专题15 半倍角模型-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

1、专题15 半倍角模型【导入】如图，已知ABC中，BAC90°，ABAC，D、E是BC边上的点，将ABD绕点A旋转，得到ACD（1）求DAD的度数（2）当DAE45°时，求证：DEDE；【解答】解：（1）将ABD绕点A旋转，得到ACDDADBAC，BAC90°，DAD90°；（2）证明：ABD绕点A旋转，得到ACD，ADAD，DADBAC90°，DAE45°EADDADDAE90°45°45°，EADDAE，在AED与AED中，AE=AE，EAD=EAD'，AD=AD'，AEDAED（SAS

2、），DEDE【方法点睛】图形分析（关键点）：共顶点的两边相等（旋转必备条件），夹角的一半（旋转角的一半，旋转后形成角平分线）OA=OB，2=1+3把OBF旋转至OBF此时OE平分FOF.即2=1+4【例1】如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把ADE顺时针旋转90°（1）在图中画出旋转后的图形；（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且EAF45°，连接EF求证：AMFAEF；若正方形的边长为6，AE35，则EF（1）解：如图，ABM为所作；（2）证明：ABCD 是正方形，BAD90°，ADE绕点A顺时针旋转90°得到ABM，AM

3、AE，MAE90°，又EAF45°，MAF45°，MAFEAF，在AMF和AEF中，AM=AE，MAF=EAF，AF=AF，AMFAEF.解：AMFAEF，EFMF，即MEBF+MB，而BMDE，EFBF+DE，在RtADE中，DE（35）2623，CE633，设EFx，则BFx3，CF6（x3）9x，在RtCEF中，CF2+CE2EF2，（9x）2+32x2，解得x5，解EF5【例2】如图，在ABC中，ACBC，ACB，点D、E在AB边上（点D在点E的右侧），且ACB2DCE将线段CD绕点C顺时针旋转角得到线段CF，连结AF、EF【感知】如图，当60°

4、时，则CBDCAF，CDECFE（不需要证明）【探究】如图，当90°时，（1）EAF的度数为（2）线段AE、ED、DB之间什么数量关系？请说明理由【应用】（3）如图，当120°，BCD15°时，请直接写出BCD、DCE、ACE这三个三角形的面积比【解答】解：（1）在ABC中，ACBC，ACB，90°，ACB2DCE，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，ACBC，BACB45°，由旋转知，CDCF，DCF90°，ACFBCD，在ACF和BCD中，AC=BC，ACF=BCD，CF=CD，ACFBCD（SAS），CAFB45&#

5、176;，AFDB，EAFBAC+CAF90°；故答案为：90°；（2）AE2+DB2DE2，理由如下：90°，ACB2DCE，DCF90°，DCE45°，FCE90°45°45°，DCEFCE，在DCE和FCE中，CD=CF，DCE=FCE，CE=CE，DCEFCE（SAS），DEEF，在RtAEF中，AE2+AF2EF2，又AFDB，AE2+DB2DE2（3）如图3，将BCD绕点C顺时针旋转120°，连接AF，EF，ABC是等腰三角形，ACB120°，ACBC，BACB30°，由旋

6、转知，CDCF，DCF120°，ACFBCD，在ACF和BCD中，AC=BC，ACF=BCD，CF=CD，ACFBCD（SAS），CAFB30°，AFDB，AFCBDC180°BBCD135°，EAFBAC+CAF60°，DCF120°，DCE60°，FCE120°60°60°，DCEFCE，在DCE和FCE中，CD=CF，DCE=FCE，CE=CE，DCEFCE（SAS），DEEF，CFEADEB+BCD45°，AFE90°，在RtAEF中，EAF60°，AEF3

7、0°，EF3AF，AE2AF，DEEF3AF，BDAFSBCD：SCDE：SACEBD：DE：AEAF：3AF：2AF1：3：2【例3】已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120°，MBN60°，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F（1）当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为（不需要证明）；（2）当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证

8、明【解答】解：（1）AE+CFEF，理由如下：延长DC至点K，使CKAE，连接BK，在BAE与BCK中，BA=BC，BAE=BCK，AE=CK，BAEBCK（SAS），BEBK，ABEKBC，FBE60°，ABC120°，FBC+ABE60°，FBC+KBC60°，KBFFBE60°，在KBF与EBF中，BK=BE，KBF=EBF，BF=BF，KBFEBF（SAS），KFEF，AE+CFKC+CFKFEF；（2）解：AECFEF，理由如下：延长DC至G，使CGAE，由（1）可知，BAEBCG（SAS），BEBG，ABEGBC，GBFGBCFBC

