加法交换律教案

1、加法交换律教案杨汛桥实验学校 金 燕教学内容：人教版小学数学教材P28例1教学设想：加法交换律的作用是什么？简便计算。简便计算时什么情况下需要加法交换律？三个及以上的数相加的时候。因此，加法交换律从两个数的探索到几个数的运用，中间存在着一个中空地带。基于这样的思考，本课尝试走进这个中空地带，从三个数的研究开始，带领学生前后连贯的行走在数学探索与运用的道路上。教学目标：1、使学生理解并掌握加法交换律的意义，并能正确运用进行简单的简便计算。2、通过对加法交换律的探索，培养学生的推理能力，发展学生的思维。3、通过学习，使学生感受数学与生活的联系。教学重点、难点：学生理解并掌握加法交换律的意义，并能正

2、确运用进行简单的简便计算。教学准备：多媒体课件【教学过程】一、创设情境，提出问题师：同学们，今天是什么节日？生：植树节。师：对呀，春天是植树的季节（展示课件）。咱们学校也组织了植树活动，一共有多少名同学参加这次活动？它们一共要植多少棵树？你们想不想知道？生：想。师：（展示课件）这是我们学校植树的信息。这次参加植树活动的男生有36名，女生有22名。男生要植树60课，女生要植树44棵。你能算出有多少名同学参加植树活动，一共要植多少棵树吗？评析：在课的开始，教师能够创造性地利用教材，创设了植树节的情境。这样处理贴近学生生活实际，情景、条件、问题学生都十分熟悉，在这种轻松的气氛中，更有利于学生对知识的

3、学习。二、自主探究，寻找规律（一）体验加法的意义师：请你在练习本上做一做（做完的可以同桌交流）。生汇报，师板书。36+22=58（名） 22+36=58（名）60+44=104（棵） 44+60=104（棵）师：这两个问题都是用加法计算的，谁来说一说，你为什么要用加法？学生说想法。师小结：这两道题都是要把两个数合并成一个数，就要用加法计算。师：在日常生活中，哪些问题还要用到加法来计算，谁来举一个例子。一生举例并例式解答。（师板书）师：生活中像这样用加法解决的问题多不多？说一个给同桌听听。评析：结合现实生活情境，体会加法的意义。（二）教学加法交换律师：现在请同学们观察这三组算式，你能发现些什么？

4、把你的发现在小组内交流一下。小组交流汇报。（学生汇报时，让学生结合第一组算式说一说，师根据学生的汇报板书：36+2222+36）师：大家看，这两个加数交换了位置，和相等。这两个算式可以怎么样？（板书：=）师：第二组算式可以怎样写？（生答，师板书：60+44=44+60）第三组算式呢？根据学生的回答，师板书。师：大家看，这几个小组总结出了这几道算式中的两个加数交换了位置以后，它们的和不变。你们小组的结论和它们一样吗？谁能再来说一说。师：这三组算式都是两个加数交换了位置，它们的和没有变。是不是任意的两个数相加，都有这么一个规律呢？谁能来任意说两个数？生：38+56。师：咱们一起来验证一下。师板书：

5、师：这两个数相加符合这个规律，其余的数是不是也有这个规律，请同学们先自己在练习本上举几个例子验证一下，然后在小组内交流一下，好吗？小组交流，汇报。师板书。师：刚才这么多的小组说出了这么多的算式，哪个小组还愿意把你们的结论告诉同学们？师：刚才，经过同学们的努力，发现了不管这两个加数是什么，只要两个加数交换了位置，它们的和不变。我们把这个规律叫做加法交换律。（板书）学生齐读一遍。师：这就是今天要学习的内容。（板书课题：加法交换律）评析：在学习加法交换律时，遵循先观察，再交流，让学生初步感知规律；再举例验证，进而发现总结规律，这样一个思路来教学的。在这个过程中，让学生经历知识的形成过程，感受到成功的

6、喜悦，课堂氛围和谐、活泼、宽松。（三）学习用喜欢的方法表示师：刚才是咱们自己发现了加法的这个重要的规律，你能不能用喜欢的方法表示出来？师：先把你的想法和同桌交流一下。谁来说一说你的想法。生汇报，师板书：a+b=b+a（师：你能告诉同学们a、b分别表示什么吗？提示学生这两个字母可以是任意的两个数。）甲+乙=乙+甲+=+师：同学们说出了这么多的办法，通常情况下，我们可以用字母表示。学生齐读一遍（a+b=b+a）。评析：学生用喜欢的方法表示规律，有利于培养学生的符号感，提高了知识的抽象概括程度，为以后正式教学用字母表示数打下初步基础。（四）加法的应用师：咱们知道了加法交换律，并且会用自己喜欢的方法来

7、表示。请同学们想一想，以前学过的知识中哪些地方用到过加法交换律？生：验算加法时。三、练习师：通过努力，同学们又学会了新的知识，掌握了新的本领，老师真为你们高兴，你们呢？还有更高兴的事情呢。（展示课件）你们看，森林王国里的小鸟和小鸭，想和同学们来交朋友，你们愿意吗？不过他们可是有备而来，先看看大家的真本领。怎么样，敢不敢来试一试？（课件）一、你能在括号里填上合适的数吗？试试看吧。766+589=589+（ ）300+600=（ ）+（ ）257+（ ）=0+257（ ）+55=55+420a+15=（ ）+（ ）（ ）+65=（ ）+35 = 二、仔细看一看，下面的算式符合加法交换律吗？270+

