特别解析三角函数周期的几种求法

1、学习必备欢迎下载特别解析：三角函数周期的几种求法1定义法：定义：一般地对于函数， 如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（ x T）（x ）都成立，那么就把函数( ) 叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例 1求函数 y=3sin （ 2 x）的周期33解： y=f （ x） =3sin （ 2 x） =3sin （ 2 x+2）3333=3sin （ 2x2）=3sin2( x3 ) = f （ x+3）3

2、333这就是说，当自变量由x 增加到 x +3，且必增加到 x +3时，函数值重复出现。函数 y=3sin （ 2x）的周期是 T=3 。3 3例 2：求 f （ x）=sin 6x+cos6x 的周期解 f （ x+ ） = sin 6（ x+） + cos 6（ x+） = cos6x +sin 6x= f （ x）222 f （ x） =sin6x+cos 6x 的周期为 T=例 3：求 f （ x）= sin xsin 3x 的周期2cosxcos3x解： f （ x+ ） = sin( x)sin 3(x) =sin xsin 3xcos(x)cos( x)coxcos3x= sin

3、 x sin 3x = f （ x） cosx cos3x求 f （ x） = sin xsin3x 的周期： T=cos xcos3x学习必备欢迎下载2公式法：（ 1）如果所求周期函数可化为y=Asin （x）、 y=Acos（x）、 tg （x）形成（其中 A、 为常数，且A 0、 0、R），它们的周期是： 2 、 2、。例 4：求函数 y=1-sinx+3 cosx 的周期解： y=1-2 （ 1 sinx-3 cosx ）=1-2 （ cossinx-sincosx ）=1-2sin（x-）22333这里=1周期 T=2例 5：求： y=2（3 sinx-1 cos3x ） -122解

4、： y=2（3 sinx-1 cos3x ） -1=2sin（ 3x-）-1226这里=3周期为 T= 23例 6：求 y=tg （1+ 3 x ）的周期5解：这里= 3，周期为： T= / 3= 5553（ 2）如果 f （ x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin x、 cosx、tgx 的形式，再确定它的周期。例 7：求 f （ x）=sinx · cosx 的周期解： f （ x） =sinx · cosx= 1 sin2x2这里=2， f （ x） =sinx · cosx 的周期为T=例 8：求 f （ x）=sin 2x 的周期解： f

5、（ x） =sin 2x= 1cos2 x2而 cos2x 的周期为， f （ x）=sin 2x 的周期为T=学习必备欢迎下载注：以上二题可以运用定义求出周期。例 9：求 y=sin66x 的周期x+ cos解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。 y=sin 6x+ cos6x=（sin 2x+ cos2x）（ sin4x-sin2x· cos2x+ cos4x）=( sin2x+ cos2x)2-3 sin2x· cos2x=1-3 sin2x· cos2x=1-3sin22x =5+3cos4 x488而 cos4x 的周期为 T= 2=2,4 y=

6、 sin6x+ cos6x 的周期为 T=2例 10：函数 y=3sin23sinx2x-2· cosx+5cos x 的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。y=3sin2x-2323 sinx · cosx+2cos2sinx ·cosx+5cos x=3-2x=3-3 sin2x+cos2x+1=4+2( 1cos2x-3sin2x)=4+2cos(2x+)223 y=3sin 2x-2 3 sinx · cosx+5cos 2 x 的周期为 T= 223定理法：如果 f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x

7、)+f2(x) ，而 f 1(x) 的周期为 T , f(x) 的周期为 T ，则 f(x)的周期为 T=P T =P T ，其中 PPN，且（ P 、P ）=112221121、 212事实上，由T1P1 （既约分数），得 T= P2T1=P1T2T2P2学习必备欢迎下载 f （x+ P 1T2） =f 1（x+ P 1T2） +f 2（ x+ P 1T2） =f 1（ x+ P 2T1） + f 2（x+ P 1T2）= f1（ x）+ f（ x） =f （ x）2 P1T2 是 f （ x）的周期，同理P2T1 也是函数 f （ x）的周期。例 11：求函数 y=tg6x+ctg8x 的

8、周期。解： y=tg6x 的周期为T1=， tg8x 的周期为T2=68由 P1T2= P2 T1，得 T1 = P1 = 4 ，取 P1=4， P2=3T2P23 y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T2=。2例 12：求函数 y=sin2x+sin3x 的周期解： sin2x 的周期为T1=， sin3x 的周期为T2= 23而 T1 = 3 ，即是 T=2T1=3T2，T22 y=sin2x+sin3x 的周期为 T=2T1=2 例 13：求函数 y=cos x +sin x 的周期34解： cosx的周期为 T =6， sinx的周期为 T =83142而T163，即是 T=4T =3TT28412 y=cos x +sinx