相似三角形讲义及精品练习(DOC)

1、、比例线段相似三角形131、定义：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段长度的2、比例线段的基本性质:a bc dab,-adc da bb2 ac H中b为比例中工页b c合比性质：aca b c dbdbd比,即,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。bc等比性质:acemacemb d f nbdfn3、黄金分割：一条线段AB,点P是线段AB上的一个点，如果满足:PB AP，那么称线段AB被AP ABP点黄金分割，点P为线段AB的黄金分割点,AP与AB的比值约为0.618,这个比值称为黄金比。例1、判断下列线段是否是成比例线段:(1) a = 2 cm

2、, b = 12 cm, c = 8 cm, d = 3 cm;(1) a = 7, b = 3, c = 21, d = 9.例 2、若 a : 3 = b : 7,贝U (a + 3b) : 2b = 例3、已知三条线段 a = 1cm, b = 2cm, c = 3cm,若线段d与a、b、c成比例，请求出线段 d的长度。例4、已知ac-3,且b 2d 3e 0,求a2c3f的值。bde5b2d3e例5、等腰三角形 ABC中，AB=AC ,ABC 72 ,ABC的角平分线 BD交AC于D,且D是线段AC的黄金分割点，若 AB=8cm ,求AD的长。二、相似图形的性质1、定义：我们把具有 的

3、图形称为相似图形。2、相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。3、判定两个多边形是否相似：对应边成比例，对应角相等。三、相似三角形1、定义：对应 相等，且对应 成比例的三角形，叫做相似三角形。2、表示方法：用符号"s"表示，读作相似于"。3、相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。4、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角.形相似。5、判定三角形相似的思路：、有平行截线用判定定理中的基本定理、有一对等角，找 a、另一对等角，b、夹边成比例、有两边对应成比例，找 a、夹角相等，b、第三边也对应成比例，c、

4、有一对直角。、直角三角形，找 a、一对锐角相等，b、斜边、直角边对应成比例、等腰三角形，找 a、顶角相等，b、一对底角相等，c、底和腰成比例。6、相似三角形的判定定理：(1) SAS两边对应成比例且两对应边的夹角相等。(2) SSS三条边对应成比例。(3) ASA两角对应相等。7、对于直角三角形相似的判定法则：一条直角边与对应斜边成比例。8、对于全等三角形的判定法则：对应边相等。9、直角三角形相似定理：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角.形的斜边和七条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应 成比例，那么这两个直角三角形相似。10、相似三

5、角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c ,即b2=ac, b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于 ad=bc.定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边

6、上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个 三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三 角形相似。11、中位线：(1)定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(2)定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。(3)重心定理：三角形三条边上的中线交与一点，这个角就是三角形的重心，重心与一边中, ，一 ， ， ，1点的连线长是对应中线的 1。3(4)梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。AD EA例

7、1、已知：如图，E是BA的延长线上的一点，F是BC的中点，连接EF交AC于D。求证： _DC EB例2、如图所示，在 ABC中，BA=BC=20CMAC=30CM点P从A点出发，沿着 AB以每秒4CM的速度向B点运动；同时点 Q从C点出发，沿CA以每秒3CM的速度向A点运动，设运动时间为 X。(1)当X为何值时，PQ/BC?当 S bcqS ABC工，求3S ABC(3) 4APQ能否与 CQBf似？若能，求出 AP的长；若不能，请说明理由。例3、如图，某同学想测旗杆高度 AB他在某一时刻得1米的竹竿直立时影长为 1.5米，在同一时刻，测得旗杆影长时，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测

8、得落在地面上的影长AC为21米，留在墙上的影高CD为2米，求旗杆AB的高？例4、如图，在 ABC中，AD是Z BAC的平分线，求证： AB:AC=BD:DC例5、如图所示，在 ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分/ BAC , BDXAE的延长线于 D,且交AM 延长线于F,求证：EF/AB。练习:1、若 x 3y 5z0,x 2y 3z 0,且xyz 0,求 x:y:z的值。.xyz2x 3y 4z 钻/古2、已知一-0 ,求的值。3575x 3y z3、已知a、b、c为ABC的三边，且 a b C60cm , a: b: c 3:4:5,求 abc 的面积。4、已知 x: y : z