8、380=380+270b+800=800+b三、运用加法交换律，你能写出几个算式？写写试试吧。25+49+75=（ ）+（ ）+（ ）学生写出算式以后，让学生观察这些算式，哪两个数交换了位置，在这些算式中，你认为哪一道计算起来比较简单？说说你的想法。师：小鸟和小鸭的问题都解决了，它们高兴得不得了，想请同学们参观它们的家园，高兴吗？（课件展示）评析：通过这些题目，既巩固了今天学的新知识，又发展了学生的思维，为后面的学习做了铺垫。四、小结这节课你学到了哪些新知识？加法结合律教学设计杨汛桥实验学校 金 燕教学内容：人教版小学数学教材P29例2教材简析：加法结合律这部分内容是在加法意义的基础上进行教学

9、的，是继加法交换律之后的加法第二个运算定律，学好加法结合律，对于加法的简便运算，提高计算速度和准确程度很有帮助。由于加法结合律是在连加法运算顺序发生变化结果不变基础上，归纳概括出来的，同加法交换律相比比较抽象，因此我在设计时，注重引导学生通过实例观察尝试探究得出加法结合律的具体内容。这样从具体到抽象，符合学生认知规律，不仅能够分散教学难点，而且能突出教学重点，解决了教学关键，更重要的是充分发挥了学生学习的主动性和能动性。教学目的： 1.使学生理解和掌握加法结合律，并应用结合律使计算简便。 2.培养学生观察、归纳、概括能力以及思维灵活性。 3.对学生进行"具体问题具体分析"的

10、辨证唯物主义的教育。教学重点：理解并掌握加法结合律。教学难点：加法结合律的推导。教学重点：通过实例引出规律。教学过程：一、演示实验。这一步是为了学生较为直观的理解算理。下图中的1、2、3、号均为大小不同的透明水杯，里面装满水；还有一个大玻璃罐头瓶，为空。1、第一次实验先把1号倒入大瓶（4号），再把2号倒入大瓶。师：这表示把1号杯和2号杯里面的水合在一起。再将3号杯里的水倒入大瓶。师：老师是按什么样的顺序将1、2、3号中的水倒入大瓶的？生：先1后2再3。师：这个过程表示什么？引导学生说出：这个过程表示先把1号和2号杯中的水合在一起，然后加入3号杯里面的水，也就是把三个杯子里面的水合在一起。在大瓶

11、的水面处做好记号。2、第二次实验教师先把2号杯里的水倒入大瓶，再把3号杯中的倒入大瓶。这表示什么？如果再加入1号杯中的水，这表示什么？加入1号杯中的水后，你猜水面上升到何处？比原来的水面高还是低？为什么？师将1号杯中的水加入，生观察到水面又上升到做记号处。师：倒入的顺序与第一次实验一样吗？为什么水面又上升到做记号处？谁来解释一下这种现象？生：最后都是把1、2、3号杯中的水合在一起，所以两次实验的水面一样高。3、第三次实验先把1号倒入，后把3号倒入，表示什么？如果再加入2号，你猜大瓶中的水面会上升到何处？师做实验，生观察。水面又上升到做记号处，你如何解释这种现象？4、小结三次实验有什么不同的地方

12、？（倒入的顺序不同）有什么相同的地方？（水面都上升到相同的高度。）通过实验，你明白了什么？5、如果大瓶又足够的大，我们再填第4个杯子，照上面的方法，交换水杯倒入的先后次序，把4杯水倒入大瓶，做几次实验，你能推测出大瓶中的水面的变化吗？为什么会出现这种现象？二、经验迁移上面我们做了有趣的倒水实验，下面我们来看几组有趣的算式。出示算式：(12+13)+1412+(13+14)(799+52)+148799+(52+148)88+76+12+24(88+12)+(76+24)1、这组算式有什么特点？2、你推测这三组算式左右两边那边大，那边小？3、你是如何做出如此推测的。4、师：让我们通过计算验证一下

13、自己的推测。5、你有什么样的发现？三、小试牛刀1、你能不能写出两组或三组这样的算式？2、个人验证后，全班交流。3、在学生写的许多组算式中挑几组三个数相加的算式。我们先来看三个数相加的情况。(12+13)+1412+(13+14)(111+113)+114112+(113+114)(2+3)+11+(2+3)7(8+9) 9+8+733+56+99+56+334、这样的算式写完写不完？和我们刚刚学过的哪个数学定律相类似？（加法交换律）你能用字母表达式表示出你的这种发现吗？学生可能写出 a+b+c=a+(b+c) a+b+c=c+b+aa+b+c =c+a+b a+b+c=a+(c+b)5、揭示加

