三角函数公式大全及其推导方法

1、精品三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义AcbFigure I由此，我们定义：如 Figure I,在ABC 中-可编辑 -精品的正弦值：sinb(对边c)斜边的余弦值：cosa(邻边c)斜边的正切值：tanb(对边a)邻边的余切值：cot11a (邻边)tanbb对边a的正割值：sec11c斜边cosa()a邻边c的余割值：csc11c斜边sinb()b对边c备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写符号，但用三个子母表示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、 tan 。2. 额外的定义sin 2(sin)2cos2(cos) 2tan2(tan)23. 简便计算公

2、式-可编辑 -精品sinbcos Acos(90o)ccoscsin Asin(90 o)btanb111aatan A tan(90 o)bsin 2cos21证明：Q 在 ABC中,ABC90oa2b2c2a2b21c2c2sin 2 Bsin A1sin 2cos21证完bbsintancaacosctan21sin2cos21cos2cos2cos24. 任意三角形的面积公式Cabh-可编辑 -精品Figure II如 Figure II,S ABC1ah21 ab sin C21 ac sin B ( 两边和其夹角正弦的乘积 )25. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和

3、减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。证明：如 Figure II,-可编辑 -精品b2d2h2(ac cos B) 2(c sin B)2a22ac cos Bc2 cos2Bc2 sin 2B=a22ac cos Bc2 (cos2Bsin2 B)a2c22ac cos Bcos Bb2a2c2a2c2b22ac2ac证完6. 海伦公式证明：如 Figure II ,S ABC1 ab sin C21 ab1cos2 C21 aba2b2c22122ab11a4b4c42a2b22a2c22b2c2ab4a2 b2214a2b2a4b4c42a2b22a2 c22b2c2ab4a2b221

4、2 2 4a2b2a4b4c42a2b22a2c22b2c2a b4a2 b241 a2b2a4b4c42a2b22a2c22b2c24a2 b24abcabcbcaabc16-可编辑 -精品a b c 2c a b c 2b a b c 2a a b c2222a b c 2c a b c 2b a b c 2a a b c2222a b c a b caa b c ba b c c2222设： s= abc2S ABCs sa s b sc7. 正弦定理AcOFigure III-可编辑 -精品如 Figure III ,c 为ABC 外接圆的直径 ,aQ sin Acac2r （ r 为

5、ABC 的外接圆半径）sin A同理：b, cccsin Csin Babcsin Asin B2rsin C8. 加法定理(1) 两角差的余弦yA( -)BOCx-可编辑 -精品Figure IV如 Figure IV,AOCBOCAOB令 AO=BO=r点 A 的横坐标为 xAr cos点 A 的纵坐标为 yAr sin点 B 的横坐标为 xBr cos点 B 的纵坐标为 yBr sin-可编辑 -精品AB2yAyB2xA2xBr sin2r cos2r sinr cosr 2 sin 2r 2 sin22r 2 sinsinr 2 cos2r 2 cos22r2 cos cosr 2si

6、n2sin22sinsincos2cos22coscosr 2sin2cos2sin2cos22sinsin2coscosr 2112 sin sincoscosr 222 sinsincoscos2r 21sinsincoscos由余弦公式可得：AB2AC 2BC 22AC BC cos ACBr 2r 22rr cos2r 22r 2 cosr 222cos2r 21cos综上得： cossinsincoscos(2) 两角和的余弦coscossinsincoscossinsincoscoscoscossinsin(3) 两角和的正弦sincos90cos90sin90sincos 90c

7、oscossinsincos(4) 两角差的正弦-可编辑 -精品sinsincossinsincoscossinsincossincoscossin(5) 两角和的正切sintancoscossinsincoscoscossinsincossinsincoscoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsin1coscostantan1 tantan(6) 两角差的正切tantantantan1tantantantan1tantan9. 两倍角公式-可编辑 -精品sin2sinsincossincos2sincoscos 2coscoscossinsincos2

