七年级数学培优提高讲义：相交线与平行线(一)(1)

1、七年级数学：相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（ 1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（ 2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做_；如果两个角都在两

2、直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_.5平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线_.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_.6平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成： _. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成： _. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_.7在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_ .8平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相

3、等.简单说成：_.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成： _。 .方法指导： 平行线中要理解平行公理，能熟练地找出 “三线八角” 图形中的同位角、内错角、同旁内角， 并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例 1如图 (1)，直线 a 与 b 平行， 1(3x+70) ° , 2=(5x+22) ° ,求 3 的度数。解：a b，l3 4（两直线平行，内错角相等）3a1+ 3 2+ 4 180° ( 平角的定义 )41 2 (等式性质 )b2则 3x+70 5x+22 解得 x=24即 1

4、 142°3 180°- 1 38°图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。例 2已知：如图 (2) ， AB EF CD ，EG 平分 BEF， B+ B- D=24 °，求 GEF 的度数。解： AB EF CD B= BEF ， DEF= D （两直线平行，内错角相等） B+ BED+ D =192 °（已知）即 B+ BEF+ DEF+ D=192 ° 2（ B+ D ） =192°（等量代换）则 B+ D=96 °（等式性质） B- D=24 °（已知） B=6

5、0 °（等式性质）即 BEF=60 °（等量代换） EG 平分 BEF （已知） GEF= 1 BEF=30 °（角平分线定义） BED+ D =192 °，ABGEFCD图 (2)2例 3 如图（ 3），已知 AB CD，且 B=40 °， D=70 °，求解：过 E 作 EF ABAB CD （已知）C EF CD （平行公理） BEF= B=40 ° DEF= D=70 °（两直线平行，内错角相等）A DEB= DEF- BEFDEB = D- B=30°评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构

6、成“三线八角”图（ 3）DEB 的度数。DBEF，则应添出辅助线。例 4 已知锐角三角形 ABC 的三边长为 a， b， c，而 ha，hb，hc 分别为对应边上的高线长，求证： ha+hb+hc a+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知， ha c ， hb a，hc b 以上三式相加得 ha+hb +hc a+b+c研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2 垂线段最短。例 5 如图（ 4），直线 AB 与 CD 相交于 O， EF AB 于求证 EF 与 GH 必相交。分析：欲证 EF 与 GH 相交，直接证很困难，

7、可考虑用反证法。证明：假设EF 与 GH 不相交。 EF、 GH 是两条不同的直线bchaaF，GHCD 于 H，EGADFHOCB EF GH EF AB GH AB又因 GHCD故 AB CD ( 垂直于同一直线的两直线平行)图（ 4）这与已知AB 和 CD 相交矛盾。所以 EF 与 GH 不平行，即EF 与 GH 必相交评注：本题应用结论：(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例 6 平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？解： 2 条直线产生 1 个交点，第 3 条

8、直线与前面2 条均相交，增加2 个交点，这时平面上3 条直线共有1+2=3 个交点；第 4 条直线与前面3 条均相交，增加3 个交点，这时平面上4 条直线共有1+2+3=6 个交点；则 n 条直线共有交点个数： 1+2+3+ + (n-1)= 1 n(n-1)2评注：此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例 7 6 个不同的点，其中只有 3 点在同一条直线上， 2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？解： 6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的3 点中重合多算的2 条直线，即能确定的直线为15-2=13 条。

9、另法： 3 点所在的直线外的3 点间最多能确定3 条直线，这3 点与直线上的3 点最多有3×3=9 条直线，加上3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+ +(n-1)= 1 n(n-1)2例 8 10 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解： 2 条直线最多将平面分成2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3 段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3 个，即最多分成2+2+3=7 个不同区域；同理： 4 条直线最多分成2+2+3+4=11

10、个不同区域； 10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域推广： n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+ +n=1+ 1 n(n+1)= 1 (n2+n+2) 块不同22的区域思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？180 0例 9 平面上 n 条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n证明：平面上n 条直线两两相交最多得对顶角n(n1)× 2 n(n-1) 对，即 2n(n-1) 个角2平面上任取一点 O，将这 n 条直线均平行移动过点O，l 3成为交于一点O 的 n 条直线，l2这 n 条直线将以 O