14、法结合律的概念四、解决问题1、填空25+82+18=25+(+)120+(80+4)=(120+)+2、你能运用学过的运算定律使计算变得简便一些吗？487+325+7598+64+2+36五、通过这节课的学习，你有什么收获？六、这节课我们学习了加法结合律，那么在减法、乘法、除法中存在这样的定律吗？请同学们在课后算一算，试一试，看看你能发现什么。一、巧妙导课,在良好的氛围中开始对“根”的探寻这节课,张齐华老师是这样开始的:师:同学们,你们知道张老师是哪个学校的吗?(张老师借华南师范大学附小的孩子上课)生:(结合屏幕提示)知道。你是江苏省南京市北京东路小学的。师:关于张老师的学校,有一个有趣的故事

15、,你们想听吗?生:想。师:我有一个朋友,有一天,他非说我调到北京去工作了。他说他在网上看到的我在北京市南京东路小学。原来,他把“北京”和“南京”两个词调换了。大家说,可以调换吗?生:不可以。师:看来啊,有些时候位置不能任意调换。看屏幕上这句话:我骑着马儿跑。“马儿”和“我”可以调换位置吗?生:(笑)不能。师:再看:小明在钓鱼。“小明”和“鱼”可以调换吗?生:(笑)不能。师:25这个数中的“2”和“5”可以调换吗?生:也不可以。师:但是,在数学中有些情况是可以交换的。今天这节课我们就来研究数学中有关交换的问题。张老师的新课导入,令人叫绝。利用自己学校的名称,以幽默的方式让学生先体会有时位置是不能

16、调换的,变换“我骑着马儿跑”“小明在钓鱼”这两句话中的个别词语,成了“马儿骑着我跑”“鱼在钓小明”。这种反常规的表达. (教学内容：义务教育课程标准实验教科书数学（苏教版）四年级上册“交换律”。教学目标：1认识并能运用加法交换律和乘法交换律。2经历“形成猜想、举例验证”的完整、真实的过程，感悟数学研究的一般方法。教学过程：一、引发猜想。1介绍“朝三暮四”的故事，引导学生得出等式“3+4=4+3”。2引导学生由等式“3+4=4+3”引发猜想：是否任意两数相加，交换位置，和都不变？二、举例验证。1交流：有了猜想，我们还得验证。你打算怎么验证？2学生举例验证，教师巡视指导。3教师呈现学生中通常出现的

17、两种不同的举例方法，引导学生思考：你赞成哪一种，为什么？4学生交流所举例子，教师选择部分例子写在黑板上。5教师根据实际情况，呈现某学生研究这一猜想时给出的部分例子，引导学生观察这些例子，并通过比较，体会这些例子对于验证这一猜想的作用。6小结举例验证的方法，揭示“加法交换律”。三、类比拓展。1引导学生由加法类比到减法、乘法和除法，并自觉形成关于减法、乘法和除法中是否有交换律的三个新猜想。2学生选择部分猜想，举例进行研究。教师参与，适时给予指导。3交流：哪一猜想是正确的，你们是怎么举例验证得出结论的？教师板书若干例子，进而得出结论。4探讨：减法和除法中有交换律吗？学生交流后，引导思考：为什么只要举

18、一个反例就能推翻猜想？5沟通与拓展。四、直观论证。1深究：为什么两数相加，交换他们的位置，和会不变呢？两数相乘，交换他们的位置，积又为何不变呢？2借助集合图和点子图，直观地帮助学生深入理解加法和乘法交换律，并渗透朴素的证明思想。五、沟通联系。1沟通加法交换律、乘法交换律与以往所学数学内容之间的联系。2重新审视以往用“交换两个加数或乘数的位置，再算一遍”的方法验算加法和乘法的合理性，深化对交换律的理解。六、应用提升。依次完成几道填空题，并相机引导学生用含有字母的式子表示出加法和乘法的交换律，体验数学语言的简洁。七、小结延伸。通过今天的学习，你有哪些收获？教学交换律（张齐华）  

19、;  一个例子，究竟能说明什么？    师：喜欢听故事吗？    生：喜欢。    师：那就给大家讲一个“朝三暮四”的故事吧。(故事略)听完故事，想说些什么吗？    结合学生发言，教师板书：3+4=4+3。    师：观察这一等式，你有什么发现？    生1：我发现，交换两个加数的位置和不变。    (教师板书这句话)    师：其他同学呢？(见

20、没有补充)老师的发现和他很相似，但略有不同。(教师随即出示：交换3和4的位置和不变)比较我们俩给出的结论，你想说些什么？    生2：我觉得您(老师)给出的结论只代表了一个特例，但他(生1)给出的结论能代表许多情况。    生3：我也同意他(生2)的观点，但我觉得单就黑板上的这一个式子，就得出“交换两个加数的位置和不变”好像不太好。万一其它两个数相加的时候，交换它们的位置和不等呢！我还是觉得您的观点更准确、更科学一些。    师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点

21、。但我们不妨把这一结论当作一个猜想(教师随即将生1给出的结论中的“。”改为“？”)。既然是猜想，那么我们还得    生：验证。    验证猜想，需要怎样的例子？    师：怎么验证呢？    生1：我觉得可以再举一些这样的例子？    师：怎样的例子，能否具体说说？    生1：比如再列一些加法算式，然后交换加数的位置，看看和是不是跟原来一样。（学生普遍认可这一想法）    师：那你们觉

