《信号分析与处理》备课教案(第三章)

1、上一章回顾 上一章“单输入单输出系统的时域分析”，其实质是在 时域中 进行系 统分析的任务，也就是说解决在给定的 时域输入信号 激励作用下，系统在 时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为 时域分析 ，是由于在系统分 析的过程中，所涉及的函数变量均为时间 t ，故这一方法称之为 “时域分 析法” 。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的 基础。上一章所讲授的主要内容，可以概括为如下几个方面： 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种 响应的具体求解。 3、单位冲击响应与单位

2、样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差 分方程的具体求解方法。 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方 法和步骤；卷积积分的重要性质。 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位 乘法熟练进行求解的方法和步骤上次课“思考题”： 1“卷积积分”与“卷积和”的相似之处与区别是什么？ 2不进位乘法求“卷积和”需要注意的地方是什么？ 从本次课开始，我们将进入信号与系统的 “变换域分析” 变换域一般指：频域、S域和Z域；也就是通过各种数学变换， 将时域的信号与系统变换到 频域、 S 域和 Z 域中进行分析和观察，这 样

3、不仅能够简化信号与系统在时域分析中的复杂计算，更主要的是： 可以使我们观察到，信号与系统在时域分析中所无法看到的一些奇妙 的现象和特性，从而使我们可以多角度地对信号与系统有更深刻的认 识和更全面的把握。 本章所讲授的“傅立叶”变换，就是信号与系统在“ 频域”中的 分析原理、方法和特性。 第三章：傅里叶变换 3.1. 概述 时域分析 的要点是，以 冲激信号 或单位信号 为基本信号 ，任意输 入信号可分解为一系列 冲激函数 或 单位函数 ；且， y f (t) h(t) f (t) 对于连续时间系统 y f (k) h(k) f (k) 对于离散时间系统 鉴于离散时间系统的“傅立叶变换”，属于“数

4、字信号处理”课 程的内容，因此在本章下面的分析中，所指的信号和系统均为连续时 间信号和连续时间系统。 本章将以 正弦信号 和虚指数信号 ej t 为基本信号 ，论证任意输入 信号可分解为一系列 不同频率 的正弦信号或虚指数信号之和。由于这 里用于系统分析的独立变量是 频率 ， 故称为 频域分析 。 在高等数学的级数分解中已经表明，任意一个周期信号，只要满 足狄里赫利条件， 都可以分解为傅里叶级数， 分解后的各次谐波的幅 度和相位构成了周期信号的 幅频特性 和相频特性 ，并把幅频特性称为 幅度谱 ，相频特性称为 相位谱 。而对非周期信号，如果引入 频谱密度 的概念，从而也对非周期信号作傅里叶变换

5、，也可以得到非周期信号 的频谱。从频谱的观点来分析信号与系统也称为 频域分析法 。由于频 域分析法有许多突出的优点，因此它已称为信号与系统分析的重要手 段之一。 下面首先引出周期信号的傅里叶级数，然后在傅立叶级数的基础 上导出连续非周期信号的傅立叶变换傅里叶级数的三角形式 对于给定周期信号，可以通过公式方便地得到其傅立叶级数的系 数，它包含了各频率正弦分量的幅值及相位， 这些系数与频率的关系， 就是该周期信号的 频谱，也称为频谱特性。一般地，周期信号的傅立 叶级数有三角形式和复指数形式两种，因此其系数也有实系数和复系 数两种表示形式。 设周期信号f(切 其周期为T,角频率Q=2K/T,当满足

6、狄甲赫利(D irichlct)件吋，它可分解为如下三角级 数称为f(t)的傅里叶级数 f(T)二寸 + 工 cos M) + 工休 sin( 乙 n= n= 2 其中，ao - 2T f（t）dt I 一 这里，ao、an和bn称为三角形式傅立叶级数的系数。可见，an 是n的偶函数，bn是n的奇函数。这里，n 1,2,3, 将上式“同频率项”合并，可写为： /(0 = + 工乩 cos( nQt +(pfJ) 2 n= 该式即为三角形式的傅立叶级数表达式。 b 式中，釧“外二耐F 如;式(1) 2 an Ancos n 也即，/ , . n , n 1,2,3, 式(2) bn An sin

