与中点有关的辅助线作法例析

1、与中点有关的辅助线作法例析安徽省利辛县教育局督导室夏飞线段的中点是几何图形中的一个特殊点 在解决与中点有关的问题时， 如果能适当地添加辅助线、 巧妙地利用中点， 则是处理中点问题的关键 但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法一、遇到中点找中点这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题， 主要是连接两个中点作中位线， 并利用其性质因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线例 1：如图 1，E、F 分别为 BC、AD 的中点，射线BA 、

2、EF 交于点 G，射线 CD、 EF 交于点 H 求证：分析： 连接 AC ，并取其中点P，构造 PEF，证明，再利用中位线的性质即可得证证明： 连接 AC ，取 AC 的中点 P，连接 PE、 PFE 为 BC 的中点， PEAB ，同理 PF CD，精选文库由 PEAB，得，由 PFCD，得说明： 已知三角形一边的中点或梯形一腰的中点，常过中点作中位线二、遇到中点作中线这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质 因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线例 2：如图 2， ABC 中，AD

3、为高，E 为 BC 的中点，求证：分析：在 ABC 中，出现了 Rt ADC 和 RtADB 这两个直角三角形；又因为 E 为 BC的中点，即题目中有中点与直角三角形的条件按照“遇到中点找中点”的方法，可取 Rt ADC 斜边 AC 的中点 F（或 AB 的中点），连接 EF，即得 ABC 的中位线；再依据“遇到中点作中线”的方法，连接DF，即得到Rt ADC斜边AC 上的中线，然后只要证明即可证明： 取 AC 的中点 F，连接 EF 、DFE、 F 分别为 BC、AC 的中点， EFAB ， AD 是高， ADC 是直角三角形精选文库又 F 为斜边 AC 的中点，由 EFAB，得又，说明：

4、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三角形底边的中点，则应常想到作中线三、遇到中点倍长线段这种方法是指： 若图中出现由中点引出的线段， 则应常想到成倍延长这一线段， 可为解题提供更为广阔的思路例 3：如图 3，在 ABC 中，已知 D 为 BC 边中点， FD ED 于点 D，交 AB 、AC 于点F、 E求证：分析： 待证的线段 BF 、 CE、 EF 之间没有明显关系。但点 D 是 BC 边的中点，故应考虑倍长 ED （倍长 FD 也可）到点 G，连结 BG 、FG，则： BGD CED ，所以，又因为FD ED ，则，这样就把精选文库BF、CE 、EF 转移到了 BFG 中，再利用三角形三

5、边关系即可证得结论证明： 延长 ED 到 G，使点 D 是 BC 边的中点，又， BGD CED，；在 FGE 中， FDED ，在 FGE 中，说明： “倍长线段”法在解题过程中有着很重要的作用，通过倍长相应的线段，再结合相应的条件可得到全等三角形， 从而可转移边、 角但须注意它的使用前提是已知条件中存在着线段的中点四、遇到中点，且结论为比例式时，常过中点作平行线在解决有些几何问题中， 尽管遇到了中点， 但要证明的结论是比例式， 此时可考虑过中点作平行线例 4：如图 4，过 ABC 的顶点 C 任作一直线，与边AB 及中线 AD 分别交于点F、E求证：精选文库分析： AD 是中线，则D 为

6、BC 的中点，要证明的结论为比例式，且AE 、ED 又不在一个三角形内，为此，可过 D 点作 DM AB ，可知 DM 是 BFC 的中位线则有同时又可证得 AEF DME ，则有，接下去利用等量代换即可证得结论成立证明：过点 D 作 DM AB 交 CE 于 M，则：，DM AB， DM 是 BCF 的中位线，在 AEF 与 DME 中， AEF DME ，精选文库，即注： 此例也可按照“遇到中点找中点”的方法，取FC 的中点 M ，然后连接DM 说明： 中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题迅速得到解决五、

7、遇到线段垂直平分线上的点，则常将这一点与线段的端点连接起来由于“线段垂直平分线上的点， 到线段两端点的距离相等” ，所以可根据这一性质定理，若遇到线段垂直平分线上的点， 则常将这一点与线段的端点连接起来， 往往可使问题变得简便，从而顺利证得结论成立例 5、如图 5，设 P 是等边 ABC 的 BC 边上任一点， 连接 AP，作 AP 的中垂线交AB 、AC 于 M、N求证：分析： 连接 PM、PN 因为 MN 是 AP 的中垂线，所以，则MPN MAN ，于是有又由于，可得：，于是有 BPM CNP ，于是可证得精选文库证明： 连接 PM、 PN在 MPN 与 MAN 中， MN 是 AP 的中垂线，MN 是公共边， MPN MAN （ SSS），又， BPM CNP ，从上述几例含有中点条件的问题可以看出，在