22、得需要举多少个这样的例子呢？    生2：五、六个吧。    生3：至少要十个以上。    生4：我觉得应该举无数个例子才行。不然，你永远没有说服力。万一你没有举到的例子中，正好有一个加法算式，交换他们的位置和变了呢？（有人点头赞同）    生5：我反对！举无数个例子是不可能的，那得举到什么时候才好？如果每次验证都需要这样的话，那我们永远都别想得到结论！    师：我个人赞同你（生5）的观点，但觉得他（生4）的想法也有一定道理。综合两人的观点，我

23、觉得是不是可以这样，我们每人都来举三、四个例子，全班合起来那就多了。同时大家也留心一下，看能不能找到“交换加数位置和发生变化”的情况，如果有及时告诉大家行吗？    学生一致赞同，随后在作业纸上尝试举例。    师：正式交流前，老师想给大家展示同学们在刚才举例过程中出现的两种不同的情况。    （教师展示如下两种情况：1先写出1223和2312，计算后，再在两个算式之间添上“”。2不计算，直接从左往右依次写下“12232312”。）    师：比较两种举例的情况，想说些什么？

24、    生6：我觉得第二种情况根本不能算举例。他连算都没算，就直接将等号写上去了。这叫不负责任。（生笑）    生7：我觉得举例的目的就是为了看看交换两个加数的位置和到底等不等，但这位同学只是照样子写了一个等式而已，至于两边是不是相等，他想都没想。这样举例是不对的，不能验证我们的猜想。    （大家对生6、生7的发言表示赞同。）    师：哪些同学是这样举例的，能举手示意一下吗？    （几位同学不好意思地举起了手。）  &#

25、160; 师：明白问题出在哪儿了吗？（生点头）为了验证猜想，举例可不能乱举。这样，再给你们几位一次补救的机会，迅速看看你们写出的算式，左右两边是不是真的相等。    师：其余同学，你们举了哪些例子，又有怎样的发现？    生8：我举了三个例子，7887，2992，4774。从这些例子来看，交换两个加数的位置和不变。    生9：我也举了三个例子，5445，30151530，200500500200。我也觉得，交换两个加数的位置和不变。    （注：事实上，选生8、生9进行交流

26、，是教师有意而为之。）    师：两位同学举的例子略有不同，一个全是一位数加一位数，另一个则有一位数加一位数、二位数加两位数、三位数加三位数。比较而言，你更欣赏谁？    生10：我更欣赏第一位同学，他举的例子很简单，一看就明白。    生11：我不同意。如果举得例子都是一位数加一位数，那么我们最多只能说，交换两个一位数的位置和不变。至于加数是两位数、三位数、四位数等等，就不知道了。我更喜欢第二位同学的。    生12：我也更喜欢第二位同学的，她举的例子更全面。我觉得，举例就

27、应该这样，要考虑到方方面面。    （多数学生表示赞同。）    师：如果这样的话，那你们觉得下面这位同学的举例，又给了你哪些新的启迪？    教师出示作业纸：0+88+0，62121+6，1/9+4/94/91/9。    生：我们在举例时，都没考虑到0的问题，但他考虑到了。    生：他还举到了分数的例子，让我明白了，不但交换两个整数的位置和不变，交换两个分数的位置和也不变。    师：没错，因为我们不只是要说明

28、“交换两个整数的位置和不变”，而是要说明，交换    生：任意两个加数的位置和不变。    师：看来，举例验证猜想，还有不少的学问。现在，有了这么多例子，能得出“交换两个加数的位置和不变”这个结论了吗？（学生均表示认同）有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是交换两个加数位置和变了？（学生摇头）这样看来，我们能验证刚才的猜想吗？    生：能。    （教师重新将“？”改成“。”，并补充成为：“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”）    师：回

29、顾刚才的学习，除了得到这一结论外，你还有什么其它收获？    生：我发现，只举一、两个例子，是没法验证某个猜想的，应该多举一些例子才行。    生：举的例子尽可能不要雷同，最好能把各种情况都举到。    师：从“朝三暮四”的寓言中，我们得出“3+44+3”，进而形成猜想。随后，又通过举例，验证了猜想，得到了这一规律。该给这一规律起什么名称呢？    （学生交流后，教师揭示“加法交换律”，并板书。）    师：在这一规律中，变化的是两个加数的（板书

30、：变）    生：位置。    师：但不变的是    生：它们的和。（板书：不变）    师：原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。    结论，是终点还是新的起点？    师：从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如（教师指读刚才的结论，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交换两个加数的位置和不变。

31、”那么，在    生1：（似有所悟）减法中，交换两个数的位置，差会不会也不变呢？    （学生中随即有人作出回应，“不可能，差肯定会变。”）    师：不急于发表意见。这是他（生1）通过联想给出的猜想。    （教师随即板书：“猜想一：减法中，交换两个数的位置差不变？”）    生2：同样，乘法中，交换两个乘数的位置积会不会也不变？    （教师板书：“猜想二：乘法中，交换两个数的位置积不变？”） 

