 4, 20)，即X的概率函 数为从而X的概率分布为01234(2)设随机变量Y为取出的样本中的次品数，则YB(6, 0.2),Y的概率函数为从而丫的概率分布为0123456三、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果每 次取出的废品不再放回去，设X表示在取得合格品以前已取出的废品数，求X的概 率分布.0,B 2.若函数f(x)1 .sinx,

16、2x I;是某个连续随机变量X的概率密度，则Ix I【解】设随机变量X为在取得合格品以前已取出的废品数，则X可能取值为 0,1,2,3 ,0123四、电话总机为300个电话用户服务.在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布 近似计算）.【解】（1）设随机变量X为一小时内使用电话的用户数，贝y X B（300,0.01）,（2）用泊松分布计算（入np 300 0.013）0.1688770.1680750.168877 随机变量的分布函数连续随机变量的概率密度一、选择填空题（在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在

17、题号前的方括号七，XI;是某个连续随机变量X的分布函数，则I1, x I相对误差为【C】1.若函数F（x）(A)(, 1).(B)(1,).(C)(,0).(D)(0,).【A】3.设Fi(x)与F2(X)分别为随机变量Xi与X2的分布函数，若函数F(X) aFi(x) bF2(x)是某随机变量的分布函数，则必有3 ,2(A)a,b5513(C)a-,b22【B 4.设随机变量X的概率密度为f(x)3X，1,已知P(Xa) P(X a),0,其它.则a二、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果每 次取出的废品不再放回，求在取得合格品之前已取出的废品数X的分布函数

18、F(X)，并 作出分布函数y F(x)的图形.【解设随机变量X为在取得合格品以前已取出的废品数，则X可能取值为 0,1,2,3 ,(A),尹(B)0,.3(Cy.(D)0, 2 .3 ,2(B)a,b5513(D)a-,b221(A)2.(B)3；-(C)13.1(D)33.20123故X的分布函数为010,x3 4,0 xF(x) 21 22,1 x219 220, 2 x1,x(3)X的概率密度为2其图形见下:33三、设连续随机变量X的分布函数为F (x) A B arcta nx,x(1)求系数A及B.(2)求X落在区间(1,1)内的概率.(3)求X的概率密度.【解】(1)由lim F(

19、x) A B (n)x20,lim F(x) Ax解得A i,Bn11即F(x)arctan x.2n(2)P( 1 X 1)F(1)F( 1)1(21arcta n1)2121arcta n(11)2f (x)F (x)1_(1 x2)四、设随机变量X的概率密度为f(x)Ae(1)求系数(2)求X落在区间(0,1)内的概率.(3)求随机变量X的分布函数.【解】(1)f (x)dx 1，得Ae xdx 2A exdx 2A 1，解得A(2)P(0 X1)111x1x0f(x)dx ?0edx ?( e1xcx-e, x 0(3)F(x) P(X x) f(x)dx,f(x) 2,-ex, x

20、0 27 均匀分布指数分布随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过.乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的.求乘客候车时间不超过3分钟的概率.【解】设随机变量X表示乘客的候车时间，则X U(0,5)，其密度函数为于是有P(0 X 3): f(x)dx30.6.5二、已知某种电子元件的使用寿命X(单位：h)服从指数分布，概率密度为任取3个这种电子元件，求至少有1个能使用1000h以上的概率.【解】设A“至少有 1个电子元件能使用 1000h 以上”A-、A、A3分别表示甲、乙、丙元件能使用 1000h 以上.则由加法公式及AI,A2, A3的独立性有【另解】设A“3 个电子元件中

21、至少有 1个能使用 1000h 以上”A“3 个电子元件中每个都不能使用 1000h 以上”，任一元件不能使用 1000 以上的概率为5故P(A) 1 P(X 1000)31 (1 e7)30.638.三、设随机变量X服从二项分布B(3, 0.4)，求下列随机变量函数的概率分布：【解】X B(3,0.4),其概率函数为X的概率分布为0123(1)Yi1 2X的概率分布为11丫2今的概率分布为011001(1)丫11 2X;(2)丫2X(3 X)2四、设随机变量X的概率密度为 求随机变量Y eX的概率密度fY(y).【解】对任意实数y, 丫的分布函数FYW)P(Y y) P(exy) P(X I

