计算机控制技术2新 (2)

1、计算机控制技术基础第三章一、采样过程的数学描述计算机控制技术讨论连续时间函数经采样后的采样脉冲函数讨论连续时间函数经采样后的采样脉冲函数(采样脉冲序列采样脉冲序列)的的数学描述数学描述单位理想脉冲函数单位理想脉冲函数(t)(t)面积为面积为1 1，高度为，高度为1/1/，宽度为，宽度为的矩形脉冲可用下式描述的矩形脉冲可用下式描述1( )1( )1()f ttt并称该脉冲的面积为强度（冲量）。并称该脉冲的面积为强度（冲量）。若当若当0 0时，时，001lim( )lim 1( )1()( )f tttt脉冲函数的幅值无穷大，宽度无穷小，脉冲函数的幅值无穷大，宽度无穷小，强度恒为强度恒为1 1。计

2、算机控制技术计算机控制技术对于上图高度为1/，宽度为的脉冲序列，其数学描述为01( )1()1()1,1()0,1,1()0,TkfttkTtkTtkTtkTtkTtkTtkTtkT当0时，该脉冲序列变为理想脉冲函数序列0001( )lim( )lim1()1()TTktfttkTtkT计算机控制技术T (t)是一个强度为1，只发生在时刻为kT处的理想脉冲序列，也可写成0( )()TkttkT( )1( )1()Af ttt再考察一个高度为A/，宽度为，面积为A的矩形脉冲当0时，该矩形脉冲就是一个强度为A的理想脉冲00lim( )lim1( )1()( )Af tttAt/A计算机控制技术AA

3、/A00000( )lim( )lim1()1()()ATTkkkAtfttkTtkTAtkTAtkT计算机控制技术分析以下的理想采样过程理想采样开关的输入为连续函数f(t)。采样开关每隔T的整数倍周期闭合一次，闭合时间0。于是理想采样开关输出 可以看成是周期为T,强度为采样时刻输入连续函数值f(kT)的理想脉冲序列 。*()f t计算机控制技术*00( )() ()( )()( )( )Tkkftf kTtkTf ttkTf tt上式表明：f(t)经理想开关采样后，变为时间上离散的脉冲序列信号。该信号在数学上可以表述为一系列强度等于连续函数f (t)在采样时刻函数值f (kT)的理想脉冲序列

4、，或称为采样脉冲信号。应该指出:上述的理想采样过程是对实际采样过程的理想化处理，以便获得对采样过程的数学描述，从而对其进行定量的分析研究。计算机控制技术 实际采样开关闭合时间(获取时间)通常为微秒级，但当与被采样信号的周期比充分小时，这种处理是完全可行的。 如将采样过程看作一个信号调制过程，可由下图表示其中 是载波信号，f(t)是调制信号。 Tt计算机控制技术 经采样开关得到的采样脉冲信号在形式上还是模拟信号，是时间上离散化的模拟信号。 经A/D转换后，才变成整量化的数字序列信号，即离散化的数字脉冲采样信号，通常为了与A/D转换前的采样脉冲信号区别，整量化的数字采样脉冲信号用f (kT)表示。

5、计算机控制技术二、采样定理 经采样后的采样脉冲函数f*(t)，是用一系列离散的函数值表征连续的时间函数f(t)。当采样周期T0时，有f*(t)=f(t)。但若T取值太大，可能会发生以下情况：1、失去f(t)信号中的一些重要信息2、无法从f*(t)恢复到f(t)计算机控制技术例：有连续时间函数f(t)，以T1，T2两种采样周期进行采样，其中T1T2计算机控制技术由图中可看出:1、采用T1的采样周期，采样后脉冲采样信号f*(t)完全失去了连续信号f(t)的特征.2、采用T2的采样周期，则保留了原连续信号由直流分量和等幅震荡分量叠加而成的基本特征。 对连续信号进行采样，采样周期T不能随意选择，须有一