32、0;  生3：除法中，交换两个数的位置商会不变吗？    （教师板书：“猜想三：除法中，交换两个数的位置商不变？”）    师：通过联想，同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法，这是一种很有价值的思考。除此以外，还能通过其它变换，形成不一样的新猜想吗？    生4：我在想，如果把加法交换律中“两个加数”换成“三个加数”、“四个加数”或更多个加数，不知道和还会不会不变？    师：这是一个与众不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它将大大丰富我们对“加法交换律”的认识。

33、(教师板书“猜想四：在加法中，交换几个加数的位置和不变？”)现在，同学们又有了不少新的猜想。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择你最感兴趣的一个，用合适的方法试着进行验证。    （学生选择猜想，举例验证。教师参与，适当时给予必要的指导。然后全班交流。） 师：哪些同学选择了“猜想一”，又是怎样验证的？    生5：我举了两个例子，结果发现862，但68却不够减；3/51/52/5，但1/53/5却不够减。所以我认为，减法中交换两个数的位置差会变的，也就是减法中没有交换律。    师：根据他举的例子，你们觉

34、得他得出的结论有道理吗？    生：有。    师：但老师举的例子中，交换两数位置，差明明没变嘛。你看，330，交换两数的位置后，33还是得0；还有，14141414，100100100100，这样的例子多着呢。    生6：我反对，老师您举的例子都很特殊，如果被减数和减数不一样，那就不行了。    生7：我还有补充，我只举了一个例子，2112，我就没有继续往下再举例。师：哪又是为什么呢？    生7：因为我觉得，只要有一个例子不符合猜想，那猜想

35、肯就错了。    师：同学们怎么理解他的观点。    生8：（略。）    生9：我突然发现，要想说明某个猜想是对的，我们必须举好多例子来证明，但要想说明某个猜想是错的，只要举出一个不符合的例子就可以了。    师：瞧，多深刻的认识！事实上，你们刚才所提到的符合猜想的例子，数学上我们就称作“正例”，至于不符合猜想的例子，数学上我们就称作    生：反例。    （有略。）    师：关于

36、其它几个猜想，你们又有怎样的发现？    生10：我研究的是乘法。通过举例，我发现乘法中交换两数的位置积也不变。    师：能给大家说说你举的例子吗？    生10：5×44×5，0×100100×0，18×1212×18。    （另有数名同学交流自己举的例子，都局限在整数范围内。）    师：那你们都得出了怎样的结论？    生11：在乘法中，交换两数的

37、位置积不变。    生12：我想补充。应该是，在整数乘法中，交换两数的位置积不变，这样说更保险一些。    师：你的思考很严密。在目前的学习范围内，我们暂且先得出这样的结论吧，等学完分数乘法、小数乘法后，再补充举些例子试试，到时候，我们再来完善这一结论，你们看行吗？    （对猜想三、四的讨论略。）    随后，教师引导学生选择完成教材中的部分习题（略），从正、反两面巩固对加法、乘法交换律的理解，并借助实际问题，沟通“交换律”与以往算法多样化之间的联系。  

38、;  怎样的收获更有价值？    师：通过今天的学习，你有哪些收获？    生：我明白了，加法和乘法中有交换律，但却没有减法交换律或除法交换律。    生：我发现，有了猜想，还需要举许多例子来验证，这样得出的结论才准确。    生：我还发现，只要能举出一个反例，那我们就能肯定猜想是错误的。    生：举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论才更可靠。    师：只有一个例

39、子，行吗？    生：不行，万一遇到特殊情况就不好了。    （作为补充，教师给学生介绍了如下故事：三位学者由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊。“真有意思，”天文学家说：“苏格兰的羊都是黑的。”“不对吧。”物理学家说，“我们只能得出这样的结论：在苏格兰有一些羊是黑色的。”数学家马上接着说：“我觉得下面的结论可能更准确，那就是：在苏格兰，至少有一个地方，有至少一只羊，它是黑色的。”）    必要的拓展：让结论增殖！    师：在本课即将结束的时候，依然有一些问

40、题需要留给大家进一步展开思考。    （教师出示如下算式：20862068 ; 60÷2÷360÷3÷2）    师：观察这两组算式，你发现什么变化了吗？    生：我发现，第一组算式中，两个减数交换了位置，第二组算式中，两个除数也交换了位置。    师：交换两个减数或除数，结果又会怎样？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本课所掌握的方法，你能通过进一步的举例验证猜想并得出结论吗？这些结论和我们今天得出的结论有冲突吗，又该如何去认识？

41、一堂有价值的数学课，给予学生的影响应该是多元而立体的。有知识的丰厚、技能的纯熟，更有方法的领悟、思想的启迪、精神的熏陶。事实上。数学的确拥有这一切，而且也可能传递这一切。     然而，出于对知识与技能的盲目追逐，当今数学课堂忽视了本该拥有的文化气度和从容姿态，知识化、技巧化、功利化思想的不断弥散，让数学思想、方法和精神失却了可能生长的土壤，并逐渐为数学课堂所遗忘，这不能不说是当今众多数学课堂的悲哀。近年来，在观念层面的探讨不少，真正落实到课堂教学实践的却不多。     可喜的是，在张齐华老师的这一节课中，我们看到