22、n y) Fx(In y)所以随机变量函数丫In X的概率密度为d1fY(y)(Fx(ln y) fx(ln y)-，dyyy ).8 二维随机变量的联合分布与边缘分布缘概率发布.一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次，设随机变量X表示第一次出现的点数，随机变量Y表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量(X,Y)的联合概率分布及Y的边fY(y)【解】X的可能取值ii 1,2,6,Y的可能取值j1,2,i j时，P(i, j)P(Xi,Yj) 0；x 1时，P(1,j)P(X1,Y、1 1j)6 6136,(j1,2),6)；x 2时，P(2,2)P(X2,Y2) -26 6236,6,p(2,j)

23、P(X 2,Y j),(j345,6)；1 1丄6 6361 33x 3时，p(3,3) P(X 3,Y3),6 6361 11p(3, j) P(X 3,Y j),(j4,5,6)；6 636二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为Y的边缘概率分布为1二、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数xyF (x, y) A(B arctan-)(Carctan).23(1) 求系数A,B,C. (2)求(X,Y)的联合概率密度.(3)求X,Y的边缘分布函数及边缘概率密度.2)1A(B 0)(C n 0 AC(B 寸)0(2)因为F(x,y) 4(arctand(arctan)，所以(X,Y)的联合概

24、率密度为x 6时，p(6,6)P(X6,Y6)1 6 _66 636【解】(1) 由F()1,F(0,)0, F(,0) 0,得1.7tA(B22 23(3)X及Y的边缘分布函数分别为11xarcta n,2n2一arctan -n3X及Y的边缘概率密度分别为(或fx(x)(Fx(x)dx(或fY(X) (FY(X)dy三、设(X,Y)的联合概率密度为(1)求系数A. (2)求(X,Y)的联合分布函数.(3)求X,Y的边缘概率密度.【解】(1)由f (x , y)dxdy 1,有A e2xdx e3ydy1A 1，解得A 6.0 06(2)(X ,Y)的联合分布函数为(3)X及Y的边缘概率密度

25、分别为fY(y)f(x,y)dx06e% F, x 0, 3e ,y 0四、设二维随机_0,_ x. 0, .0,_y _0,_变量(X,Y)在抛物线y x2与直线y x 2所围成的区域R上服从均匀分布.(1 )求(X,Y)的联合概率密度.(2)求概率P(X Y 2).【解】(1)设(X ,Y)的联合概率密度为2 x 2则由Cdxdy C dx21 xR解得C 2.故有9随机变量的独立性二维随机变量函数的分布、已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为二、设X与丫是两个相互独立的随机变量，X在0,1上服从均匀分布，丫的概率密度互独立)2dy C1(x2 x2)dx(2)P(X Y 2) f (

26、x, y)dxdyx y 22dx2dy2 21dxx2dy29(2xx3T)1327试问随机变量X和Y是否独立？请说明理由.【解】fx(X)f(x,y)dy03e xe 3ydy，0,0,0,ex,x0,0,x0,f (x, y) fx(x)fY(y),故随机变量x和丫独立.(1)求(X,Y)的联合概率密度.(2)求概率P(Y X).【解】(1)X的概率密度为fx(x)1,0,0,1,(X,Y)的联合概率密度为(注意X ,Y相0,1(2)P(Y X) f(x , y)dxdyy x1dx011 -y严严0(e221 x)dx e2dxx0三、设随机变量X与Y独立，且X,Y的概率密度分别为,求

27、随机变量Z X丫的概率密度.【解】X的概率密度为fX（y）1, x0, xfz1fx(x)fY(z x)dx0fY(Zx)dx,(1)z0时，fz(z)0；(2)0z1时，（(即0 z 1且z1 0)0z0zfzz 1fY(t)dt0fY(t)dt0dtz 1tdt0(3)1z 2时，(即1 z 2且0 z1 1)1z1zfzz 1fY(t)dt1fY(t)dttdtz 1(20 (4)2z3时,(即2 z且1z 12)2z2fzz 1fY(t)dt2fY(t)dt(2z 1t)dtt)dt3时，(即z 12),fz(z)0.z0dt012 z2器，由X,丫独立，故z令z x t，贝 Sfz(