7、 n 可见，An是n的偶函数，n是n的奇函数。 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中，A/2为直流分量； A,cos(Qt+(Pi)称为基波或一次谐波，它的角频率与原 周期信号相同； A2cos(2Qt+q)2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nQt+(pn)称为it次谐波。 二、波形的对称性与谐波特性 1 . f(t)为偶函数 - 对称纵坐标 2 丁 2 丄. an = R /(7)cos(/7i2f)d/ 仇二盲 ” /(r)5门(Qf)df T 1 - bn =0,展开为余弦级数。 2 . f(t)为奇函数 - 对称于原点 an=0,展开为正弦

8、级数口 例：周期矩形信号f(t)如图所示，若重复频率f =5 KHZ，脉 1 A o 2- T t 宽 为20 s，幅度A=10 V求f(t)傅立叶级数展开的直流分量 2 4A 10 2 A 2 j4Asin 10二sin 18 1.39 2 T 2 同理，当n 2和n 3时，得二次和三次谐波的有效值分别为: A 2 4A sin 2 sin 36 1.32 2 T 2 A 2 4A .3 sin 10 2 . sin54 1.2 2 3 T 2 3 三、傅里叶级数的复指数形式 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但大小，以及基波、二次谐波和三次谐波的有效值。 解：因为f (t)为偶函数，所以

9、bn 0，故只有直流分量和余弦 分量，并有An an，利用公式求解如下： 直流分量： T ao 2 2r f (t)dt I 一 2 所以直流分量为 -2 Adt T - 2A T 2 10 20 ?6 2 1 5 103 n次谐波系数: T an ao 2 21 2 其有效值为：A An 将n 1代入上式，得基波有效值为: 2 Acos(n 2 4A . n 八 t)dt 77sin丁 塔 运算常感不便, 因而经常采用复指数形式的傅里叶级数。考虑上面式（1）, 进而可从欧拉公式cosx （ejx ejx）2推出： 1 A w A 6 十 y 6 c z（Qf十久）| 6一八+几） 2 心2

10、=竝+丄 & c加e皿十丄工& c仏严 I 2 2 Ji= 2 ；=i 考虑到An是n的偶函数，n是n的奇函数，则: 上式中第三项的II用-II代换,A （p n=-0 （对于三角形式展开），所以称这种频谱为 单边 谱。也可画吒|和n的关系，称为双边谱。 1 1 Fn 2张2(心 将三角形式傅立叶级数系数 1 n jAn Sin 门）；（an jg） 2 a和b带入上式，可得： jsin(n t) dt 式（4） 的关系，即进入了频域。 1 2 1 例：周期信号f (t) 1 cos t -sin t 2 4 3 4 3 6 试求该信号的基波周期 T,基波角频率Q,并画出它的单

11、边频谱图 解： 首 亍先应用三角公式改写 f (t)的表达式， 即 C 1 (7T 1 (7T 兀 f ()- 1 H COS / + + cos - f - - 2 3 4 b 6 2 J| 对照三角形式的傅立叶级数表达式: ./()=T + 工乩 cos(nQt +(pn ?J=I 显然1是该信号的直流分量。 扌/叶|的周期二令-1的周期T2 = 6 因为，基波周期总是信号谐波周期的最小公倍数，原因可参看第 一章关于“两个周期信号的和函数周期性”判断标准。 所以f(t)的周期1 = 24,基波角频率Q=2JI/T= JI/12 又因为： n 4，n 3，所以: 是f的I Ji/4/| Ji

12、/12 =3次谐波分量; 画出/W的单边振幅频谱图、相位频谱图如卜亠图： if ill 1 J - 一層 2 二 真 71 Cf) 0 - 莊 - 托 R TF V (H) T 少 3 (b) 是f的| 口/3/|兀/12 |=4次谐波分量; 1、周期信号频谱的特点 举例：有一幅度为1,脉冲宽度为 的周期矩形脉冲，其周期为 T,如图所示，则由上面式（4）可直接求其频谱系数为: F = 冷dr =挣 T - JnQ ,nl T sin - Fn ；Sa(n ) ；Sa()，n 0, 1, 2, 4 2 4 4 由于对于Sa(t)函数而言，过零点的自变量取值为： t m ，m 1, 2,(即m为除