6、个最大采样周期限制，即应符合采样定理。计算机控制技术采样定理： 对于一个具有有限频谱(?max)的连续信号f(t)进行采样，当采样角频率s满足时，则其采样函数f*(t)能无失真地恢复到原来的连续信号f(t)。 为信号有效频谱的最高频率， ， 为采样周期。max2smax2ssTsT计算机控制技术采样定理的推导：采样定理的推导：T (t)为非正弦周期函数，可展开成傅氏级数( )sjktTktC e0202111( )( )sTjktTkTCt edtt dtTTT1( )sjktTkteT Ck决定非正弦周期函数k次谐波振幅的傅氏系数上式表明无论k为何值， Ck均为1/T，于是由前述可知*11(

7、 )( )( )( )( )ssjktjktTkkftf ttf tef t eTT计算机控制技术对 进行拉氏变换，考虑到F(s)=Lf(t)和复数位移定理，由自动控制理论，令s= j，可由采样函数 的拉氏变换直接得到 的傅氏变换。 *ft*11( )()()sskkFsF sjkF sjkTT*11()() ()sskkFjF jjkF jkTT *ft *ftsFjk可见上式中 为一 的周期函数，周期为sk计算机控制技术则 的频谱*111(). (2) ()()11 () (2).ssssFjF jF jF jTTTF jF jTT式中 是原连续函数 f（t）的频谱。通常 f（t）为非周期

8、函数，故其频谱是连续的频谱。Fj *ft计算机控制技术假定连续函数 的频谱是有限频谱(为一孤立的频谱)，该频谱的最高角频率为 。 ftmax计算机控制技术s2maxmax2smax2smax2s计算机控制技术 在 中，只有k=0，即 /T为原连续函数f(t)的频谱，只是幅值被衰减成1/T倍。该频谱也称 的主频谱，其它各个孤立频谱都是采样引起的高频频谱 (辅频谱，或边频谱)1、当采样角频率s2max时，各个频谱分离2、当采样角频率s2max时，各频谱交叠。从离散的采样脉冲信号f*(t)恢复到原信号f(t)，必须借助滤波器实现。*Fj *ftFj计算机控制技术滤波器满足两个条件：1、滤波器应能将f

9、*(t)频谱中由采样引起的辅频部分完全滤掉，只允许主频谱分量全部无衰减地通过滤波器输出。2、脉冲采样信号f*(t)的采样角频率s必须足够高，以使f*(t)的主频谱和辅频谱实现分离，即至少满足s=2max的要求。计算机控制技术需指出的是： 实际的非周期连续时间函数，其频谱F (j)并不孤立，通常是一个随角频率增加而衰减的连续无限频谱。无论采样角频率s多高，|F*(j)|的主、辅频谱重叠不可避免。这时，采样频率即使很高，采样后信号的频谱波形也是互相搭接的。计算机控制技术计算机控制技术在这种情况下，可以将振幅小于F(0)的高频分量忽略，近似得到一个孤立的有限频谱，与振幅F(0)对应的角频率为其上限最

10、高有效角频率。 为信息损失所允许的一个给定系数。从而一个连续的非周期函数f(t)的脉冲采样函数f*(t)的频谱可以近似地表示为计算机控制技术三、数据保持与保持器保持器是一类低通滤波器，用于将离散的采样脉冲信号恢复成连续信号。保持器是利用对脉冲采样信号在采样时刻的值进行外推的方法实现到连续信号的恢复。根据是利用一个采样时刻，还是二个采样时刻的离散信号进行外推。保持器有零阶和一阶之分。计算机控制技术0T2TKT(K+1)T(K+2)Ttf*(t),fh(t)f(KT)f(K+1)T零阶保持器：零阶保持器只把当前采样时刻（KT）的采样值恒定不变的保持（外推）至下一采样时刻(K+1)T，到下一采样时刻

11、(K+1)T，又将这个采样时刻的采样值保持到再下一个采样时刻。计算机控制技术零阶保持器的频率特性分析零阶保持器的频率特性分析保持器保持器保持器保持器保持器Gh(s)令保持器输出信号为 ,则0( )11hKf tf KTtKTtKTT *ft hft *Fs( )hF s hft计算机控制技术对上式两端取拉氏变换对上式两端取拉氏变换 01TsKTShKeFsfKT es由于0Kf KT LtKT *0KFsL ftLf KTtKT0KTsKf KT e计算机控制技术所以 *1TsheFsFss *1TshhFseGsFss2221TTTjjjj TheeeeGjjj22sin2sin222j t

