万有引力与航天(基础复习)

1、精品文档第六章：万有引力与航天1、开普勒行星运动定律第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。a 3第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即：kT 2比值 k 是一个与行星无关的常量。2、万有引力定律（ 1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。（ 2）万有引力定律公式：FG m1m2， G 6.67 10 11N m2 / kg 2r 2（3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。3、万有引力定律在

2、天文学上的应用。（ 1）基本方法：把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：G Mmm v2m 2 rr 2r在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：g G M，R为天体半径。R2（2）天体质量，密度的估算。r ，周期为T，由 GMm42测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r2m2r 得被环绕天体的质量为T42 r 3，密度为M3 r 3， R为被环绕天体的半径。MVGT 2R2GT 2当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r R，则3GT2 。（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。由 G Mmm v2得 vGMr 2rrr 越大， v 越小由 G Mmm 2 r

3、得GMr 2r 3r越大，越小由 GMm42r 得 T4 2r 3r 2m2GMT r 越大， T 越大（4）三种宇宙速度第一宇宙速度（地面附近的环绕速度） ：v1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。1欢迎下载精品文档第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）： v2=11.2km/s ，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。第三宇宙速度：v3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。（ 1）测天体的质量及密度 ：（万有引力全部提供向心力）由 G Mmm 224 2 r 3r 得 Mr 2TGT 2又 M4R3得3 r 33GT2R

4、3【例 1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7 年 35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6 月 30 日（北京时间 7 月 1 日）抵达预定轨道，开始“拜访” 土星及其卫星家族。 这是人类首次针对土星及其31 颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为 t 。试计算土星的质量和平均密度。解析：设“卡西尼”号的质量为，土星的质量为 .“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向mM心力由万有

5、引力提供 .GMmm(Rh)( 2)2，其中 Tt ，(R h) 2Tn42 n 2 ( R h)3所以： MGt2又 V4 R3，M 3 n 2 ( R h) 33VGt 2 R3模型 2：2011 年 11 月 8 日 , “萤火 1 号 ”火星探测器发射升空. 假设探测器在离火星表面高度分别为和的圆轨道上运动时, 周期分别为和. 火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响, 万有引力常量为G. 仅利用以上数据 , 可以计算出 ()。2欢迎下载精品文档A. 火星的密度和火星表面的重力加速度B. 火星的质量和火星对 “萤火一号 ”的引力C. 火星的半径和 “萤火一号 ”的质量D. 火

6、星表面的重力加速度和火星对 “萤火一号 ”的引力解:A 、因为万有引力提供探测器做圆周运动的向心力, 则有 :;,联立方程可求得火星的质量M和火星的半径R,根据密度公式得 :.在火星表面的物体有,可得火星表面的重力加速度, 所以可得出火星的密度和火星表面的重力加速度,所以 A 选项是正确的 .B、从 A 选项分析知道可以求出火星的质量, 因为不知道 “萤火一号 ”的质量 , 所以不能求出火星对 “萤火一号 ”的引力 , 故 B 错误 .C、从 A 选项分析知道可以求出火星的质半径, 不能求出 “萤火一号 ”的质量 , 故 C 错误 .D、从 A 选项分析知道可以求出火星的表面的重力加速度, 因

7、为不知道 “萤火一号 ”的质量 ,所以不能求出火星对“萤火一号 ”的引力 , 故 D 错误 . 所以 A 选项是正确的 .（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）黄金代换式表面重力加速度：G Mmmg0g 0GMR2R2。3欢迎下载精品文档GMmGM轨道重力加速度：R h2mgh g h2Rh【例 2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量 M与卫星的质量 m之比 M/ m=81，行星的半径 R0 与卫星的半径 R之比 R0/ R3.6 ，行星与卫星之间的距离 r 与行星的半径 R0 之比 r / R060。设卫星表面的重力加速度

8、为 g，则在卫星表面有 GMmmg r 2经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600 。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。解析：题中所列关于 g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法是卫星表面Gm g行星表面GM=0即(R0)2 m =g 即g=0.160。R 2R02gRMg0g模型 2： 已知地球半径为，地球表面重力加速度为，不考虑地球自转的影响。（1）推导第一宇宙速度的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为，求卫星的运行周期。答案设卫星的质量为 m，地球的质

9、量为 M在地球表面附近满足得卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力式代入式，得到（2）考虑式，卫星受到的万有引力为。4欢迎下载精品文档由牛顿第二定律：、式联立解得3、人造卫星、宇宙速度：宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别）【例 3】将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道 3。轨道 1、2 相切于 Q点，2、3 相切于 P 点，则当卫星分别在1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A卫星在轨道 3上的速率大于轨道 1 上的速率。B卫星在轨道 3上的角速度大于在轨道 1 上的角速度。P?32C卫星在轨道 1上经过 Q点时的加速度大于它在轨道

