三角函数恒等变换练习题及答案详解

1、两角和与差的正弦、余弦、正切1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键.知识点回顾1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式COS( a 3 ) = COS a COS 卩+ Sin a sin 卩(C a-B)cos(a+3)= cos_acos_ 3 sin_a sin_3(C a+ b)sin(a3)= sin_acos_ 3 cos_a sin_3(S «b)sin(a

2、+3)= sin_acos_ 3+ cos_a sin_3(S ”+b)tan( a小、 tan a tan 3、3 ) = 1 + tan a tan 3(Ta-3)c tan a + tan 3tan ( a+ 3)= 1 tan a tan 3 (Ta+3)2. 二倍角公式sin 2 a = 2sin cos ;a 1 = 1 2sin a ；cos 2 a = cos2 a sin 2 a= 2cos22ta natan 2 a=3. 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如Ta±3可变形为tan a ± tan 3 =

3、 tan( a± 3 )(1 ? tan_ a tan_ 3 ),tan a + tan 3 tan a tan 3tan a ta n 3 = 1 = 1."tan a + 3 tan a 34. 函数 f ( a ) = acos a + bsin a (a,b为常数)，可以化为 f ( a ) = . a2 + b2sin( a + 0 )或 f ( a)= .a2+ b2cos( a 0 )，其中0可由a, b的值唯一确定.难点正本疑点清源三角变换中的“三变”(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2) 变名：通过变换函数名称达到

4、减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幕与降幕”等.(3) 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值 代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.热身训练1.已知sin(sin(-卩)=-1，则tantan2. 函数 f(x) = 2sin x(sin x + cos x)的单调增区间为 3.(2012 江苏)设a为锐角，若cos= £ 则6 54.sin a + COS a(2012 江西)若sin a COs a2则tan 2 a等于5.A.C.n1(2011 辽宁)设 sin( + 0 )

5、= 3,则 sin 2 430等于A.B.典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题例 1 (1)化简：1atana丄 a21 + tan a tan ；tan 32 '求值：2sin 50+ sin 10 ° (1 +：3tan 10 ° ) ；2sin 280°变式训练在厶abc中，已知三个内角A, B, C成等差数列，则tan A+ tan f+ . 3tan (tan才的值题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题n例 2(1)已知 0< 卩 <2< a <n,且 COS19,sin=3，求cos（ a+卩）的值;31 已知a

6、,卩 （0 ,n ），且tan（ a 卩）=，tan卩17，求2a 3的值.113n变式训媒2已知COS a = -, cos( a 3 )=而且0< 3 < a <专，求3 .题型三三角变换的简单应用例 3 已知 f(x)= 12sin x 2sin x tan x4-sin x 4(1)若 tan a = 2, 求 f ( a )的值;n n若x 12， 2，求f(x)的取值范围.变式训攥3已知函数f(x)=J3sin22x 6 +2sin x 12 (x R).(1) 求函数f (x)的最小正周期；(2) 求使函数f(x)取得最大值时x的集合.利用三角变换研究三角函数的

7、性质典例：(12 分)(2011 北京)已知函数 f (x) = 4cos x sin x 1.(1)求f (x)的最小正周期;6 求f(x)在区间 ， 上的最大值和最小值.6 4总结方法与技巧1. 巧用公式变形:倍角公式变形：降幕公式21 + COS 2 aCOS a =2. 2sin a1 COS 2 a2和差角公式变形：tan x 士 tan y = tan( x 士 y) (1 ? tan xtan y)；aa 2,2 a2 a配方变形：1 ± sin a= sin 云 士 cos-1 +cos a = 2cos , 1 cos a = 2sin .2. 利用辅助角公式求最值

8、、 单调区间、周期.由y= asin a + bcos a = a2 + b2sin( a+0)(其中tan0=b)有 a2+ b>| y|.3. 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.4. 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从

9、此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复 杂问题简单化.5. 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.失误与防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运 用，要注意“ 1”的各种变通.2. 在（0 ,n ）范围内，sin（ a +卩）=2所对应的角 a+卩不是唯一的.3. 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.过手训练（时间：25分钟，满分：43分）、选择

10、题（每小题5分，共15分）1.（2012 山东）若B ,sin 2 0 =记，贝U sin4, 280等于” 22.已知 tan( a + 卩)=5, tan51=-,那么 tan44等于nn3. 当一2w xw时，函数 f（x） = sin x + 3cos x 的A. 最大值是1,最小值是一 11B. 最大值是1,最小值是一 2C. 最大值是2,最小值是- 2D. 最大值是2,最小值是- 1、填空题（每小题5分，共15分）4. 已知锐角 a满足cos 2 a = cos 4，贝U sin 2 a =5. 已知cos 41213,Q,；cos 2 ansin + a2 “2sin x + 1

11、6.设x 0,，则函数y=的最小值为2sin 2 x三、解答题7.(13分)(2012 广东)已知函数f(x) = 2cos（其中3 >0, x R）的最小正周期为610 n.(1)求3的值;1.2.3.4.、n56设 a,3 0, , f 5 a + §n= 5, f课后习题（时间：35分钟，满分:、选择题（每小题5分，共20分）(2012 江西)若 tan 0（2012 大纲全国）已知+tan4 '则a为第二象限角,已知a , 3都是锐角，若3n 和TsinD.sin 2sinsin3n和-等于+ cos10，3）的值.57分)则a + 3等于等于(2011 福建)若 a 0, ，且 sin2a + cos 2则tana的值等于二、填空题（每小题5分，共15分）5.cos 275°+ cos215°+ cos 75 ° cos 15的值为6.Wtan 12 ° 34cos212°sin 127.3sin a= 一