9、2:3:4, x yz 50 , y ax 5 ,求 a 的值。5、已知bC aC ab m,求m的值，并判断直线 y mx m经过哪些象限? abc6、若a、b、c是非零实数，并满足a b ca b c a b c 口,且 x(a b)(b c)(cabca)求x的值。7、设P、Q是线段AB上的黄金分割点，且 PQ = a,求AB的长。8、如图,2线段AB=2，点C是AB的黄金分割点，点 D在AB上，且ADBD?AB,求CDAC的值。.一. 一 1. AF 9、如图， ABC中，D是BC边上的中点，E在AD上，且AE AD ,求的值。6FB10、如图，在 ABC中，AF ： FC 1：2,G

10、是BF的中点，AG的延长线交BC于E,求BE ： EC。11、如图，DEBC , SDOE : S COB 4： 9，求 AD:BD。12、在一次数学活动课上, 芳的测量方法是：拿一根高B老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处这时目测旗杆顶部 A与竹竿顶部 E恰好在同一直线上，又测得C、然后回来交流各自的测量方法.小（如图），然后沿BC方向走到D处， D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.相似三角形巩固练习题一、填空题1 .在4ABC中，/ B=25° , AD是BC边上的高，并且

11、AD 2=BD?DC ,则/ BCA的度数为 2 .已知：如图，在 4ABC中，AB=15m , AC=12m , AD是/ BAC的外角平分线， DE/ AB交AC的延长线于点巳那么CE=m.（4题）3.如图，已知RtAABC中，AC=3 , BC=4 ,过直角顶点 C作CAHAB ,垂足为 A1,再过A1作A1CUBC, 垂足为C1,过C1作C1A2LAB,垂足为A2,再过A2作A2c2，BC,垂足为C2,，这样一直做下去，得到了一组线段 CA1, A1C1, C1A2,，则 CA1=,=.目5。54 .如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AC, BD 交于点 O, Saaod

12、: Sa cob=1 ： 9,贝 U Sa doc： Sa boc=RE 7RF中，E是边BC上的点，AE交BD于点F,如果三方=7；,那么百=DC JrD5.如图，在平行四边形ABCD（5题）6.如图，在4ABD中，/ 为3.5,则4ABC的面积为E D（7题）E、F分别是 AC、AB的中点，4DEF的面积7.在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上,且 GHDC.若 AB=10 , 2BC=12,则图中阴影部分的面积为_ 一8.如图，在？ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点 cm2.O, SaDOE=12cm2,贝U Saaob 等于9.如图，在 4AB

13、C中，EF / BC, AE=2BE ,则4AEF与梯形 BCFE的面积比10.如图，在4ABC 中，/C=90°, AC=8, 交AC于N,则MN=.CB=6,在斜边 AB上取一点 M ,使 MB=CB，过M作 MN LAB11.如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90°12.如图，在 4ABC中，M、N是AB、BC的中点, 比是.AN、CM交于点 O,那么AMON与4AOC面积的13.如图，AD=DF=FB , DE / FG / BC,贝U Si ： Sn ：Sm=,CDXAB 于 D,若 AD=1 , BD=4 ,贝U CD=14 .如图，已知点 D 是 AB 边的中点，AF/BC, CG: GA=3 : 1, BC=8 ,贝U AF=二、解答题15 .已知：如图，在直角梯形 COAB中，OC/AB,以。为原点建立平面直角坐标系， A, B, C三点的 坐标分别为A (8, 0), B (8, 10), C (0, 4),点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1 个单位的速度，沿折线 OABD的路线移动，移动的时间为 t秒.(1)求直线BC的解析式；若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形 OPDC的面积是梯形 COAB面积的2; 7(3)动点P从点O出发，沿折线 OABD的路线移动过程中