《高等数学(下册)》第八章练习题及答案

1、高等数学 ( 下册 ) 第八章练习题一、填空题1.设 zsin( xy )，则 dz_ _2.设 z cos(x 2y), ，则 zx (1 ,)23.函数 z6( xy) x 2y 2 的极值点为4.设 ze xy ，则 dz5.设 xlnz ，则 zzyzx二、选择题、函数 f(x，y)x 3y33x 23y2 的极小值点为( )1，A. (2 2)B. (0 0)C. (2 0)D. (0 2)2、 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处偏导数 f x ( x 0 , y0 )、f y ( x 0 , y0 ) 存在是 f ( x, y) 在该点连续的().(a)充分条

2、件，(b) 必要条件，(c)充要条件，(d)既非充分条件又非必要条件。3、设 f ( x , y)ln( xy) ，则 f x (1,1)（）.2 x（A） 1，（B）1，（C） 5，（D）5 .3366三、计算题、求曲线 y2 x 2在点 (1，2，1)处的切线方程与法平面 方程。1zx 32、设 zz( x, y) 是由方程 F ( xz, yz)0 确定的隐函数， F 具有一阶连续偏导数，且 F uF v0, 其中 uxz, vy z,求 z ,z .xy3、求曲面 x 2y 2xzz23 在点 (1,2,1) 处的切平面及法线方程。4、设 ue x2 y2z2, 而 zx 2 sin

3、y ,求 u .x5、求曲线 xet, ye t , zt ,对应于 t0 点处的切线和法平面方程。6、求函数 zx 2 y(4xy) 在闭域 x0, y 0, x y 4 上的最大值及最小值。17、设 z2 cos2 ( x1 y ),求 z和 z .2xy8、 设 f ( x, y) exy3 ，求f ， fxy9、 求函数 f ( x , y)x 2xyy 23x 的极大值或极小值10、 设 zf ( x , u,v), u2 xy, vxy ,求复合函数 z 对 x , y的全微分 dz11、 设 zyz和zcos( xy ), 求xyx12、 求曲面 x 2 yz3 y 22 xz

4、28z上点 (1,2,1)处的切平面和法线方程、函数由方程xzsin yf ( xy , zy)所确定，其中f有连续的一阶偏导，13zz( x , y)求zy四、综合应用题1.在平面 xoy 上求一点 M （ x， y），使它到三条直线x0， y0，xy10 的距离平方和为最小，并求其最小值。2.在曲面 z2x 24 y 2 上求一点，使它到平面x2 y 3z 1 的距离最近。五、证明题1.设 ( ， )具有连续偏导， 证明由方程 (ax，)0所确定的函数zf( ， )uvbz ayczx y满足： bzc zaxy2.证明曲面xyza (a0) 上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常

5、数。2高等数学 ( 下册 ) 第八章练习题答案一、填空题1. 设 z sin( xy )，则 dz2.设 zcos( x 2 y)，则cos(xy )( ydxxdy )_zx(1， )23.函数 z6( xy)x 2y2的极值点为(3， 3)4.设 ze xy，则 dze xy ( ydxxdy )5.设 xln z ，则 zxzzzyx二、选择题、函数 f(x，y)x 3y33x 23y 2的极小值点为( A )1，A. (2 2)B. (0 0)C. (2 0)D. (0 2)2、f ( x，y)在点 ( x 0，y0 )处偏导数 f x ( x 0，y0 )、 f y ( x0，y0

6、)存在是 f ( x，y)在该点连续的 ( d )(a) 充分条件， ( b) 必要条件， (c) 充要条件， (d ) 既非充分条件又非必要条件 .、设f ( x，ln( xy ，则f x (，B)3y)11) (2 x( A )1 ，( B )1 ，(C )5 ，( D )5 .3366三、计算题、求曲线y2 x 2在点 ( 1，2，1) 处的切线方程与法平面方程1zx 3解：y 4 x，z3x 2切向量T，1 4 3切线方程为 x1y2 z1143法平面方程为 x14( y2)3( z1) 0即 x 4 y 3z 12 02、设 zz( x ，y)是由方程 F ( xz，yz) 0确定的

7、隐函数，F具有一阶连续偏导数，且 F uF v0，其中 ux z，v yz，求 z ， z .xy3解： 令f ( x，y，z)F ( x z，y z)则 f xF u， f yF v，f zF uFv，zf xF uxf zF uF vzf yF vyf zF uF v或将，两边对x求偏导得：F u(1z) F v(z) 0F ( x z y z) 0xxzF u同理可求zFvxFu F vyF uF v、求曲面 x 2y2xzz2在点， 处的切平面及法线方程.33(121)解：令，2y2xz z23则F x，x 2zF ( x y z) x2 x z F y2 y F z故 n 3， 4，

8、 1切平面方程3( x1)4( y2)(z1)0即3x4 yz 60法线方程 x1y2z13414、 u2 xe x2 y2z2(12z sin y)2xe x2y 2x4 sin 2 y (12 x 2 sin 2 y)x5、切线方程x1y1z0，法平面方程： xyz0.111、最大值为zmax(2,1)、最小值为zmin0(在整个边界：x0( y 0,4), y 0( x 0,4),64x y4( x、 y0,4)上都是最小值0).7、 zx8、 fx2 sin( 2 xy)，zsin( 2xy).yy 3 exy 3 、 f3xy 2 exy 3 .y9、极小值点为( 2, 1)， f

9、极 小值 ( 2, 1)3.410、解：zf2fyfzfxfxxuvyuvdzz dxz dy(f2fyf )dx( fxf)dy.xyxuvuvzyy 2z111、解：xx 2 cos( xy )xsin( xy )yxcos( xy )y sin( xy ).12、切平面方程为： 6x11y14z20法线方程为：x1y2z1 .61114、解：由已知方程xzsin yf ( xy, z的两边直接对y求偏导，得：13y)xzcos yxf 1 (z1) f2当 f 2x 时zcos yxf 1f 2 .yyyxf 2四、综合应用题1. 在 xoy 平面上求一点M ( x, y)，使它到三条直

10、线x0, y0, xy 10的距离平方和为最小， 并求其最小值.解：点M到三条直线距离平方和为f ( x，2y2( xy1) 2y )x2由f x2 xxy10得唯一驻点1，1f y2 yxy10()44由问题实际意义可得所求点为(1 ，1，且最小值为f (1 ，1144)4)442.(提示：这是条件极值，用拉格朗日乘数法做)答案：所求点是(2,1,6).141414五、证明题设， 具有连续偏导， 证明由方程(ax，cz)01.( uv)bz ay所确定的函数zf ( x， 满足bzczay)xy证：令F ( x，(axbz，cz)则F xau，F yav，Fzbucvyz)ayzF xa u，za vbzczab uac vaxF zb uy b uc vxyb uc vc v注：如果直接将方程两边求导得： ab uzcz0zauuxvxbc vxu同理zavybcuv下面同上52.证明曲面xyza ( a0)上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数.解：设曲面上任一点为( x 0，y0，z0 )，则 x 0y0z0a令 F ( x，y，z)xyza ， 则 F x21 ，F y1 ，Fz1x2y2z法向量为 n1， 1， 12x0