量子力学习题1

1、量子力学部分量子力学部分 习题课习题课 2011年12月27日 波函数波函数 本身没有直接的物理意义。它并不像经典本身没有直接的物理意义。它并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动。波那样代表什么实在的物理量的波动。,r t2,r tr tr t表示表示 t 时刻时刻, 微观粒子在空间微观粒子在空间 点出现的相对点出现的相对概率密度概率密度。r 微观粒子的运动状态可以用波函数微观粒子的运动状态可以用波函数 完全完全描述描述。t t 时时刻，波函数在空间某点的绝对值的平方与该时刻在该点附近找刻，波函数在空间某点的绝对值的平方与该时刻在该点附近找到粒子的概率密度成正比。到粒子的概率密度成正比。)

2、,( tr2) 要求要求2,tr单值单值任意时刻粒子在空间出现的概率任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值只可能是一个值3)波函数的波函数的连续性连续性概率不能在某处发生突变概率不能在某处发生突变4) 粒子在空间各点的概率的总和为粒子在空间各点的概率的总和为 1- 波函数波函数归一化归一化条件条件1)空间任何有限体积元中找到粒子的概率为空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值有限值 1,2dVtr)(全全空空间间 一一. .量子力学基本原理之一量子力学基本原理之一波函数波函数（1 1）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地

3、位相当检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律牛顿定律”。 （3 3）它是一个）它是一个复数偏微分复数偏微分方程；方程； 其解波函数其解波函数 是一个是一个复函数复函数。 tr ,（2 2）它的解满足态的叠加原理）它的解满足态的叠加原理若若 和和 是薛定谔方程的解，是薛定谔方程的解，),(2tr),(1tr则则 也是薛定谔方程的解。也是薛定谔方程的解。),(),(2211trctrc 因为薛定谔方程是因为薛定谔方程是线性线性偏微分方程。偏微分方程。（4 4）它是非相对论形式的方程。）它是非相对论形式的方程。二二. .量子力学基本原理之二量子力学基本原理之二薛定谔方程薛定谔方程),(),(2),(2

4、2trtrUmtrti 经典波动微分方程经典波动微分方程222221yyxut)(cosuxtAy定态薛定谔方程定态薛定谔方程22( )( )( )2U rrErm自由粒子自由粒子22( , )( , )2ir tr ttm 粒子在恒定势场中运动的情形，粒子的概率密度只与空间坐标粒子在恒定势场中运动的情形，粒子的概率密度只与空间坐标有关，与时间无关。有关，与时间无关。薛定谔方程的应用薛定谔方程的应用a. 无限深方势阱无限深方势阱 xUaxxaxo,00 2sin(0)nnxxxaaa 0(0,)nxxxa 本征函数：本征函数：本征值：本征值：,.)2 , 1(22222nnmaEn5波函数为波

5、函数为驻波形式驻波形式，阱壁处为波节，波腹的，阱壁处为波节，波腹的个数与量子数个数与量子数 n 相等（节点的个数为相等（节点的个数为n-1)0 xa1n2n3n4nn2nxanAxsin)(xanaxsin2)(220pEa16E19E14E1E10 xb. 线性谐振子线性谐振子 mkkxxmxU,2121222势能线性谐振子定态波函数为线性谐振子定态波函数为 xHeAxnxnn222!2 nAnn其中零点能零点能(基态能量基态能量)为为:210E1,0,1,2,32Enn 能量本征值和零点能能量本征值和零点能c. 方势垒的穿透方势垒的穿透 隧道效应隧道效应隧道效应是微观粒子波动性的体现隧道效

6、应是微观粒子波动性的体现已完全被实验证实已完全被实验证实, 并制成扫描隧道显微镜并制成扫描隧道显微镜 （STM )d. 量子力学中的氢原子问题量子力学中的氢原子问题1、能量量子化和主量子数、能量量子化和主量子数式中式中 n 称为主量子数称为主量子数.n=1,2,3422220132nmeEn 2、角动量量子化和角量子数、角动量量子化和角量子数) 1( llL式中式中 l 称为角量子数或副量子数称为角量子数或副量子数.)1(2,1 ,0nl3、角动量空间量子化和磁量子数、角动量空间量子化和磁量子数电子绕核运动的角动量的方向在空间的取向只能取一些特定的电子绕核运动的角动量的方向在空间的取向只能取一

7、些特定的方向，方向，即角动量在外磁场方向的投影必须满足量子化条件：即角动量在外磁场方向的投影必须满足量子化条件：lzmL 式中式中 ml 称为磁量子数称为磁量子数.lml2, 1, 0角动量在空间的取向只有角动量在空间的取向只有 (2l+1) 种可能。种可能。施特恩施特恩盖拉赫实验盖拉赫实验1921乌伦贝克和高斯密特假设乌伦贝克和高斯密特假设 - 电子自旋假设电子自旋假设1925电子本身的内禀属性电子本身的内禀属性自旋磁量子数自旋磁量子数21sm4.4.电子自旋电子自旋电子自旋角动量在外磁场方向上的分量电子自旋角动量在外磁场方向上的分量 zsSm 自旋角动量大小自旋角动量大小3(1)4Ss s