13、0之外的整数) 则对Fn而言，其过零点的取值必为： n 2m m ， n ， m 1, 2, 2 对应的恰是曲线的过零点，因此可以说周期信号f (t)分解的四 次谐波分量F“为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4 T画图 2, 3, 而在n 4, Fn ,对应的是周期 脉冲信号f(t)分解的基波分量； ,对应的是1 n 为零；或f (t)的分解信号不包括四次谐波分量； 在n的取值继续升高时，情况类同 特点： （1） 周期信号的频谱具有谐波（离散）性，谱线位置是基频Q的 整数倍； （2） 在频谱图上，谱线是以基频 为间隔等距离分布的； （3） 般具有收敛性，随着 增大总趋势减小，直至衰减为零

14、。 下面我们看一下谱线结构与波形参数的关系 设前述的周期矩形脉冲宽度仍为 ，幅度A仍为1，周期为 T1,则由式（5）有：Fn匚Sa（捋）匚Sa（丁） Ti 2 T| 2 由图中可见谱线结构与波形参数的关系，当脉宽 维持不 变，T1增大（即不断增大），则相应频谱图上的谱线间隔（即 不难推论，当周期Ti无限增长，即Ti 时，此时的周期 矩形脉冲信号就成为非周期信号（非周期矩形脉冲），同时谱 线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号 的连续频谱。但从图上也可以看出，此时各频率分量的幅度Fn 也趋近于无穷小，即Fn 0，因此这样也就无法再用傅立叶级 数来描述非周期信号的频域特性。 上图中

15、，还画出了三种不同情况时周期信号的 Tn 的 图形，由图中可见T,Fn的包络线为： TiFn=T| Sa（ ）= Sa2） 11 2 2 可见，这一包络线（或TiFn）与Ti的变化无关。也就是说， 随着T1 ，虽然T1Fn图形的谱线间隔越来越密，并趋近于零， 导致周期信号的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱， 但 TiFn图形的幅度始终维持不变。 因此，可以考虑用TiFn来描述非周期信号的频域特性。 3.2.2非周期信号的傅里叶变换 非周期信号f（t）可看成是信号周期T8时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无 穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。但同时各频率分量的幅

16、度也趋近于无穷小，不过这些无穷小量之间仍有差别。 由于T|Fn与T|的变化无关，为了描述非周期信号的频谱特 性，引入频谱密度的概念。令）变小，相应的频谱包络线 Sa（）的幅度也变小 Ti 2 考虑到：Tf , Qf无穷小，记为dco； * Q (由离散量变为连续量)，而 Q AM = rr 同吋，2 T是，lim FJ = r / T 啊 J-e F(j )称为f (t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f (t)称为F(j )的傅里叶反变换或原函数。 也可简记为: F(j ) F f(t) f(t) FlF(j ) 21 F(j )ej td F(j ) lim 甩 lim FnT (

17、单位频率上的频谱) T 1T T n 则称F(j )为频谱密度函数 由式(4): T Fn I 一 jn tdt FnT 2 由式(3): T 2r f (t)e jn tdt 2 f(t) Fnejn n FnTjn tl T 傅里叶变换式 壬傅里叶f (t)e j tdt 或 f(t) JF(js) F(jo)般是复函数，写为 F(j ) = | F(j A 0 t f ” I -a i= _ 亡一+“ a + j（D 2.双边指数函数f= F(j ) e te j tdt 0 e te j tdt -= R(o) + jX(o) 1 1 2 -mi W pr 12 “ C - C C 1

18、1 = - 32 - j(O 2sin( 2 co r Sa() 2 4.冲激函数6(6 6Xt) c?(r)c_/rJ d r = 1 8 可见：单位冲激函数的频谱在整个频域内等于一个常数，即在整个频 域中频谱是均匀分布的，该谱亦称为 “均匀谱”或“白色谱”。 5.常数1 1 -2K8(CD) ( j2(j 、 sgn(r) lim = lim 一 -3门函数（矩形脉冲） 0(f) g 6符号函数sgnWJ- I, f0 ,o eT t 0 1 0 t -1 or co1) t?-0 7阶跃函数E 1 址 0 t 注意：常用典型信号的傅立叶变换与相应频谱图， P89页、表3.2，其中标号为1、2、3、7、8、9、 的信号与对应频谱，应熟练掌握并予以记忆。 1 1 pl (f) = + sgn(/) 帀()+ 具体见教材 10、12、13 总结： 本次课程讲授内容的理论性较强，公式推导较多，目的在于把握 从“时域”到“变换