极大似然估计练习题

1、关于矩估计与极大似然估计的典型例题例1,设总体X具有分布律，123 、.92 2*1-0) (1-8)2,其中0 < e < 1为未知参数。已经取得了样本值 x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1,试求参数0的矩估计与极大似然估计。解：（i ）求矩估计量，列 矩方程（只有一个未知参数）E（X），2 2 2。（1-。）3 （1-。）2 = 3-2=又-3-'- 3X 3x 3 3 5彳旱廿矩=2226（ii ）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率L P(Xx1,XX2,XX3)= P(X= 1,X2 = 2,X3 = 1)=P(X1 = 1) P(X2 = 2

2、) P(X3 = 1)，2 2口(1-口)/ = 2口5(1，)对数似然ln LQ ) Tn 2 5lnln(1 - )dlnL" 51或 "1得极大似然估计为例2,某种电子元件的寿命(以h记)X服从双参数指数分布，其概率密度为'1.f (x)=exp -(x- ”)/8, x# "0,其他其中%>0均为未知参数，白一批这种零件中随机抽取 n件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为 X,X2" ,Xn.(1) 求L ”的最大似然估计量；(2) 求 *的矩估计量。解：(1)似然函数，记样本的联合概率密度为nL。, E)= f(X1X2,“ ,X

3、n；e, P) = H f(x)n 1P )/0 , * x?" , 乂门占"n -exp -(xii =10,其他1、nexpe(为 一 n)/),-x(1)= < 灯 4i =10/ > x(1)在求极大似然估计时，L( , ") = 0肯定不是最大值的似然函数值，不考虑这部分，只考虑另一部分。取另一部分的对数似然函数In LF ,)=f In 口 一 (、xj 一 nJ ) / - x(1)i 4, Xj-nlnL(")_nj=" -uu2lnL(V)n=u可知关于气"的驻点不存在，但能判定单调性 上 .n LQ,)

4、n 由£一- = = > 0知UIn LQ ,)=一nIn - (' * - n 1 ) / - x(1),i =1关于*是增函数，故£ = X(1)f InL(")将之代入到-=0中得则 x(i), % =xXi) 一定能使得似然函数达到最大，故 % "的极大似然估计为（2）列矩方程组（两个未知参数）1E(X) = xexp(x-，)1dx-。- X1 n 2一、Xin i=iE(X2) " x2】exp(x-)Edx=(' )2 ' 2解出3建技）2"J工 g-X)2例3,设总体XU0f,其中8 >0为未知参数，Xi,X2" ,Xn为 来白总体X的一组简单随机样本，凡,&,，天为样本观察值，求未 知参数6的极大似然估计。解：似然函数，即样本的联合概率密度nL() f(为,x2, x;)Hi-11 cf(x)=顼'0*2,3QelseL（）=0肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值, 取对数似然In L（。）= - n In * - x（n）d In L（。） nJ = - - 0知ln L（e ） = - n l