28、z)z23z3;2 3zi；(5)z综上有Z的密度函数为fz（Z）122z，z23z12z 3z20,32921,z其它X Y的概率密度zz 1fY（t）dt四、假设一电路装有三个相同的电子元件，各元件工作状态相互独立且它们无故障工作时间都服从参数为0的指数分布.已知三个元件都无故障时电路正常工作,否则整个电路不能正常工作.试求该电路正常工作时间T的概率分布.【解】由题设，知Xj的分布函数为先求各个并联组的使用寿命Y (i 1,2,3)的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时, 第i个并联组才停止工作，所以有从而有Yi(i 1,2,3)的分布函数为设随机变量Z表示仪器使用寿命，因为当三个并联组

29、中任一个损坏时，仪器停止工作. 所以有Z min(Yi,Y2,Y3).从而有Z的分布函数为故Z的概率密度为10随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取一个.如果 取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与 标准差.【解】设随机变量X为取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0,1,2,3,即有0123X2的分布为0149故从而有二、一工厂生产的某种设备的寿命x(以年为单位)服从参数为0.25的指数分布.工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利1000元，调换一台设备厂方需花费3

30、000元.试求厂方出售一台设备的平均净赢利.14【解】由题设，概率密度为f(x)4e , x 0;0, x 0.则1进而有P(X 1)1 P(X 1) e4.设Y表示厂方出售一台设备获得的净赢利，则Y的概率分布为20001000从而有 厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为336.4元.三、设随机变量X的概率密度为求X的数学期望E(X)与方差D(X).【解】E(X) xf(x)dx：x 12dx 01n 1 x2四、设随机变量X的概率密度为f (x) -ex,x2求X的数学期望E(X)与方差D(X).【解】E(X) xf (x)dx-xe dx 02(亦可分部积分计算)11随机变量函数的数学期望

31、关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X服从二项分布Beg，求Y宁的数学期望与方差.【解】X的概率分布为0123Y的概率分布为011001Y2的分布为01于是有 二、设随机变量X的概率密度为求随机变量丫X的数学期望与方差.三、游客乘电梯从电视塔底层到电视塔顶层观光.电梯于每个整点的第20分钟从底层起行.假设一游客在上午八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上均匀分 布，记Y为该游客的等候时间.（1）写出Y与X的函数关系.（2）不求Y的概率分布, 直接利用（1）的结果求游客的等候时间的期望.【解】(1)丄,0 x6020X,0 x20f(x)60Y0,其他80X ,20 x 60(2)E(

32、Y)g（x）f(x)dx200(20 x) dx60(80 x) dx060206060201dx6060160dxx dx=300602060060【解】D （Y）E(Y2) E2(Y)2 -四、设随机变量Xi,X2, Xn相互独立，并且服从同一分布，数学期望为，方差为n2.求这些随机变量的算术平均值X1Xi的数学期望与方差.ni i一、设(X,Y)的联合概率分布如下:(1) 求X,Y的数学期望E(X),E(Y)，方差D(X),D(Y). ( 2)求X ,Y的协方差cov(X,Y)与相关系数R(X,Y).【解】(1)X,Y的边缘分布分别为010113 11(2)cov(X,Y) E(XY)

33、E(X)E(Y),R(X,Y)【解因为E(XJ,D(Xi)2，且随机变量X1, X2,Xn相互独立.所以有D(X)12E(X) E(- Xi)ni i-E( Xi)1E(Xi)ni 1D(- Xi)D( Xi)niini i12nnD(Xi 12(T二维随机变量的数字特征切比雪夫不等式与大数定律cov( X,Y)二、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)2, 0 x 1,0 y x;0,其它.(1)求X,Y的数学期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y). ( 2)求X ,Y的协方差cov(X,Y)与相关系数R(X,Y).21 x21x f (x, y)dxdyQdxox