12、j TTTjeTeTjsin22hTGjTT22TjhTGje (弧度)计算机控制技术T 0.637T 0.212T s/2 s 2s 3s-/2-Gh(j) s Gh(j)计算机控制技术|F(j)T|，|Gh(j)/T|- -s/2- -ss/2s- -2s2s |H(j)|计算机控制技术从上图可以看出:1.理想滤波器可以将高频的辅频谱分量完全滤除.2.零阶保持器却不能将高频辅频谱分量完全滤除.3.零阶保持器对某些主频谱分量有明显的衰减.4.对主频谱各频率分量产生相位滞后.计算机控制技术这些特性(零阶保持器)可在时域中明显看出：Gh(s)f*(t)fh(t)f*(t)f*(t)T0T2T3T

13、KT(K+1)Ttf(t)f*(t)fh(t)f(t)可以看出：可以看出： 若增加采样频若增加采样频率，使用零阶保持率，使用零阶保持器将会改善其信号器将会改善其信号的恢复性能，更接的恢复性能，更接近原连续信号，但近原连续信号，但决不会完全恢复到决不会完全恢复到原信号。原信号。计算机控制技术一阶保持器： 一阶保持器以两个采样值为基础实现外推。1f KTfKTf KTtf KTtT外推的斜率正比于采样脉冲的一阶差分0tT计算机控制技术一阶保持器的频率特性分析 先求取一阶保持器的单位脉冲响应.计算机控制技术以上的一阶保持器的单位脉冲响应gh(t)可用以下的几个简单函数的叠加表示计算机控制技术 211

14、2 11112httTtTgtttTtTTTT 1Lt 22221111112TsTshhL gtGseesTssTssTs对(t)和gh(t)分别取拉氏变换211TseTTsTs一阶保持器的传递函数 211TshhL gteGsTTsTsLt计算机控制技术用j代替式中的s,可得一阶保持器的频率特性。2221sin/21tan/2hTGjTTTTT 222sin/21/2hTGjTTT1tanhGjTT 0hGj0hGj1hGj1hGj用 分别表示零阶保持器的幅频和相频特性 ， 分别表示一阶保持器的幅频和相频特性计算机控制技术可对二个保持器的频率特性做一对比计算机控制技术可以看出:1.幅频特性

15、一阶保持器要略好于零阶保持器.2. 相频特性来看.低频段一阶保持器比零阶保持器要好,但整个频率范围看一阶保持器要大的多. 零阶保持器在物理上实现非常简单,一阶保持器要复杂的多,所以通常在计算机控制中只采用零阶保持器.计算机控制技术四. 采样频率的选择 采样定理对采样的下限频率给出了限制s2 max上限频率没有明确的限制，理论上s越大越好。 但大的s带来负面问题：1.高速采样和A/D转换2.过高的计算机运行速度 都会导致成本的大幅提高。以下介绍根据闭环系统的带宽确定s的方法。计算机控制技术 对于一个以下的连续的闭环控制系统希望的闭环频率特性的带宽是给定的，即截止频率b 是给定的。一个闭环控制系统

16、的带宽代表了要调节信号的频率范围，b 越大，系统响应越好，反之越差。 设闭环系统的频率特性为(j )，其中高频特性|(j )|是有大致相同的形状。计算机控制技术1122nnbbj在截止频率 附近的闭环幅频特性可近似由下式表示：bn的大小决定 衰减的速度。j计算机控制技术 由控制理论知识，一个设计的比较好的系统开环对数频率特性在穿越频率 附近，其斜率为-40dB,-20dB, -40dB,每十倍频程，即平均斜率为-30dB/dec。闭环频率特性 的高频区( 的频段)衰减速度与系统开环频率特性在穿越频率 附近的衰减速率大致相同， cjcb31.52n max32max112bN即也可认为是-30d