8、sin21 2sin 22cos 21tan2sin2cos 22sincoscos2sin22sincoscos2cos2sin 2cos22sincos21cos22 tan1 tan 210. 积化和差公式12sincossin cos21sincossin coscos sincos sin21sinsin2-可编辑 -精品coscos12coscos21coscoscoscossinsinsinsin21coscos2sinsin12sinsin21sinsinsinsincoscoscoscos21coscos211. 和差化积公式(1)设： A= + , B=- ,sin Asi

9、n Bsinsinsincoscossinsincoscossin2sincos2sin2cos22sinABcosAB22sin Asin Bsinsinsincoscossinsincoscossin2cossin2cos2sin22cosABsinAB22(2)设： cosa, sinb2sin212222 , cosabab-可编辑 -精品a sinb sina2b2ab2sina2b2bcosa2a2b2a2b2cossinsincosa2b2sin12. 其他常用公式-可编辑 -精品sinn3600sincosn3600costann3600tansin90coscos 90sin

10、tan 901tansin90coscos 90sintan 901tansin90coscos90sintan901tansin 180sincos 180costan 180tansin180sincos180costan180tansinsincoscostantantan2n190不存在1cos1cos11sin1sin1-可编辑 -精品13. 特殊的三角函数值00153045605907512643122sin06212362142224co23216260142224sta02331323N/A3n14. 关于机器算法在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中 x 用弧度计算1x35

11、x70x2 n1xxLsin x3!5!7!2n1 !1!nx0x2x4x60xnLcosx2!4!6!2n !0!n-可编辑 -精品推导公式： (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中， R 为外接圆半径 )由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC-可编辑 -精品加起来 a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+c

12、osAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导用 表示乘方，用 log(a)(b) 表示以 a 为底， b 的对数-可编辑 -精品* 表示乘号， / 表示除

13、号定义式：若 an=b(a>0且 a 1)则 n=log(a)(b)基本性质：1.a(log(a)(b)=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的 n=log(a)(b)带入an=b)2.MN=M*N由基本性质 1( 换掉 M 和 N)alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N)-可编辑 -精品由指数的性质alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N)又

14、因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与 2 类似处理MN=M/N由基本性质 1( 换掉 M 和 N)alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.与 2 类似处理Mn=Mn由基本性质 1( 换掉 M)-可编辑 -精品alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n由指数的性质alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n又因为指数函数是单调函数，

15、所以log(a)(Mn)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=alog(a)(N)a=blog(b)(a)综合两式可得N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)又因为 N=blog(b)(N)所以-可编辑 -精品blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)这步不明白或有疑问看上面的所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(an)(bm)=m

16、/n*log(a)(b)推导如下由换底公式 lnx 是 log(e)(x),e称作自然对数的底 log(an)(bm)=ln(an)/ln(bn)由基本性质 4 可得log(an)(bm)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由换底公式log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)-（性质及推导完）公式三 :-可编辑 -精品log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下 :由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)-取以 b 为底的对数 ,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a)还可变形得 : log(a)(b)*lo

17、g(b)(a)=1平方关系：sin2( )+cos2( )=1tan2( )+1=sec2()cot2( )+1=csc2()·商的关系：tan =sin /cos cot =cos /sin·倒数关系：tan · cot =1sin· csc =1-可编辑 -精品cos · sec =1万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2( /2)cos =1-tan2( /2)/1+tan2( /2)tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)常用的诱导公式有以下几组：公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin

18、 （ 2k ）sincos （ 2k ）cos tan （ 2k ）tan cot （ 2k ）cot 公式二：设 为任意角，的+三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin （）sin-可编辑 -精品cos （）cos tan （）tan cot （）cot 公式三：任意角 与 -的三角函数值之间的关系：sin （）sincos （）cos tan （）tan cot （）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到- 与 的三角函数值之间的关系：sin （）sincos （）cos tan （）tan cot （）cot -可编辑 -精品公式五：利用公式一和公式三可以得到2 - 与 的三角函数