34、2 dy,故D(X) E(X2)21E2(X),D(Y)E(Y2)E2(Y)11818(2)E(XY)xyf (x, y)dxdy1xdx xy0 02dy14,1 2 1 1cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)-3 136,三、利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差的绝对值大于三倍标准差 的概率.四、为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验.利用切比雪夫不等式估 计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小 于0.01【解】(1)E(X)xf (x, y)dxdy0dx0 x 2dyE(X2)E(Y)yf(x, y)dxdy1x1o

35、dxy2dy 3,E(Y2)2y f (x, y)dxdy1 x2odxy2dy【解 3o(X),贝y P(XE(X) 3g)D(X) 129 (T (X)9的概率.【解】设随机变量X表示事件A在n 10000次独立重复试验中发生的次数，则XB(n,p)，且E(X) np,D(X)叩(1 p)，np(1 p)q p(1 p)(0.01 n)20.0001nn 10000，p(1 p) 0.25，故有P(fn(A) p 0.01)1 p(1 p) 0.75.13正态分布的概率分布与数字特征一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1.设随机变量X N(3,16)，则P 4 X 102 (-

36、)1.42.设随机变量X N(1,22)，贝卩P X4.562(1.78)(2.78).3.设随机变量X N(3,22)，若则PX cPXc，则c3.二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【A 1.设X N( ,42),YN( ,52),P1PX 4,p2PY 5，则(A)对任意实数，都有 5P2.(B)对任意实数，都有 5P2.(C)对任意实数，都有 5P2.(D)对任意实数，都有 5P2.【C 2.设X N(1,12),YN(2,2)，若PX11 PY21，则必有(A)12.( B)12.(C)12.(D)12.【C 3.设XN( ,2)，则随的增大

37、，概率若PX |(A)单调增大.(B)单调减少.(C)保持不变.(D)增减不定.三、已知一批机械零件的直径X(单位：mm)服从正态分布N(100,0.62)，规定直径在 范围98.8 101.2(单位：mm)之间为合格品，求这批机械零件的不合格率.【解设p表示这种机械零件的不合格品率，则p P(X 1001.2)1 P(X 1001.2).而P(X 1001.2) P(上 心0屿P(2302)0.60.60.6 0.6故p 10.95440.0456.四、假设某高校学生在一次高等数学统考中的考试成绩(百分制)近似服从正态分布，已知平均成绩为72分，96分以上的人数占考生总数的2.3%.试估计成

38、绩在60分至84分之间的考生人数占考生总数的比例.【解设X某高校学生在一次高等数学统考中的考试成绩，则XN(72,2).已知P(X 96) 1 P(X 96) 1(92) 1(丝)0.023五、设随机变量X与丫独立，且X N(1,12),Y N(2,22)；(1) 求随机变量函数乙aX bY数学期望与方差，其中a,b为常数.(2) 求随机变量函数 JXY数学期望与方差.【解由题设，有E(X)1,D(X)12；E(Y)2, D(Y)2.从而有2 ,(1)E(Z1) E(aX bY) E(aX) E(bY) aE(X) bE(Y) a1E(Z2)E(XY) E(X)E(Y)1 2；14二维正态分布

39、正态随机变量的线性性质中心极限定理一、设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，已知E(X) E(Y) 0，D(X) 16, D(Y) 25，cov(X,Y) 12，求(X , Y)的联合概率密度.按公式概率密度为2 2125(X_ 3xy y_)Ie32 16502532 ne二、设随机变量X与丫独立，且X N(0, 1),YN(1,22)，求随机变量Z 2X Y 3的概D(ZJD(aX bY) D(aX)D(bY) a2D(X) b2D(Y) a2i2b2；【解16R(X,Y)C0V( X，Y)-.从而5(3)2525，1 r2f(x ,y)-_e2n bby1 r2(xyx)2bx2r(