17、B/dec，由此可确定 。假定使 下降到1/N对应的频率为 则有 j计算机控制技术若按 作为系统的采样频率，以 代入上式，解出 得：max2ss232sbN7.4sb10sbmax/2s若取N=10，则有 。通常可以考虑 ，在过程控制中，采样周期的参考选择范围通常由经验公式给出 流量 1-3s 压力 1-5s 温度 10-20s 液面 5-10s计算机控制技术第四章计算机控制技术4.1 Z变换的定义 设f(t)是可拉氏变换的，其拉氏变换为F(s)，f*(t)是f(t)的采样脉冲函数 *( )ftf KTtKT *0KTsKFsLftfKT eTsze上式两端取拉氏变换ln /sz T令 ，则

18、代入上式得计算机控制技术 *ln0KzsKTFsF zf KT zF(z)被定义为采样脉冲函数f*(t)的z变换，简记为F(z)=zf(t)注意：符号F(z)=zf(t)指的是F(z)为f(t)采样脉冲函数的z变换，即z变换本身就包含了对f(t)进行离散采样的概念。在这个意义上以下的表达是等价。 *F zzf tzftzf KT计算机控制技术4.2 z变换方法4.2.1 级数求和法 该方法根据定义直接求取函数f(t)的z变换。例1 单位阶跃函数的z变换则 1000ttf tt 0011KKKKF zztKT zz1211111Kzzzzzz 计算机控制技术例2 单位斜率函数的z变换 000tt

19、f tt 00KKKKF zz tKTzTKz12311223123T zzzTzzz122111TzTzzz1nx1,2xzn 提示：上式括号内关于z的幂级数和式的求取参见的幂级数表达式，并令计算机控制技术例3 指数函数的z变换 000atetf tt 0ataKTKKF zz eez122331aTaTaTezezez 111aTaTzezze计算机控制技术例4 正弦函数的z变换 sin000ttf tt1sin2jtjtteej 01sin2jKTjKTKKF zzteezj根据尤拉公式11111211j Tj Tjezez112sin1 2coszTzTz计算机控制技术4.2.2 部分

20、分式法 采用该方法时，通常先知道f(t)的拉氏变换F(s)，根据F(s)求取相对应的z变换。 f(t)的拉氏变换F(s)，通常可写成部分分式之和形式 1niiiAFsss 11ins tiiftLFsA e 1inis TiA zFzzftze即先把f(t)表示成若干个指数函数叠加的形式，再对f(t)进行z变换计算机控制技术 当采用这种方法求取时间函数f(t)的z变换时，函数f(t)的z变换也可简记为zF(s)即 *z F szf tzft但必须注意zF(s)不是直接将F(s)中的s简单地以z取代.例1 已知 ,求其所对应的z变换 z变换步骤： 将F(s)写成部分分式之和形式 aF ss sa

21、计算机控制技术 11aF ss sassa111/1zsz111/1aTzsaez 111111aTF zz F szez211aTaTaTzezeze这里A1=1，A2=-1，s1=0，s2=-a查z变换表F (s)原函数 f (t) 的z变换式为计算机控制技术例2 求 的z变换。 此例F (s) 在s =0处有一个二重极点 根据部分分式法 211F sss 31222111AAAF ssssss 21002111ssdAs F sdss 2200111ssAs F ss 3111sAsF s计算机控制技术 21111F ssss 1211111111TTzF zz F zzezz 1221

22、11111TTTTTezeTezzez计算机控制技术4.2.3 留数计算法 已知连续函数 f (t) 的拉氏变换F (s)的全部极点，则 f (t)的z变换 111Re1insssTiFzs F sez11111iniisssTissFsez 11111111 !1iiiirnris srsTi nidssF srdsez计算机控制技术其中，n为F（s）的极点数， 为F（s）的单极点数S i (i=1,2, n1),F(s)的n1个单极点S i (i = n1+1 , n1+2, n), F (s)的n-n1个重极点r i为重极点s i的阶数Res为括号内复变函数在s=s i处的留数，以下的复

23、变函数 23012aF sssasasa共有4个极点s=0,s=-a0, s=-a1, s=-a2其中两个单极点 s1= -a, s2=-a2两个重极点 s3= -a0, s4=0即此例中n=4,n1=2,r3=2,r4=31n计算机控制技术例1 用留数计算法求F(s)的z变换 aF ss sa 2110,1Re1sTisaaF zss sae z101Re1sTsass sae z解：此例中，F (s)有两个单极点s1=0,s2=-a,利用留数法计算公式1101111sTsass sae zz计算机控制技术11Re1sTsaass sae z111111sTaTsaasas sae zez