9、ABEFBC120°+FBC60°FBC60°，GBFEBF，BGBE，GBFEBF，BFBF，GBFEBF，EFGF，AECFCGCFGFEF【专题过关】1. 已知在ABC，ABAC，D、E是BC边上的点，将ABD绕点A旋转，得到ACD，连结DE若DEDE，BAC90°，DE2BD，判断DEC形状，并加以证明【解答】解：DEC是等腰直角三角形；证明：BAC90°，ABAC，BACBACD45°，DCE45°+45°90°，由（2）知，DEDE，DE2BD，D'E2BD，ABD绕点A旋转得到ACD

10、，BDCD'，D'E2CD'，在RtD'EC中，cosCED'CD'D'E22，CED'45°，CD'E90°CED'45°CED'，DEC是等腰直角三角形2.如图，在ABC中，BAC140°，ABAC，D，E在BC上，DAE70°，ADE45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD，DE，CE之间的等量关系，并证明你的结论【解答】可证，AECAFB，BFCE，AFDAED（SAS），FDDE，ADE45°，ADF45

11、6;，故BDF90°，在RtBDF中，由勾股定理，得BF2BD2+DF2，CE2BD2+DE23. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），点M，N是射线OC上两动点（OMON），且运动过程中始终保持MAN45°，小明用几何画板探究其中的线段关系（1）探究发现：当点M，N均在线段OB上时（如图1），有OM2+BN2MN2他的证明思路如下：第一步：将ANB绕点A顺时针旋转90°得APO，连结PM，则有BNOP第二步：证明APMANM，得MPMM第一步：证明POM90°，得OM2+OP2MP2最后得到OM2+BN2MN2请你完成第二步三角形全等

12、的证明（2）继续探究：除（1）外的其他情况，OM2+BN2MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【解答】解：（1）如图1中，将ANB绕点A顺时针旋转90°得APO，连结PM，则有BNOP点A（0，4），B（4，4），OAAB，OAB90°，NAPOAB90°，MAN45°，MANMAP，MAMA，ANAP，MANMAP（SAS）（2）如图2中，结论仍然成立理由：如图2中，将ANB绕点A顺时针旋转90°得APO，连结PM，则有BNOPNAPOAB90°，MAN45°，MANMAP，MAMA，ANAP，M

13、ANMAP（SAS），MNPM，ABNAOP135°，AOB45°，MOP90°，PM2OM2+OP2，OM2+BN2MN24.如图，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D90°，BCCD12，ABE45°，若AE10求CE的长度【解答】解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MGCE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，则BEC与BGM中，BC=BM，C=BMG=90°，EC=GM，BECBMG（SAS），MBGCBE，BEBG，ABE45°，CBE+ABMMBG+ABM45°，即

14、ABEABG45°，在ABE与ABG中，BE=BG,ABE=ABG，AB=AB，ABEABG（SAS），AGAE10，设CEx，则AM10x，AD12（10x）2+x，DE12x，在RtADE中，AE2AD2+DE2，100（x+2）2+（12x）2，即x210x+240；解得：x14，x26故CE的长为4或65. 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且EAF45°，将ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到ABQ，连接EQ（1）求证：EA是QED的平分线；（2）已知BE1，DF3，求EF的长【解答】证明：（1）将ADF绕点A顺时针旋转90°

15、后，得到ABQ，QBDF，AQAF，BAQDAF，EAF45°，DAF+BAE45°，QAE45°，QAEFAE，在AQE和AFE中，AQ=AF，QAE=FAE，AE=AE，AQEAFE（SAS），AEQAEF，EA是QED的平分线；（2）由（1）得AQEAFE，QEEF，ADFABQ，四边形ABCD是正方形，ADBABD45°，ABQ45°，QBEABQ+ABD90°，在RtQBE中，QB2+BE2QE2，又QBDF，EF2BE2+DF21+910，EF10【专题提高】6. 如图，AEF中，EAF45°，AGEF于G，且G

16、F2，GE3，则SAEF【答案】15【解析】证明：如图，将AEG沿AE折叠得到AEB，将AFG沿AF折叠得到AFD，延长BE和DF相交于点CADAGAB，DAGF90°，BAGE90°，DAFGAF，BAEGAE，EAF45°FAG+GAE，DAF+BAE45°，DAB45°+45°90°，即BDDAB90°，ADAB，四边形ABCD是正方形由折叠知，RtABERtAGE，RtADFRtAGF，BEEG3，DFFG2，EF5，设AGx，则ABBCCDAGx，CECBBEx3，CFx2CE2+CF2EF2，（x3）2+（x2）252解得x16，x21（舍去）AG6AEF的面积12EFAG12×5×6157. 如图，在ABC中，CAB120°，ABAC，EAD60°，BC3+3，若以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形时，求BE的长【解析】如图，将AEC绕点A顺时针旋转120°，得到AFB，AECAFB，AFAE，ABFACB，ECBF，EAF120°CAB120°，ABAC，ABCACBABF30°FBD60°，EAF120°，EAD60°，DAEDAF60