40、 x iix )( yxby(y)2卩y)可得(X , Y)的联合2byf(x,y)2 ,率密度.【解】由题设，有E(X) 0,D(X) 1,E(Y) 1,D(Y) 4.且有E(Z) E(2XY 3)2E(X) E(Y) E(3)2,D(Z)D(2X Y 3)4D(X) D(Y) D(3)8,且ZN(E(Z), D(Z)N(2,8)，故随机变量Z 2X Y3的概率密度为fz(z)1(z 2)2(z 2)21e2 81e16,2 n 84. n(z).三、 两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X(单位：mm)表示轴的直径， 随机变量Y(单位：mm)表示轴衬的内径，已知XN(50,0.32)，

41、YN(52,0.42)，显 然X与丫是独立的.如果轴衬的内径与轴的直径之差在13mm之间，则轴与轴衬可 以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.【解】由题设，知随机变量X与Y是独立的，且X N(50,0.32),Y N(52,0.42).设Z Y X,则有2 2 2 2Z N(52( 1) 50,0.4( 1)0.3 )N(2, 0.5 ).由题意，当1 Z Y X 3时，轴与轴衬可以配套使用.故所求概率为2 0.9772 10.9544.四、已知100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求:6(1)任一时刻有70 8670 台车床在工作的概率.(2

42、)任一时刻有80台以上车床在工作的概率.【解】设随机变量X表示任一时刻正在工作的车床数，则X B(100, 0.8),E(X)100 0.880,D(X)100 0.8 (1 0.8) 16.86 8070 80)(1)P(70X86)0(-)0(-)0(1.5)0( 2.5).16J680800 80、(2)P(X80)1P(0X 80)10(0(-).16 . 161(0)0( 20) 2(0)(20)2 0.5 1 0.5.15总体与样本统计量统计学中的几个常用分布一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1 .设总体X N(0,1),X1,X2, ,X10是来自该总体的简单随机样

43、本，则统计量2.设总体X N(0,1),X1,X2, ,X5是来自该总体的简单随机样本，已知统计量TXfxfx；服从自由度为3的t分布，则k呼.3 .设抽样得到总体X的 100 个观测值如下:23(X122(X5F(4,6).X10)-612345观测值Xi频数n样本均值X 3.14；样本方差S22.12.二、设X-X2, ,Xn是来自总体X的一组简单随机样本，X与S2分别是这组样本的样本均值与样本方差，证明X与S2的如下关系式:【解】由样本方差公式有三、设总体X的均值与方差分别为 与2，X1,X2, ,Xn是来自该总体的简单随机 样本，X与S2分别是这组样本的样本均

44、值与样本方差，求E(X) , D(X) , E(S2).1n1n1n【解】E(X) E( XJ E(XJ .ni 1ni 1ni 1 1n1n1nD(X)D(-Xi)-2D(Xi)-22-ni 1ni 1ni 1n四、设总体X与丫相互独立且均服从正态分布N(0,32),X1,X2, ,X9和丫丫1,丫丫2,丫丫9分别为【解】因为X N(0,32),丫N(0,32),所以Xi N(0,32), Yi N(0,32) (i 1,2,9).S2n 1(i iXi2nX2)来自X与丫的简单随机样本，求统计量U的分X9X1X2XE(X)t(9 1) t(8), 即Ut(8)分布.SX916正态总体统计量

45、的分布一、设总体XN(40,52)，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率P(|X 40 | 1).【解】X N(40,52), n 64, u _尸 N(0,1)，于是/Jn 5/8二、设总体XN(25, 4)，样本容量n至少为多大时，才能保证P(| X 25| 0.5) 0.95?XX 24解 XN(24,4),u N(0,1),/Un2/Un得()0.975,查表得 P1.96,由此得n 62,44三、从正态总体N( , 0.52)中抽取容量为10的样本X1,X2, ,X10,求概率10 _2P (XiX) 2.85.i 110解2丄(XiX)22(9),0.52i 110一查表得0.2

46、52(9)1 1.4，于是P (XiX)22.850.25于是有推得U19Xi9i 1XXX E(X)1921 19212SY-Yi9：i 1,9丫i9i 1 SY.9.9XiX2X9i 1四、设总体XN(50,62),YN(46,42)，从总体X中抽取容量为10的样本，从总体Y中抽取容量为8的样本，求概率P(S128.28).S2【解】!6,24口10, n28,于是从而S2查表得FO.O5(9,7) 3.68，于是P(S128.28)1 0.05 0.95S217参数的点估计一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【A 1 .设总体X N( ,2)，X