42、了另一种努力以及由此而带来的变化。透过课堂，我们似乎触及到了数学更为丰厚的内涵，感受到数学教学可能呈现的更为开阔的景象。     对于“交换律”，一贯的教学思路是：结合具体情境，得出某一具有交换律特征的实例，由此引发猜想，并借助举例验证猜想、形成结论，进而在解释和应用的过程中进一步深化认识。张老师的课，在宏观架构上并未作太大开拓，然而，在保持其整体架构的基础上，这一堂课在更多细节上所给予的突破却十分显苎。我们不妨重温课堂，去找寻这些细节，并探寻细节背后的意蕴所在。    由“3+4=4+3”得出“交换两数的位置和不变”的猜想

43、，似乎再自然不过了。然而，教师略显突兀地介入，以“交换3和4的位置和不变”的细微变化，确又发人于深思。正如案例中所提及的，“一个例子究竟能说明什么”，是得出结论？还是仅仅是触发猜想和验证的一根引线？这里关乎知识的习得，更关乎方法的生成，关乎学生对于如何从事数学思考的思考。     “验证猜想，需要怎样的例子”的探讨，更是折射出了张老师独特的教学智慧。曾经在太多的课堂里，我们目睹这样的情形：学生举例三、四，教师引导学生匆匆过场，似乎也有观察、也有比较、也有提炼。然而，我们却很少琢磨：观察也好、提炼也罢，它究竟该建立在怎样的基石之上？换言之，在“简洁”和“丰

44、富”之间，谁才是“举例验证猜想”时应该遵循的规则。张老师的尝试与表达无疑是对传统教学的一种突破。“举例”不应只追求简约。例子的多元化、特殊性恰恰是结论准确和完整的前提。没有老师适时的点拨与引导，学生如何才能有此深度体验？无此体验，我们如何能说，学生已经历过程，并已感悟思想与方法？     触及我深思的问题还在于，是什么原因触发了这一节课将原来的“加法交换律”置换成了“交换律”？是内容的简单扩张？是教学结构的适度调整？随后的课堂，给了我清晰的答复。“加法交换律”只是一个触点，“减法中是否也会有交换律”、“乘法、除法中呢”等新问题，则是原有触点中诞生的一个个

45、新的生长点。统整到一起时，作为某一特定运算的“交换律知识”被弱化了，而“交换律”本身、“变与不变”的辩证关系、“ 想一实验一验证”的思考路线、由“此知”及“彼知”的数学联想等却一一获得凸显，成为超越于知识之上的更高的数学课堂追求。这何尝不是一种有意义、有价值的探索？     课堂的结尾，我们依然看到了教师对传统保守思路的背叛。确定的、可靠的结论已经不再是一堂课的终极追求，结论的可增  殖性、结论的重新表达、问题的不断生成和卷入，仿佛成为丁这堂课最后的价值取向，即便是颠覆原有的结论，也在所不惜。在这里，我们再一次看到了教师对于数学知识的“战略性”

46、忽视，因为，教师心中有大气象。    数学是什么，数学可以留下些什么，数学可以形成怎样的影响力？答案并不唯一。但我以为，数学可以在人的内心深处培植理性的种子，可以让你拥有一颗数学的大脑，学会数学地思考，学会理性、审慎地看待问题，关注周遭，理解世界，这恰是这节课给予我们的最大启迪。而数学的文化特性也恰在于此。交换律一课，张老师先是由师生谈话开始。 师：知道张老师是哪个学校的吗？生：江苏省南京市北京东路小学。师：关于我工作的地方，还有一个故事，大家想听吗？（想）师：我有一个朋友，有一天，他非说我调到北京去工作了。他说他在网上看到的。他说明明看到我在北京市南京

47、东路小学。原来，他把北京和南京两个词调换了。大家说，可以调换吗？（不可以）师：看来啊，有些时候是不能任意调换的。看屏幕上这两句话：我骑着马儿跑。小明在钓鱼。能调换吗？师：52这个数中的5和2可以调换吗？师：但是，在数学中也有一些情况下是可以交换的，今天这节课我们就来研究数学中有关交换的问题。     然后，张老师出示了几组口算题，口算的形式也很有意思。屏幕出示后，他要求学生悄悄地把计算的结果告诉同桌。第一个算式出示后，学生回答的声音比较大，他幽默地说：还不够悄悄。口算题一共有6道3组，张老师问学生：你发现了什么吗？根据学生的回答，张老师在黑板上板书了三组

48、算式。然后问学生：观察这些算式，你觉得有什么规律。学生说出后，师问：你还能举出这样的例子来吗？学生说：可以。师：可以举出多少呢？生：无数个。师：那似乎我们可以说，任意两个自然数相加，交换它们的位置，和不变。板书后，师问：我们这儿只有三个例子，为了证明这句话是对的，光这几个例子够吗？生：不够。师：所以我们还要去举一些例子，在举例子的时候要注意什么呢？生1：不仅要举两位数加两位数，还要举三位数加三位数。生2：还要举小数加小数。生3：还要举分数加分数。（老师对这几个同学积极鼓励）     通过举例验证了加法交换律后，张老师启发：刚才我们研究的是加法交换位置，和