19、值之间的关系：sin （ 2 ）sincos （ 2 ）cos tan （ 2 ）tan cot （ 2 ）cot 公式六： /2 ±及 3 /2 ±与 的三角函数值之间的关系：sin （ /2 ）cos cos （ /2 ）sintan （ /2 ）cot cot （ /2 ）tan sin （ /2 ）cos cos （ /2 ）sintan （ /2 ）cot -可编辑 -精品cot （ /2 ）tan sin （ 3 /2 ）cos cos （ 3 /2 ）sintan （ 3 /2 ）cot cot （ 3 /2 ）tan sin （ 3 /2 ）cos cos

20、（ 3 /2 ）sintan （ 3 /2 ）cot cot （ 3 /2 ）tan (以上 k Z)一般的最常用公式有 :Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB-可编辑 -精品Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方关系：sin2( )+cos2( )=1tan2( )+1=sec2()cot2( )+1=cs

21、c2()·积的关系：sin =tan *coscos =cot *sintan =sin *seccot =cos *cscsec =tan *csccsc =sec *cot·倒数关系：tan · cot =1-可编辑 -精品sin· csc =1cos · sec =1直角三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边 ,余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 ,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos( + )=cos·-sincos· sincos(- )=cos·

22、 cos +sin· sinsin(±)=sin· cos ± cos · sintan( + )=(tan +tan-tan ·)/(1 tan )tan(- )=(tan - tan )/(1+tan· tan )·辅助角公式：Asin +Bcos =(A2+B2)(1/2)sin( +t)，其中-可编辑 -精品sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)·倍角公式：sin(2 )=2sin· cos =2/(tan +cot)cos(2 )=cos2( -

23、sin2() )=2cos2( -1=1)-2sin2()tan(2 )=2tan-tan2(/1 )·三倍角公式：sin(3 )=3sin-4sin3()cos(3 )=4cos3( -3cos)·半角公式：sin( /2)=±-cos(1 )/2)cos( /2)=± (1+cos )/2)tan( /2)=±-cos(1 )/(1+cos )=sin /(1+cos-cos )/sin=(1·降幂公式sin2( )=(1-cos(2 )/2=versin(2 )/2-可编辑 -精品cos2( )=(1+cos(2 )/2=ver

24、cos(2 )/2tan2( )=(1-cos(2 )/(1+cos(2 )·万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2( /2)cos =1-tan2( /2)/1+tan2( /2)tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)·积化和差公式：sin· cos =(1/2)sin(-+) )+sin(cos · sin =(1/2)sin(- sin(-+)cos · cos =(1/2)cos(-+)+cos(sin· sin-(1/2)cos(=-cos(+)- )·和差化积公式：sin +sin =

25、2sin( + )/2cos(-sin-sin =2cos( + )/2sin(-)/2cos +cos =2cos( + )/2cos(-)/2-可编辑 -精品cos -cos =-2sin( + )/2sin(- )/2·其他：sin +sin( +2 /n)+sin( +2 *2/n)+sin( +2 *3/n)+-1)/ +sin +2 n=0cos +cos( +2 /n)+cos( +2 *2/n)+cos( +2 *3/n)+- +cos +2 1)/n=0以及sin2( )+sin2(- 2 /3)+sin2( +2 /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+t

26、anA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示 (由泰勒级数易得 )：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展开有无穷级数， ez=exp(z) 1 z/1 ！z2/2 ！ z3/3 ！z4/4 ！zn/n ！-可编辑 -精品此时三角函数定义域已推广至整个复数集。·三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=-y''y=y''''，有通解 Q,可证明Q=Asinx+Bcosx，因此

27、也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值a030456090sina01/2 2/2 3/21cosa1 3/2 2/21/20tana0 3/31 3NonecotaNone 31 3/30三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.= cnxn(n=0.)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.= cn(xa)n(n=0.-)-可编辑 -精品它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中 c0,c1,c2,. 及 a 都是常数 ,这种级数称为幂级数 .泰勒展开式 (幂级数展开法 ):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.实用幂级数