47、1,X2, X3为来自该总体的一组简单随机样本，假 设？1x1X2X3是未知参数的无偏估计，则361111(A) .( B).(C)一 .(D) -.2345【C 2.设总体XN(0,2),X1,X2, ,Xn(n 2)是来自该总体的简单随机样本, 则2的一个无偏估计量是【A 3.设X1,X2,X3是来自于总体X的简单随机样本，且E(X)，贝y未知参数的下列无偏估计中最有效的是1(A) - Xi.ni 1(B)丄。Xi.n 1i 1(C)Xi2ni 1(D)n 1./21(A)(X1X2X3).3(B)-(X12X2X3).4i 1i 111(C) (2X!X22X3).(D)-(Xi2X23

48、X3).561、设总体X服从“0 1”分布：P(X x) px(1 p)1 x, (x 0或1).如果取得样本观测值X1,X2, ,Xn(Xi0或1),求参数p的矩估计值与最大似然估计值.【解】(1)总体X的一阶原点矩为1(X) E(X) 0 (1 p) 1样本均值为X1Xi令1(X) - Xi，得p的矩估计量为ni 11nXini 1进而矩估计值为1nXini 1(2)似然函数为两边取对数，有In L(p)nXiIn p (nnXi)In(1p).L(p)Xip (1p)1XnXpi1(1nn xp)i1Xi 1两边对p求导，有令k(2)0，得L(p)解得故p的最大似然估计值为L(p)1n1

49、nXi(n Xi).L(p)Pi 11pi 11n1 “nXi(nXi),Pi 11 pi 11np-XiX.ni 1p1n-XiX.ni 1三、设总体X的概率密度为Xi,X2, , Xn是取自该总体的一组简单随机样本,为必,Xn为样本观测值，求参数的最大似然估计值.【解】似然函数为nn-L()i 12 丄e X，2nX1X2ei 1Xn两边取自然对数，有In L( ) nlnIn 2nX1X2Xn.令2| nL()巴：.Xi0,得 最大似然估计值为di i四、设总体X的概率密度为Xi,X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，Xi,X2, ,Xn为样本观测值.(1 )求参数的最大似然估计

50、量.(2)你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.【解】似然函数为L()ni 112XiXie1n1n-Xii 12nXiei 1两边取自然对数, 有n1nlnL()lni 1XiXii 12nln令 InL( )2nXi1 2n0，得最大似然估计值为di 1nXi?i 1X2n218正态总体参数的区间估计两个正态总体均值差及方差比的区间估计一、设总体X N( ,2)，若样本观测值为6.548.206.889.027.56求总体均值 的置信水平为0.95的置信区间.假定：(1)已知1.2; (2)末知_【解】计算fij x 7,64t由题设1 a =0,95,所以。=0.05,此时叫卞

51、=%止T.96干姥辛 e 吩-琴*】.96 = LU51乩二、测得16个零件的长度(单位：mm)如下：12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.0312.0112.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.0112.0312.06设零件长度服从正态分布N( ,2)，求零件长度的标准差的置信水平为0.99的置信区间.如果：(1)已知总体均值12.08 (mm)； (2)未知总体均值.【解】1- - -I.三、从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中分别抽取一些样品，测得蓄电池的电 容量(单位：A h)数据如下：甲厂：144 141 138 142 141 143 138 137;乙厂：142 143 139 140 138 141 140 138 142136.设两个工厂生产的蓄电池的电容量分别服从正态分布N(X,2)及N(y，J，求：(1)电容量的均值差12的置信水平为0.95的置信区间(假定12).(2)电容量的方差比12/22的置信水平为0.95的置信区间.【解】四、设总体XN( ,2),已知,要使总体均值 的置信水平为1的置信区间的 长度不大于I，问需要抽取多大容量的样本？19假设检验的基本概念正态总体参数的假设检验 一、 选择填空题(在每题的四个备选答案中