24、111111111111aTaTaTezF zzezzez则计算机控制技术4.3 z变换的性质、定理 1. 乘以常数后的z变换 设F (z)为函数f (t)的z变换，则 2. z变换的线性性质 设 X1(z)和 X2(z)分别为函数 X1(t)和 X2(t)的z变换，分别有常数、，则( ) ( )( )Z af taZ f taF z1212( )( )( )( ) = ttzzZXXXX计算机控制技术 3. 乘以 后的z变换 若 则 4. 实数位移定理 若函数 f (t) 当 t0, f (t) 0 且 f (t)的z变换为F (z) ,则ka( )( )()ztKTFZ fZ f1()()

25、kKTZZ a fF a()( )ntnTzZ fZ F计算机控制技术()0()nknkfknZZ0()kkfkn T Z0()()kktnTfkTnTZZf10()( )()nnkktnTzf kT ZZ fZ F()( )ntnTzZ fZ F只证明由定义令 m=k-n, 则上式()()nmmntnTf mT ZZ fZ计算机控制技术考虑到t0时, f (t) 0，即mT0时，f (mT) 0 则故理解 f (k+n)T和 f (k-n)T的物理意义：以 f (kT), f (k+2)T, f (k-4)T 为例0()()nmnmmnmf mT Zf mT ZZZ0()()( )nmnmt

26、nTf mT ZzZ fZZ F计算机控制技术计算机控制技术计算机控制技术计算机控制技术实数位移定理的应用举例： 求1(t-T), 1(t-4T) 的z变换解：已知 则11( )11 tZZ111()11tTZZZ44111(4 )111ZtTZZZZ计算机控制技术 5. 后向差分与后向差分的z变换 定义: f (k) = f (k) - f (k-1) 为f (k) 的第一后向差分.则第一后向差分的z变换为：( )( )(1)kkkZfZ fZ f1( )( )ZZFZ F1(1)( )ZZF计算机控制技术定义：为第二后向差分. 的z变换：2( )kf 1221( )( )( )12ZZZz

27、F zFZ FZ F 211112212fkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfk 2212Zf kZf kf kf k计算机控制技术推论： f (k) 的第m后向差分的z变换：11( )( )(1)mmmkkkfff 1( )( )(1)mmkZZfZF计算机控制技术 6. 前向差分与前向差分的z变换 定义: f (k) = f (k+1) - f (k) 为函数f (k) 的第一前向差分.第一前向差分的z变换为：( )(1)( )kkkZfZ fZ f( )(0)( )ZZZFZfF( )(0)()1ZFZfZ计算机控制技术第二前向差分定义为：第二前向差分的z变换：2( )( )

28、(1)( )kkkkffff (1)( )(2)(1)(1)( )(2)2(1)( )kkkkkkkkkfffffffff2( )(0)(0)(1)(1)ZZFZ ZfZ f222( )( )(0)(1)2( )2(0)( )Zf kz F zz fz fzF zzfF z (0)(1)(0)fff式中计算机控制技术推论： 第m前向差分 的z变换为( )mkf110( )( )(1)(0)(1)mjmmmjjkZZZfZFZf 计算机控制技术 7. 复数平移定理 若F (z)为f (t)的z变换，那么 的z变换为应用举例：求函数 的z变换 解：已知 的z变换为根据复数位移定理( )atf te

29、()aTF Zesinatte( )sinf tt112sinsin1 2cosZTZtZTZ1122sinsin1 2cosaTataTaTZ eTZ etZ eTZ e计算机控制技术 8. 初值定理 如果 f (t)有z变换 F(z) ，并且如果 存在，则 f (t)或 f (k)的初值 f (0)为( )limZZF(0)( )limZZfF通常使用初值定理来检验z变换结果的对错.计算机控制技术 9. 终值定理 设 F(z)为 f (kT)(或 f (t)的z变换，k 1的极限，等式右边为等式左边为因此 得证1 ( )( ), (1)( )Z f kF ZZ f kZ F Z100( )

