中考中的费马点详解加练习

1、学习资料收集于网络，仅供参考皮耶·德·费马（ Pierre de Fermat）是一个 17 世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell ）在 20 世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。“贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学

2、家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到 17 世纪是杰出数学家活跃的世纪， 因而贝尔认为费马是 17 世纪数学家中最多产的明星。费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔· 托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而 19 世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题， 并系统地进行了推广，学习资料学习资料收集于网络，仅供参考因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马 - 托里拆利 - 斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联

3、合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。“费马点” 是指位于三角形内且 到三角形三个顶点距离之和最短 的点。若给定一个 三角形 ABC的话，从这个三角形的费马点 P 到三角形的三个顶点 A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。1. 若三角形 3 个内角均小于 120°，那么 3 条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为 120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。2. 若三角形有一内角大于等于 120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。学习资料学习资料收集于网络，仅

4、供参考在 1 的条件下画图找费马点如图以任意两边为边向两边做等边三角形 ABD和等年三角形 ACE，则 CD,BE交点 P 即为所求2 若在 120°的钝角三角形中，其顶点即是。另外，当刚好 120° ,且三角形 BCD为等边三角形时，有个结论： AD=AB+AC我们拓展一道几何题，第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考2011 房山一摸 2009 石景山25（本小题满分7 分）A已知：等边三角形ABCB如图 1， P 为等边 ABC外一点，且 BPC=120°P试猜想线段 BP、PC、AP之间的数量关系 ,并证明你的猜想；图

5、1（2）如图 2，P 为等边 ABC内一点，且 APD=120°A求证： PA+PD+PCBDPBC图 2CD我们回到正题：费马点学习资料学习资料收集于网络，仅供参考25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 B 的坐标为 (0,2) ，点 D 在 x 轴的正半轴上，ODB30 ， OE 为BOD 的中线，过 B 、 E 两点的抛物线 yax23 x c 与 x 轴相交于 A 、 F 两点（ A 在 F 的左侧） .6（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）等边 OMN 的顶点 M 、 N 在线段 AE 上，求 AE 及 AM 的长；（ 3）点 P 为 ABO 内的一个动点，设 m PA

6、PB PO ，请直接写出 m 的最小值 ,以及 m 取得最小值时，线段 AP 的长.2013 房山一摸24（ 1）如图 1，ABC 和 CDE 都是等边三角形，且 B、C、D三点共线，联结 AD 、BE 相交于点 P，求证： BE=AD （ 2）如图 2，在 BCD 中， BCD120°，分别以 BC、CD 和 BD为边在 BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形 CDE 和等边三角形 BDF，联结 AD 、BE 和 CF 交于点 P，下列结论中正确的是（只填序号即可） AD=BE=CF ； BEC=ADC ； DPE=EPC=CPA=60°；（3）如图 2，在（ 2）

7、的条件下，求证： PB+PC+PD=BE学习资料学习资料收集于网络，仅供参考29. 阅读下面材料 :小伟遇到这样一个问题：如图1，在 ABC（其中 BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以 BC为边在 BC的下方作等边 PBC，求 AP的最大A值。A'ABCBCPP图 2图 1小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将 ABP逆时针旋转 60°得到 ABC,2）连接 AA,当点 A 落在 A C上时 ,此题可解（如图(1)请你回答： AP的最大值是(2)参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 RtABC边

8、 AB=4,P 为 ABC内部一点，请写出求 AP+BP+CP的最小值长的解题思路 .提示 :要解决 AP+BP+CP 的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把 ABP绕 B 点逆时针旋转 60，得到A' BP' . 请画出旋转后的图形 请写出求 AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.APB图 3C2016 一月昌平学习资料学习资料收集于网络，仅供参考28. 已知，点 O 是等边 ABC内的任一点，连接 OA，OB，OC.（ 1） 如图 1，已知 AOB=150°， BOC=120°，将 BOC绕点 C按顺时针方向旋转60°得 ADC

9、. DAO的度数是；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（ 2） 设 AOB=， BOC=.当 ，满足什么关系时， OA+OB+OC有最小值？请在图2 中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边 ABC的边长为 1，直接写出 OA+OB+OC的最小值 .AADOBCBC图 1图 22017 年一月昌平29如图 1，在 ABC中， ACB=90°，点 P 为 ABC内一点（ 1）连接 PB，PC，将 BCP沿射线 CA 方向平移，得到DAE，点 B，C， P 的对应点分别为点D， A， E，连接 CE 依题意，请在图2 中补全图形； 如果 BP CE， BP=3， AB

10、=6，求 CE的长 BBBNMPPPCACA图 2CA图 1学习资料图3学习资料收集于网络，仅供参考（ 2）如图 3， 连接 PA，PB，PC，求 PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以点A 为旋转中心，将 ABP顺时针旋转 60°得到 AMN，那么就将 PA+PB+PC的值转化为 CP+PM+MN 的值，连接 CN，当点 P 落在CN上时，此题可解请你参考小慧的思路，在图3 中证明 PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接写出当 AC=BC=4 时， PA+PB+PC的最小值延伸一下2017 年一月海淀 28在 ABC 中， AB=AC， BAC=，点 P 是 ABC 内一点，且

11、PACPCA2连接 PB，试探究 PA，PB，PC 满足的等量关系AP'APPBCBC图1图2（ 1）当 =60°时，将 ABP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到 ACP ，连接PP ，如图 1 所示由 ABP ACP 可以证得 APP ' 是等边三角形，再由PACPCA30 可得 APC 的大小为度，进而得到 CPP 是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC 满足的等量关系为；（2）如图 2，当 =120°时，请参考（ 1）中的方法，探究PA，PB，PC 满足的等量关系，并给出证明；（3）PA，PB，PC 满足的等量关系为学习资料学习资料收集于

12、网络，仅供参考2016 年顺义一摸28已知：在 ABC中， BAC=60°（ 1）如图 1，若 AB=AC，点 P 在 ABC内，且 APC=150°，PA=3，PC=4，把 APC绕着点 A 顺时针旋转，使点 C旋转到点 B 处，得到 ADB，连接 DP依题意补全图1；直接写出 PB的长；（ 2）（ 3）如图 2，若 AB=AC，点 P 在 ABC外，且 PA=3，PB=5，PC=4，求 APC的度数；（ 4）如图 3，若 AB=2AC，点 P 在 ABC 内，且 PA= 3 ，PB=5，APC=120°，请直接写出 PC的长PAAPBCBC学习资料学习资料收集于网络，仅供参考APBC26、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形， M为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM绕点 B 逆时针旋转 60