49、不变。由加法你想到什么？生马上想到想去研究减法，乘法，除法是否有交换律。和学生讨论出这些规律的表示方法后，张老师让学生在小组内进行研究。    全班交流时，先说乘法，在这儿出现了很有趣的一幕。因为学生说，乘法他们只验证了整数乘法，但小数乘法和分数乘法还没有学，他们无法验证，所有他们担心会不行。所以在说这个规律时，学生要求把乘法交换律说成，两个因数相乘，交换因数的位置，积基本不变。    而在研究减法时，学生的思维同样的非常活跃，举了几个例子后，学生同意了减法没有交换律，但有个同学说，两个相同的数相减，交换它们的位置，差不变。张老师肯定

50、了她的想法，并对她说发现了一个子规律。    张老师带着孩子们得出加法和乘法有交换律后，出了几道很简单的填空题。最后一道是（  ）+（   ）=（   ）+（   ），学生举了几个例子后，老师问：能填得完吗？有没有什么办法表示呢？从而渗透用字母表示数。     然后，张老师又分别用集合图和点阵法向学生介绍了数学家是如何证明加法交换律和乘法交换律的。      最后，张老师给学生讲了一个小故事，作为这节课的结

51、尾：天文学家、物理学家和数学家坐着火车在苏格兰的大地上奔驰。他们往外眺望，看到田野里有一只黑色的羊。天文学家说："多么有趣，所有的苏格兰羊都是黑色的。"物理学家反驳道："不！某些苏格兰羊是黑色的。"数学家慢条斯理地说："在苏格兰至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。"对于教学，这本是一个再朴素不过的道理，而我却用了整整十年的时间，才渐渐品出其中的真滋味。而且，十年教学中，自己的所见、所闻、所思、所感使我越来越坚信：如我一样，对这一道理不够明白者，不在少数！     

52、;   想起读师范时，无论是学校的课程设置，抑或大家对各门课程的热衷程度，小学数学教学法都要比初等数论几何学概论等强得多，以至于还没踏上讲台，“怎么教才是最重要的”已在我们这些“准教师”的潜意识里扎根。难怪有人担忧：这一代教师可能“集体缺钙”。我以为这并非耸人听闻，而且深知这“钙”正是数学教师对“教什么”应有的重视，是对数学本身必需的关注。        正式走上讲台，“教什么”的问题似乎更不值得一提：“既然是数学教师，教的自然是数学。”看起来，这是无需求证的事实，但问题又恰在于此。我

53、曾在不同年龄段的数学教师中问过同样的问题：什么是数学？没想到，答案千姿百态：        “数学？呵，教了一辈子数学，还真没想过。”        手指数学书：“这就是数学！”        “数学关于数的学问吧？”            

54、;    能道出恩格斯关于数学的定义者少之又少，更莫说对数学给出自己个性化的、深刻的见解了。倒是下面这位教师的回答更直截了当：“什么是数学并不重要，只要能教会学生就行。”        我相信，他的观点有相当的普遍性。   我们没有理由不担心，一个“不知数学为何物”（至少是知之不多）的教师，得有多大的勇气才能自信地走上讲台并从事好手头的这份数学教学工作？一个“心中无数学”的教师，如何才能凭借数学课堂实现数学应用的教育价值与文化意义？近期，关于数学课堂中“去

55、数学化”倾向的讨论，不正是上述顾虑的折射吗？        无疑，什么是数学，这不是只言片语所能解释清楚的。但有一点毋庸置疑，那就是对数学的不同认识和理解必然会深刻影响数学教师的教学观，影响数学课程潜在教育价值与文化意义的实现。从这一意义上讲，对于数学本质的了解、解读以及持续的思索则显得十分必要而且迫切。        当然，在此我们尤其要弄清楚这样一些与数学有关的命题，比如“作为科学的数学”与“作为学科的数学”，“学术形态的数学”与“

56、教育形态的数学”，静态的“文本数学”与动态的“课堂数学”，等等。类似的思考会使我们对数学有一个更加深入、辩证的把握，也有利于我们以一种更审慎的态度观照数学以及我们的数学课堂。        此外，作为与“教什么”密切相关的话题，我们还应提及数学教师自身的学科素养问题。事实上，数学教学并不是教师“外在于”数学，以数学为纯粹“客体”“对象”而从事的搬运工作。教师与数学，二者理应相互交融、合二为一。一个优秀的数学教师站在讲台上，他就是数学！教学活动中，他的身上应该自然散发着一种独特的数学光华与气息，一种源自于理性、智慧、