8、 自旋量子数自旋量子数s=1/2四个量子数四个量子数 (1) 主量子数 n 大体上确定原子中电子的能量大体上确定原子中电子的能量 (2) 角量子数 l 确定电子的轨道角动量确定电子的轨道角动量 (3) 磁量子数 ml 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量确定轨道角动量在外磁场方向上的分量 (4) 自旋磁量子数 ms 确定自旋角动量在外磁场方向上的分量确定自旋角动量在外磁场方向上的分量s , p , d , f , g .最大电子数最大电子数 2 , 6 , 10, 14, . 2(2l+1)把原子中具有相同主量子数把原子中具有相同主量子数 n n 的电子称为同一壳层电子的电子称为同一壳层电子.

9、.最大电子数最大电子数 2 , 8 , 18, 32, 50 . ( 2n2 , 8 , 18, 32, 50 . ( 2n2 2 ) )主量子数主量子数 n= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .n= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .壳层壳层 K , L , M , N , OK , L , M , N , O . .在每一壳中具有相同量子数在每一壳中具有相同量子数 l 的电子组成支壳层的电子组成支壳层.l =0, 1, 2, 3, 4, .电子数表示如电子数表示如 n=2, l =1 态用态用 2p表示表示n=2, l =0 态用态用 2s 表示表示 a. a.泡利不相容原理泡利不

10、相容原理b.b.能量最小原理能量最小原理e.e.原子中的电子分布原子中的电子分布 在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态，亦即在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态，亦即不可能具有完全相同的四个量子数不可能具有完全相同的四个量子数。 原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级最低的能级22626122626110K122334Cu 1223343sspspssspspsd可用可用 （ n+0.7 l ) 的值确定能的值确定能级的高低。级的高低。注意注意 K K、Cu Cu 的的核外电子排布核外电子排布第

11、第1 1题题证明：在原子内，（1）n，l相同的状态最多可容纳2(2l+1)个电子；（2）n相同的状态最多可容纳2n2个电子。证明证明： 根据泡利不相容原理和决定原子中电子状态的四个量子数：n，l，ml，ms（1）n，l，ml都相同时，ms可以有2个数值；在n，l取值相同时，ml有2l1个取值，再考虑到ms的差别，一共有2(2l+1)个不同状态。（2）当n相同时，l可取从0到n-1，共n个不同数值，则n相同的电子最大数目为21022)24(2 1) 1(2 2.1062) 12(2nnnnlNnln第第2 2题题. .下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电子

12、的状态？子的状态？(A).n =2, l =2, ml =0, ms=1/2(B). n =3, l =1, ml = 1, ms= 1/2(C). n =1, l =2, ml =1, ms=1/2(D). n=1, l =0, ml =1, ms= 1/2（B）第第3 3题题. . 原子内电子的量子态由原子内电子的量子态由n,l,mn,l,ml l及及m ms s四个量子数四个量子数表征。表征。当当n,l,mn,l,ml l一定时，不同的量子态数目为（一定时，不同的量子态数目为（ ），），当当n,l,n,l,一定时，不同的量子态数目为（一定时，不同的量子态数目为（ ），），当当n n一定时

13、，不同的量子态数目为（一定时，不同的量子态数目为（ ）. .24l+22n2第第4 4题题. .锂锂 (Z=3) 原子中含有三个电子，电子的量子态可用原子中含有三个电子，电子的量子态可用 （n, l , ml , ms ）四个量子数来描述，若已知其中一）四个量子数来描述，若已知其中一 个的量子态为个的量子态为 （1， 0， 0， 1/2 ），则其余两个电），则其余两个电 子的量子态分别为子的量子态分别为和和 (1, 0, 0, -1/2)第一个电子在第一个电子在 s 支壳层，故第二个电子应填满支壳层，故第二个电子应填满 s 层，量子层，量子数为（数为（1， 0， 0， -1/2 ）。）。第三个

14、电子在第三个电子在 n=2 的的 s 支壳层，即取支壳层，即取 l =0 ，因此有，因此有 ml =0,ms=1/2. 故第三个电子的量子数为故第三个电子的量子数为 （2， 0， 0， 1/2 ） 或或（2， 0， 0， -1/2 ）。）。(2, 0, 0, 1/2)。常用算符常用算符piijkixyz (能量算符能量算符) 动量算符动量算符 动能算符动能算符22pTm2222222()2mxyz哈密顿算符哈密顿算符2( )2pHU rm22( )2U rm 222m三三. .量子力学基本原理之三量子力学基本原理之三力学量算符力学量算符角动量算符角动量算符Lrp i r()xLiyzzy ()