11、 为顶点的圆周角分为2n 个（共 n 对）互不重叠的角：1、 2、3、 2nO由平行线的性质知，这2n 个角中每一个都和原来n 条l n直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原 2n(n-1) 个角中的角。若这 2n 个角均大于 180 0，则 1+ 2+3+ 2n 2n×180 0=360° ,nn而1+ 2+ 3+ + 2n =360° , 产生矛盾故、3、2n中至少有一个小于180 0，12即原来的 2n(n-1) 中至少有一个角不小于n1800n评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例 10（ a）请你在平面上

12、画出6 条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3 条直线相交，并简单说明画法。（ b）能否在平面上画出 7 条直线（任意 3 条都不共点） ，使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解：（ a）在平面上任取一点A 。过 A 作两直线 m1 与 n1。在 n1 上取两点 B， C，在 m1 上取两点 D，G。过 B 作 m2 m1，过 C 作 m3 m1，过 D 作 n2 n1，过 G 作 n3 n1，这时 m2、m3、n2、n3 交得 E、F、 H、 I 四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3 条直线相交

13、。（b）在平面上不能画出没有3 线共点的7 条直线，使得其中每条直线都恰与另外3 条直线相交。理由如下：ADGm1BEHm2CFIm3n1n2n3假设平面上可以画出7 条直线，其中每一条都恰与其它3 条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3 条直线共点，所以每条直线上恰有与另3 条直线交得的3 个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有3× 721 个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7 条直线交点总数为21 10.5 个，因为交点个数应为整数，矛盾。2所以，满足题设条件的7 条直线是画不出来的。三、巩固练习1平面上有 5 个点，其中 仅有 3 点在同一直线上，过

14、每2 点作一条直线，一共可以作直线（）条A6 B 7C 8D 92平面上三条直线相互间的交点个数是（）A 3B1或3C1或2或3D 不一定是 1， 2， 33平面上 6 条直线两两相交，其中仅有3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A36 条B33 条C24 条D21 条A,D, F,E4A, B,C三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上， 已知平面中有 n 个点除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出 38条不同的直线，这时n等于（）（ A）9（ B）10（ C）11（ D）125若平行直线 AB 、CD 与相交直线 EF、GH 相交成如图示的图形，则

15、共得同旁内角 （）A4 对B8 对C12 对D16对6如图，已知 FD BE，则 1+ 2- 3=()A90°B 135°C 150°D 180°EGABCDH第5题FA3A1E1CFGCDB22FDB第6题E第 7题7如图，已知 AB CD， 1= 2，则 E 与 F 的大小关系；8平面上有 5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5 点之外这些直线最多还有交点G9平面上 3 条直线最多可分平面为个部分。APB10如图， 已知 AB CD EF，PS GH 于 P， FRG=110 °，则 PSQ。CQDSElF11已知 A 、B 是直线

16、L 外的两点，则线段AB 的垂直平分第10题RH线与直线的交点个数是。12平面内有4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。13已知：如图，DECB ，求证： AED= A+ B14已知：如图，AB CD ，求证： B+ D+ F=E+ GABAEFDEGCDCB第13题15如图，已知CBAB ， CE 平分 BCD ，DE 平分 CDA ， EDC+ ECD =90 °，求证： DA AB16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17平面上 5 个圆两两相交， 最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？第14题ADE18一直线上 5 点与直线外 3 点，每

17、两点确定一条直线， 最多确定多BC少条不同直线？第15 题19平面上有 8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。20平面上有 10 条直线， 无任何三条交于一点，欲使它们出现31 个交点，怎样安排才能办到？画出图形。答案1 5 个点中任取2 点，可以作4+3+2+1 10 条直线，在一直线上的3 个点中任取2 点，可作 2+1 3 条，共可作 10-3+1 8（条）故选 C2平面上 3 条直线可能平行或重合。故选D3对于 3条共点的直线， 每条直线上有4 个交点， 截得 3 条不重叠的线段，3 条直线共有 9条不重叠的线段对于 3 条不共点的直线， 每条直线上