57、思辨的内在气质。此时的教师，恰是以一个完整的职业生命，携自身的全部数学涵养融入教室、融入课堂、融入学生，学生由此而汲取数学的丰富营养。        正是基于这样的思考，我们在此又想提及这样一个问题：作为小学数学教师的我们，是否还需要有高等数学的视野，并补充一些基础数学理论的养分，以使我们所教的“数学”更丰厚些？        与大家共勉。教学交换律张齐华一个例子，究竟能说明什么？师：喜欢听故事吗？生：喜欢。师：那就给大家讲一个“朝三暮

58、四”的故事吧。(故事略)听完故事，想说些什么吗？结合学生发言，教师板书：3+4=4+3。师：观察这一等式，你有什么发现？生1：我发现，交换两个加数的位置和不变。(教师板书这句话) 师：其他同学呢？(见没有补充)老师的发现和他很相似，但略有不同。(教师随即出示：交换3和4的位置和不变)比较我们俩给出的结论，你想说些什么？生2：我觉得您(老师)给出的结论只代表了一个特例，但他(生1)给出的结论能代表许多情况。生3：我也同意他(生2)的观点，但我觉得单就黑板上的这一个式子，就得出“交换两个加数的位置和不变”好像不太好。万一其它两个数相加的时候，交换它们的位置和不等呢！我还是觉得您的观点更准确、更科学

59、一些。师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当作一个猜想(教师随即将生1给出的结论中的“。”改为“？”)。既然是猜想，那么我们还得生：验证。验证猜想，需要怎样的例子？师：怎么验证呢？生1：我觉得可以再举一些这样的例子？师：怎样的例子，能否具体说说？生1：比如再列一些加法算式，然后交换加数的位置，看看和是不是跟原来一样。（学生普遍认可这一想法）师：那你们觉得需要举多少个这样的例子呢？生2：五、六个吧。生3：至少要十个以上。生4：我觉得应该举无数个例子才行。不然，你永远没有说服力。万一你没有举到的例子中，正好有一个加法算式，交换他们的

60、位置和变了呢？（有人点头赞同）生5：我反对！举无数个例子是不可能的，那得举到什么时候才好？如果每次验证都需要这样的话，那我们永远都别想得到结论！师：我个人赞同你（生5）的观点，但觉得他（生4）的想法也有一定道理。综合两人的观点，我觉得是不是可以这样，我们每人都来举三、四个例子，全班合起来那就多了。同时大家也留心一下，看能不能找到“交换加数位置和发生变化”的情况，如果有及时告诉大家行吗？学生一致赞同，随后在作业纸上尝试举例。师：正式交流前，老师想给大家展示同学们在刚才举例过程中出现的两种不同的情况。（教师展示如下两种情况：1先写出1223和2312，计算后，再在两个算式之间添上“”。2不计算，直

61、接从左往右依次写下“12232312”。）师：比较两种举例的情况，想说些什么？生6：我觉得第二种情况根本不能算举例。他连算都没算，就直接将等号写上去了。这叫不负责任。（生笑）生7：我觉得举例的目的就是为了看看交换两个加数的位置和到底等不等，但这位同学只是照样子写了一个等式而已，至于两边是不是相等，他想都没想。这样举例是不对的，不能验证我们的猜想。（大家对生6、生7的发言表示赞同。）师：哪些同学是这样举例的，能举手示意一下吗？（几位同学不好意思地举起了手。）师：明白问题出在哪儿了吗？（生点头）为了验证猜想，举例可不能乱举。这样，再给你们几位一次补救的机会，迅速看看你们写出的算式，左右两边是不是真

62、的相等。师：其余同学，你们举了哪些例子，又有怎样的发现？生8：我举了三个例子，7887，2992，4774。从这些例子来看，交换两个加数的位置和不变。生9：我也举了三个例子，5445，30151530，200500500200。我也觉得，交换两个加数的位置和不变。（注：事实上，选生8、生9进行交流，是教师有意而为之。）师：两位同学举的例子略有不同，一个全是一位数加一位数，另一个则有一位数加一位数、二位数加两位数、三位数加三位数。比较而言，你更欣赏谁？生10：我更欣赏第一位同学，他举的例子很简单，一看就明白。生11：我不同意。如果举得例子都是一位数加一位数，那么我们最多只能说，交换两个一位数的位

63、置和不变。至于加数是两位数、三位数、四位数等等，就不知道了。我更喜欢第二位同学的。生12：我也更喜欢第二位同学的，她举的例子更全面。我觉得，举例就应该这样，要考虑到方方面面。（多数学生表示赞同。）师：如果这样的话，那你们觉得下面这位同学的举例，又给了你哪些新的启迪？教师出示作业纸：0+88+0，62121+6，1/9+4/94/91/9。生：我们在举例时，都没考虑到0的问题，但他考虑到了。生：他还举到了分数的例子，让我明白了，不但交换两个整数的位置和不变，交换两个分数的位置和也不变。师：没错，因为我们不只是要说明“交换两个整数的位置和不变”，而是要说明，交换生：任意两个加数的位置和不变。师：看来，举例验证猜想，还有不少的学问。现在，有了这么多例子，能得出“交换两个加数的位置和不变”这个结论了吗？（学生均表示认同）有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是交换两个加数位置和变了？（学生摇头）这样看来，我们能验证刚才的猜想吗？生：能。（教师重新将“？”改成“。”，并补充