30、(1)( )( )kkkkf k Zf kZF ZZ F Z11(1)( )limZZZF00001( )(1)( )(1)limkkkkkkZf k Zf kZf kf k0 ( )(1)(0)( 1)(1)(0)(2)(1)( ) .kf kf kfffffff11( )(1)( )limZZZfF 计算机控制技术 10. 实域卷积定理 设 f1(t) , f2(t) 的z变换分别为 F1(z) , F2(z)；且满足t0时, f1(t)=0, f2(t)=0. 则12120()()( )( )khf hT fkThTF Z F ZZ计算机控制技术证：根据定义1212000KKkhKhZf

31、hTfKThTfhTfKThTZ 1200K hhKhfhT zfKThT z1200K hhhKfhT zfKThT z12001200KKKhKKhfhTfKThT zfhTfKThT z计算机控制技术令m=k-h, 则 证毕121200()()()()khmhhmhf hT fkThTf hT ZfmT ZZ120012()()( )( )hmhmf hT ZfmT ZF Z F Z计算机控制技术4.4 z反变换 F(z)的z反变换为 z反变换得到的是时间函数的离散时间序列，或采样脉冲函数，而不是时间连续函数f (t) z反变换有三种常用的方法： 直接除法、部分分式法、留数法-1 ( )

32、()( )ZF Zf kTf k计算机控制技术4.4.1 直接除法 直接除法基于z变换的定义，通常F(z)为闭合式.采用直接除法把F(z)展开成 的幂级数，然后根据z变换定义得到原时间函数的离散时间序列。 如果F(z)为有理分式，简单地用分母除分子就可以把F(z)展开成 的无穷幂级数。-1Z-1Z计算机控制技术例：已知 用直接除法求其z反变换首先做以上关于F(z)有理分式的多项式除法： 1212105( )1 1.20.2ZZF ZZZ1234101718.418.68.ZZZZ121 1.20.2ZZ1212310510122ZZZZZ232341721720.43.4ZZZZZ343451

33、8.43.418.422.083.68ZZZZZ454518.683.6818.6822.43.ZZZZ计算机控制技术即F(z)可展开成如下的无穷幂级数： 用直接除法不能产生 f (k)的闭合表达式01234( )()101718.418.68.kkF zf kT ZZZZZ1*0 ( )() ()( )0 10 () 17 (2 ) 18.4 (3 ) 18.68 (4 ).kZF zf kTtkTfttTtTtTtT计算机控制技术4.4.2 部分分式展开式 常用和行之有效的方法。 一般情况下F(z)可以写成以下的通式：1011111.( ).mmmmnnnnb ZbZbZbF zZa Za

34、Zamn计算机控制技术1.若F(z)分子多项式中的bm=0，那么可求F (z) / z的部分分式 pi = p1 ， p2 pn 为F(z)的n个单极点（pi可以为实数或复数）120111111212.( ).mmmnnnnnnb ZbZbF zZZa ZaZaAAAZpZpZp计算机控制技术( )()iiiZpF zAZpZ1212( ).nnA ZAZA ZF zZpZpZp则11111212 ( ) .nnA ZAZA ZZF zZZZZpZpZp计算机控制技术例： 求取z反变换 解：分子多项式中bm=0，则10( )(1)(0.2)ZF zZZ( )1012.512.5(1)(0.2)

35、10.212.512.5( )10.2F zZZZZZZZF zZZ11112.512.5 ( )( )10.212.5 12.5 0.212.5(1 0.2 )kkZZZF zZZf kZZ计算机控制技术2.若F(z)分子多项式中的bm0，则可在F(z)等式两端同除z后，得到F(z)/z，再对F(z)/z进行部分分式法例：求 的z反变换.解：由于分子多项式bm=20，则2( )(1)(3)ZF zZZ( )2(1)(3)F zZZZ ZZ 有三个极点0、1、3( )F zZ312( )13AAAF zZZZZ102123( )23( )3(1)2( )5(3)6zzzF zAZZF zAZZF zAZZ 计算机控制技术故可得 令k=0，1，2，3代入上式，得 f (0)=0，f (1)=1，f (2)=6，( )2 1315132 (1)6 (3)235( )32163F zZZZZZZF