18、有5 个交点， 截得 4 条不重叠的线段，3 条直线共有 12条不重叠的线段。故共有 21 条不重叠的线段。故选D4由 n 个点中每次选取两个点连直线，可以画出 n(n 1) 条直线， 若 A, B, C 三点不在一条2直线上，可以画出3条直线，若 A, D , E, F 四点不在一条直线上，可以画出6 条直线，n(n1)62 38.整理得n 2n 90 0,( n 10)(n 90)0.23 n+9 0 n 10, 选 B。5直线 EF、 GH 分别“截”平行直线 AB 、CD ，各得 2 对同旁内角，共 4 对；直线 AB 、 CD 分别“截”相交直线 EF、 GH ，各得 6 对同旁内角

19、，共 12 对。因此图中共有同旁内角4+6 16 对EGAAB31FGCDCDHF2第 5题B第 6E题A1ECB2FD6 FD BE 2= AGF AGC= 1-3 1+ 2-3= AGC+ AGF=180 ° 选 B7解： AB CD（已知） BAD= CDA （两直线平行，内错角相等） 1= 2（已知） BAD+ 1= CDA+ 2（等式性质）即 EAD= FDAAE FD E F8解： 每两点可确定一条直线，这 5 点最多可组成10 条直线， 又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1 45（个）又因平面上这5 个点与其余4 个点均有4 条

20、连线，这四条直线共有3+2+1 6 个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30 个交点，所以有交点的个数应为 45-30 15 个9可分 7 个部分 10解 AB CD EF APQ DQG= FRG=110 °同理 PSQ= APS PSQ= APQ- SPQ= DQG- SPQ=110°-90° =20 °11 0 个、 1 个或无数个GAPBCQDSElF第10题RH1）若线段AB 的垂直平分线就是L ，则公共点的个数应是无数个；2）若 ABL ，但 L 不是 AB 的垂直平分线，则此时AB 的垂直平分线与L 是平行的关系，所以

21、它们没有公共点，即公共点个数为0 个；3）若 AB 与 L 不垂直，那么AB 的垂直平分线与直线L 一定相交，所以此时公共点的个数为 1 个12 4 条直线两两相交最多有1+2+3 6 个交点13证明：过E 作 EFBAFA 2= A （两直线平行，内错角相等） DE CB ， EF BADE 1= B（两个角的两边分别平行，这两个角相等） 1+ 2=B+ A （等式性质）即 AED= A+BCB14证明：分别过点E、F、 G 作 AB 的平行线 EH 、 PF、 GQ，则 AB EH PF GQ（平行公理） AB EHBEHPFGQCDABE BEH （两直线平行，内错角相等）同理： HEF

22、 EFP PFG FGQ QGD GDC ABE+ EFP+ PFG+ GDC BEH+ HEF+ FGQ+ QGD （等式性质）即B+ D+ EFG= BEF+ GFD15证明： DE 平分 CDACE 平分 BCD EDC= ADEECD = BCE(角平分线定义) CDA + BCD= EDC+ ADE+ ECD+ BCE=2（ EDC+ ECD） 180°DA CB又CBABDAAB16两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4 个交点，三条直线最多有3 个不同的交点，即最多交点个数为：2+4 ×3+3=17ADEBC第15 题17（ 1） 2 个圆相交有交点

23、2×1 1 个，第 3个圆与前两个圆相交最多增加2×2 4个交点，这时共有交点2+2×26 个第 4个圆与前3 个圆相交最多增加2×3 6个交点，这时共有交点2+2× 2+2× 3 12 个第 5个圆与前4 个圆相交最多增加2×4 8个交点5 个圆两两相交最多交点个数为：2+2× 2+2× 3+2× 420（2） 2个圆相交将平面分成 2 个区域3个圆相看作第3 个圆与前 2 个圆相交，最多有2× 24 个不同的交点，这4 个点将第 3 个圆分成 4 段弧， 每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加 2×2 4 块区域， 这时平面共有区域： 2