10、 21上经过 Q点时的加速度。?D卫星在轨道 2 上经过 P点的加速度等于它在轨道3 上Q经过 P 点时的加速度。解：由 GMmmv2GM2得 v，rrr而vGM，rr3轨道 3 的半径比1 的大，故 A 错 B 对，“相切” 隐含着切点弯曲程度相同，即卫星在切点时两轨道瞬时运行GM半径相同，又a2 ，故 C错 D对。r模型 2：如图所示，同步卫星与地心的距离为，运行速率为，向心加速度为；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为，第一宇宙速度为，地球半径为，则下列比值正确的是（）。5欢迎下载精品文档A:B:C:D:选项分析： A、B 项，同步卫星与地球自转的角速度相同，故 A 项正确， B 项

11、错误。 C、 D 项，同步卫星：，对于近地卫星：，故 C 项错误， D 项正确。综上所述，本题正确答案为 AD。模型 3：如图所示， a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是和（为地球半径）。下列说法中正确的是（）。A: a 、b 的线速度大小之比是B: a、 b 的周期之比是C: a 、b 的角速度大小之比是D: a、 b 的向心加速度大小之比是选项分析：A 项，根据万有引力与行星线速度的关系得，所以 a、b的线速度大小之比，故 A 项错误。6欢迎下载精品文档B 项，根据万有引力与行星绕转周期的关系得，所以 a、 b 的周期之比为，故 B 项错误。C 项，根据万有

12、引力与行星角速度的关系得，所以 a、 b的角速度之比为，故C 项正确。D 项，根据万有引力与行星加速度的关系得，所以 a、b 的加速度之比为，故 D 项正确。综上所述，本题正确答案为CD。4、双星问题：【例 4】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。 现测得两星中心距离为R，其运动周期为 T，求两星的总质量。解析：设两星质量分别为1 和2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球 1 和星球 2 到 的距离分MMO别为 l 1 和 l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得对 M1：GM 1M 2 M1（ 2 ） 2 l 1 M2 4 2

13、 R2l1R 2TGT 2M1M 224222R l 2对2：G 2（l 1）2MR2MTMGT 2两式相加得1 242 R2（l12） 4 2R3。M MlGT 2GT 2模型 2： 经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统 ”.“双星系统 ”由两颗相距较近的恒星组成 , 每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体 .如图 , 两颗星球组成的双星 , 在相互之间的万有引力作用下, 绕连线上的 O点做周期相同的。7欢迎下载精品文档匀速圆周运动 . 现测得两颗星之间的距离为L, 质量之比为. 则可知 ()A、做圆周运动的线速度之比为B 、做圆周运动的角速度之比为C做圆

14、周运动的半径为D做圆周运动的半径为解: 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力, 角速度大小相等 , 向心力大小相等 , 故有 :所以又所以可得,A、据可以知道 , 所以 A 选项是正确的 ;B、因为双星的角速度相等, 故 B 错误 ;C 、因为, 所以 C 错误 ;D 、因为,所以 D选项是正确的 . 所以 AD选项是正确的 .5、有关航天问题的分析：【例 5】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H3. 4 105m的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37 106m，重力加速度 g9.8m/s 2）解析：用 r 表示飞船圆轨道半径 r =H+ R=6. 7

15、1106m 。表示地球质量，表示飞船质量，表示飞船绕地球运行的角速度，G表示万有引力常数。由万有引力定Mm律和牛顿定律得GMmm2r 利用 G M g 得gR22 由于 2， T 表示周期。解得r 2R 2r 3TT 2 rr ，又 n=t代入数值解得绕行圈数为n=31。RgT。8欢迎下载精品文档练习：1如图所示， a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是和（为地球半径）。下列说法中正确的是（）。A: a 、b 的线速度大小之比是B: a、 b 的周期之比是C: a 、b 的角速度大小之比是D: a、 b 的向心加速度大小之比是2近地人造卫星 1 和 2 绕地球做匀

16、速圆周运动的周期分别为和，设在卫星1、卫星 2 各自所在的高度上的重力加速度大小分别为、，则（）。A:B:C:D:3某网站报道，美科学家发现太阳系外第一颗 “全宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍如果某一天发射一颗载人航天器到该行星上去， 测得一个在地球表面质量为 50kg 的人在该行星表面的重力约为 800N，而地球表面处的重力加速度为 10 m/s 2. 根据上述信息，你认为下列说法中正确的是()A载人航天器的发射速度约为7.9km/sB载人航天器的发射速度小于11.2km/sC该行星的半径与地球的半径之比约为2D该行星的半径与地球的半径之比约为34“嫦娥一号 ”于 2009 年

17、3 月 1 日下午 4 时 13 分成功撞月 , 从发射到撞月历时433 天, 标志我国一期探月工程圆满结束. 其中 , 卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3 周 , 再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行. 若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的, 月球半径为地球半径的, 根据以上信息得 ()。9欢迎下载精品文档A绕月与绕地飞行周期之比为B 绕月与绕地飞行周期之比为C绕月与绕地飞行向心加速度之比为D 月球与地球质量之比为5嫦娥二号卫星已成功发射, 这次发射后卫星直接进入近地点高度200 公里、远地点高度约 38 万公里的地月转移轨道直接奔月. 当卫星到达月球附近的特定位置时, 卫星就必须“急刹车 ”,也就是近月制动 , 以确保卫星既能被月球准确捕获 , 又不会撞上月球 , 并由此进入近月点 100 公里、周期