中值定理构造辅助函数

1、微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点： (1)将要证的结论中的换成 x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式； (3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零； (4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F ( x) 例 1：证明柯西中值定理分 析 ： 在 柯 西 中 值 定 理 的 结 论 f (b)f ( a)f'()中 令x ， 得g (b)g(a)g '()f (b)f (a)f '( x)， 先 变 形 为 f (b)f

2、(a)gg '( x)f'(x) 再 两 边 同 时 积 分 得g(b)g( a)g '(x)g (b) g(a)f (b)f (a)gg( x)f ( x)C， 令C0 ， 有f ( x)f (b)f (a) gg (x)0 故g(b)g( a)g(b)g(a)F ( x)f (x)f (b)f ( a) gg( x) 为所求辅助函数g (b)g (a)例 2：若 a0 , a1 , a2 , ,an 是使得 a0a1a2an0的实数证明方程231na0 a1x a2 x2 an xn0 在（ 0，1）内至少有一实根证：由于(a0a1xa2 x2an xn )dx a

3、0 xa1 x2a2x3anxn 1C23n1并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设F ( x)a1x2a2x3anxn1（取 C0 ），则a0 x3n 121） F (x) 在0，1 上连续2） F (x) 在（ 0，1）内可导3） F (0) =0， F (1)a0a1a2an023n1故 F (x) 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 ， 由 罗 尔 定 理 ， 存在(0,1)使F'( )0 ，即(a0 xa1 2a23anxn 1)' x0 亦即 a0a1a22 ann0 xxn123【第1页共8页】精选文库这说明方程 a0a1 xa2 x2an xn0

4、 在（ 0， 1）内至少有实根x2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数例 3：设 f ( x) 在1 ，2上连续，在（ 1， 2）内可导， f (1)1 ， f (2) 2 证明存2在(1,2) 使 f '( )2 f ( ) 分析：结论变形为f '()2 f ( )0，不易凑成'()0我们将换为 x ，Fx x结论变形为 f '(x)20 ，积分得： lnf ( x)2lnx lnf ( x)ln c ，即 f ( x)c ，从而f ( x)xx2x2可设辅助函数为F ( x)f ( x)，有 F (1)F (2)1本题获证x22例

5、4：设函数 f ( x) ， g( x) 在 a,b 上连续，在 ( a, b) 内可微， f (a)f (b) 0 证明存在(a,b) ，使得： f '()f ( ) g '()0证：将 f '( )f ()g '( )0 变形为 f'()f ( ) g '()f '()g '()，将 换f ()为 x， 则f '(x)g '( x)，两边关于x积分，得：f (x)f '(x) dxg '( )dx1d f (x)d g( x)lnf ( x)g(x)C， 所 以f (x)f ( x)f (x)e

6、xp(g (x)C )exp(g( x)gexp( C )K exp( g ( x)，其中 Kexp( C ) ， 由f (x)Kexp( g (x) 可得 Kf (x)exp( g (x) 由上面积分的推导可知， f (x)exp( g( x)为一常数 K ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的因而令 F ( x)f (x)exp( g( x) ，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数例 5：证明拉格朗日中值定理-2精选文库分析：通过弦AB 两个端点的直线方程为y f (a)

7、f (b)f (a) ( xa) ，则函数 f ( x) 与ba直线 AB 的方程之差即函数F ( x) f (x) f (a)f (b)f ( a) ( x a) 在 两ba个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数例 6：若 f ( x) 在 a,b 上连续且 f (a) a, f (b)b 试证在 (a, b) 内至少有一点，使 f ( )分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数 yf ( x) 的图形曲线必跨越yx 这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足 f ( )进而还可由图知道， 对 a, b 上的同一自变量值x ，这两条曲线纵坐标之差f ( x)

8、x 构成一个新的函数g(x) ，它满足 g(a) <0, g(b) >0,因而符合介值定理的条件当为 g( x) 的一个零点时，g()0 恰等价于f ( )因此即知证明的关键是构造辅助函数g( x)f (x)x 4 常数 k 值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k 2）恒等变形使等式一端为a 及 f (a) 构成的代数式，另一端为b 及 f (b) 构成的代数式3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式若是，则把其中一个端点设为x ，相应的函数值改为f (x) 4）端点换变量 x 的表达式即为辅助函数 F (x) 例 7：设f ( x)在

9、a, b上连续，在(a, b)内可导，b)，试证存在一点(a, b)，(0 a-3精选文库使等式( )() lna'( )成立f bf afb分 析 ： 将 结 论 变 形 为 f (b)f (a)f'( ) ， 令 kf (b)f (a) ， 则 有ln bln aln bln af (b)k ln bf ( a) k ln a ，令 bx ，可得辅助函数 F ( x) f ( x) k ln x 例8： 设 f''(x) 在 a,b 上存 在，在 acb ，试证明存在(a, b) ， 使得f (a)f (b)f (c)1f ''() ( a