15、yLizxxz ()zLixyyx 2222xyzLLLL其平均值其平均值( )nrF通过通过 的本征方程的本征方程( )( )nnnFrr和本征值和本征值 n可求得本征函数可求得本征函数在量子力学中，力学量用一个算符在量子力学中，力学量用一个算符 表示，表示，F1.当体系处在当体系处在 n态时，态时， 力学量有确定值，即本征值力学量有确定值，即本征值 n2.当体系处在叠加态当体系处在叠加态 时，时，( )( )nnnrCr力学量一般没有确定值，力学量一般没有确定值，2nnnFC222d2dEmx2202d2dUEmxax 0axx,02nC表示粒子处在表示粒子处在 的概率的概率n 2sin(

16、0)nnxxxaaa ,.)2 , 1(22222nnmaEn无限深方势阱无限深方势阱量子力学的几个基本原理量子力学的几个基本原理1.1.量子体系的状态由波函数（概率幅）完全描量子体系的状态由波函数（概率幅）完全描述。述。2.2.概率幅（波函数）服从薛定谔方程。概率幅（波函数）服从薛定谔方程。3.3.力学量用算符表示，力学量用算符表示，4.4.关于关于“力学量测量力学量测量”的原理。的原理。量子体系处于某力学量的本征态时，量子体系处于某力学量的本征态时， 测量该力学量具有确定值；测量该力学量具有确定值；量子体系处于某力学量本征态的叠加态时，量子体系处于某力学量本征态的叠加态时， 测量该力学量所

17、得的值有一个测量该力学量所得的值有一个 确定的概率分布。确定的概率分布。力学量所能取的值是其相应算符的本征值力学量所能取的值是其相应算符的本征值。第第5 5题题. .当势能U(r)改变一个常量c时，即U(r) U(r)+c,粒 子的波函数与时间无关的部分改变否?能量本征值 改变否?解：由薛定谔方程当势能函数 CrUrU将U(r)+c代入方程中 222222CCU rCrErmU rrCrErm 故波函数与时间无关的部分不改变,能量本征值改变.CECE 222U rrErm 第第6 6题题. .在如图所示的无限深斜底势阱中有一粒子。试画出它处于n=5的激发态时的波函数曲线。 Un=5n=5 U(

18、a) (b)解：本题可以通过薛定谔方程求出本征函数，但计算非常烦琐。定性的波函数曲线可以通过对束缚态本征函数的特点进行分析得出。，所以，而）因为（mpEaxEUEEkk212axEmp22在U越大的区域，p越小，越长。ph（2）由一维谐振子概率密度分布图可知，U越大的区域，波函数的振幅也越大。（3）由无限深和半无限深方势阱中粒子的波函数分布图可知，除边界外，节点数为n-1。波函数的特征可以用波长、振幅、节点数波长、振幅、节点数及节点位置节点位置来描述。（4）由无限深和半无限深势阱，势垒穿透的波函数分布图可知，在势为处，=0；在势不为的边界处，波函数可穿透边界。对于（a）图类型的“梯形”势阱，势

19、阱两端为节点，中间有3个节点，波长和振幅随U的升高而增大。 Un=5n=5 U对于（b）图类型的“三角”势阱，势阱一端为节点，中间也有3个节点，但斜坡边界区不为0，呈现一定的贯穿，在斜势垒区贯穿几率随U的升高而下降，波长和振幅随U的升高而增大。第第7 7题题. .设粒子处在设粒子处在0,a0,a范围内的一维无限深方势阱中范围内的一维无限深方势阱中, ,波函数为波函数为 24sincosxxxaaa试求粒子能量的可能测量值及相应的概率试求粒子能量的可能测量值及相应的概率. .解解: :在一维无限深方势阱中能量本征值在一维无限深方势阱中能量本征值2222,1,2,32nnEnma相应的能量本征函数

20、为相应的能量本征函数为 2sin, 0nn xxxaaa 21133134sincos1223sinsin21,2xxxaaaxxaaaacxcxcc式中测量能量为测量能量为22122Ema223292Ema其概率为其概率为其概率为其概率为2112c2312c题中所给波函数为本征函数的线性组合题中所给波函数为本征函数的线性组合, ,做变换如下做变换如下第第8 8题题. .谐振子的基态波函数为谐振子的基态波函数为 ，式中，式中A，a为常量，将此式代入一维谐振子的薛定谔方程，试为常量，将此式代入一维谐振子的薛定谔方程，试根据所得出的式子在根据所得出的式子在x为任何值时均成立的条件导出为任何值时均成立的条件导出谐振子的零点能为谐振子的零点能为2axAehE210解：一维谐振子的波动方程为021222222xmEmdxd已知2axAe，则2242222axeaAAxadxd2242222axeaAAxadxd将 代入波动方程，注意基态的能量E即零点能E0，方程整理后有02240222222aEmxm