10、b)(a c)(ba)(bc)( ca)(cb)2分析：令f (a)f (b)f (c)k，于是有(ab)(ac) (b a)(bc)(c a)(c b)(b c) f (a)(a b) f ( c) (ca) f (b)k (ab)( ac)(b c) ，上式为关于 a ，b ，c 三点的 轮 换 对 称 式 ， 令 bx （ or ： cx ， or ： a x），则得辅助函数F ( x)(x c) f (a)(ax) f (c)(c a) f ( x)k (ax)(a c)( xc) 5 分析法分析法又叫倒推法， 就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论例 9：设函数 F

11、( x) 在0， 1上连续，在（ 0，1）内可导，证明在（ 0，1）内存在一点 C ，使得 F (1)F (0)(e1 ce c ) F '(C ) 分析：所要证的结论可变形为：F (1)F (0)(e1 ce c )F '(c)e c1 F '(c) ，即F (1)F (0)F '(c) ，因此可构造函数e( )x，则对 F ( x) 与 G (x) 在0，1上应用柯e1ecG xe西中值定理即可得到证明例 10：设函数 f ( x) 在 0,1 上连续，在（0，1）内可导，且 f(0) =0，对任意 x (0,1)有 f ( x)0 证明存在一点(0,1)使

12、 nf '()f '(1) （ n 为自然数）成立f ()f (1)分析：欲证其成立，只需证 nf '() f (1)f '(1) f ( )0 由于对任意 x(0,1)有f (x)0，故只 需证：n( f ()n 1 f '() f (1)f '(1)( f () n0即( f ( x) nf (1x)'0 ，于是引入辅助函数 F (x)( f ( x) nf (1x) （ n 为自然数）x-4精选文库例11 ： 设函 数 f ( x) 在 区 间 0 ， +上 可导 ，且 有 n 个不 同零 点：0x1x2xn 试证 af ( x)f

13、 '(x) 在0，+ 内至少有 n1个不同零点（其中，a 为任意实数）证明：欲证af (x)f '(x) 在 0 ， +）内至少有n1 个不同零点，只需证方程af ( x)f '( x) =0 在0，+ 内至少有 n1个不同实根因为， x0,+) ，eax0 ，故只需证方程 eax af ( x)f '( x)0 在 0,+) 内至少有n1个不同实根引入辅助函数F ( x)eax f (x) ，易验证 F (x) 在区间 x1 , x2 ， x2 , x3 ， xn 1 , xn 上满 足罗 尔定 理的 条件 ，所 以， 分别 在这 n1 个区 间上 应用 罗尔

14、 定理 ，得F'( 1)F '( 2 ) F '( n 1)0，其中1( x1 , x2 ), 2 ( x2 , x3 ), n 1( xn 1 , xn ) 且012n 1以上说明方程 F '( x) 0在 x1, x2 U x2 , x3 U U xn1, xn 0， + 内至少有n1个不同实根，从而证明了方程 af (x)f '( x) =0 在 0，+ 内至少有 n1个不同实根6 待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含的部分为 M ，再将等式中一个端点的值 b 换成变量 x ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数(x) ，这样首先

15、可以保证(b) =0，而由等式关系(a) =0 自然满足，从而保证(x) 满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数M 与 f '() 之间的关系例12 ： 设 f (x) 是 a,b 上 的 正 值 可 微 函 数 ， 试 证 存 在( a,b) ， 使f (b)f '( )ln(b a) f (a)f ( )证明：设 ln f (b)M (ba) ，令 ( x)ln f (x)M ( x a) 容易验证( x) 在 a, b 上f (a)f (a)-5精选文库满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在(a, b) 使'( )0，解得 Mf'() ，故f()f

16、(b)f '()lnf (b a)f (a)例 13：设函数 f ( x) 在 a,b 上连续，在 (a, b) 内可导，则在 (a,b) 内至少存在一点使 2 f (b) f (a) (b2a2 ) f '( ) 证明：将所证等式看作 f (b)f (a) (b2a2 ) f '() ，设 f (b)f ( a)M (b2a2 ) ，2令 ( x)f ( x)f (a)M (x2a2 ) ，则( x) 满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点(a,b) ，使 '()0 ，即 f'()2M，若=0，则 f '( )0 ，结论成立；若0，则 Mf '( ) ，从而有 2 f (b)f (a)f ( )(b2a2 ) 2例 14：设 0 x1x2，则存在( x1 , x2 ) 使 x1ex2x2 ex1e(1)(x1x2 ) 分析：对于此题设 x1ex2x2ex1M ( x1x2 ) 作函数( x)x1exxex1M ( x1x) 应用罗尔定理可得存在(x1, x2 ) ，使'( )0 ，即 x1eex1M0，从而Mex1x1e，这样并不能证明原结论， 遇到这种情况， 说明所作的辅助函数不合适， 则需要将所证