西安交通大学医学信号处理第三章.

1、 3.1平稳随机信号 3.2平稳随机信号通过线性系统 3.3经典谱估计 3.4现代谱估计医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 3.1 平稳随机信号 自然界中存在着大量随机现象如地震波幅、建筑物承受的风载荷、通信系统或控制系统中的各种噪声和干扰等。这些随机现象无法用精确的函数关系来表示 例如电阻内部微观粒子的随机热骚动引起的端电压称为热噪声电压，它在任一时刻的值都是随机变量。对它进行一次观察，得到一个电压一时间函数x1（t）。这个函数是不可预先确知的，只有通过观察才能得到，在相同条件下重复观察，每次都将得到不同的结果。数字信号处

2、理数字信号处理 第八章第八章 平稳随机信号平稳随机信号数字信号处理数字信号处理 第八章第八章 平稳随机信号平稳随机信号 通常把对随机现象的一次观察结果 称作一个样本函数，对在有限时间区间 上观察的结果称为样本记录。任一次观 察结果都仅是无限多个可能产生的结果 中的一个，而所有可能产生的样本函数 的集合称为随机过程。随机过程是描述 随机现象的数学模型。随机过程如果是 时间的函数，则随机过程和随机信号这 两个概念是共通的。数字信号处理数字信号处理 第八章第八章 平稳随机信号平稳随机信号数字信号处理数字信号处理 第八章第八章 平稳随机信号平稳随机信号数字信号处理数字信号处理 第八章第八章 平稳随机信

3、号平稳随机信号 (2) 随机序列可以用它的统计平均特性表征 随机变量的取值虽不能先验确知，却服从确定的统计规律，因此可用确定的概率分布特性来统计地描述。我们也可以用统计平均特性来统计地表征随机变量，因为每种统计平均特性均为随机变量的某种函数按概率加权平均的结果，因而可从某个侧面反映随机变量的取值特性。随机变量的统计平均特性是确定的。医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 一、随机序列的描述 (一)概率分布函数和概率密度函数医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 (

4、二)统计平均 用概率函数可以最充分地在统计意义上描述一个随机过程。但在工程实际中，要得知一个随机序列各点随机变量的概率函数要通过大量实验，而许多问题的解决往往只需知道随机序列概率函数的某些特征量，即所谓数字特征。数字特征是随机序列的函数按概率的统计平均，常用的有均值、方差和相关函数。 1.均值医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法4自相关函数和自协方差函数一个随机序列中两个时刻n1和n2上的随机变量x(n1)和x(n2)之间的

5、自相关函数定义为:医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频

6、域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法3医学信号处理医学信号处理 第三章第三

7、章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法4医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法3-1医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法3-2医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法互相关函数性质:医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的

8、时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法4医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法例3-3：一个零均值的离散时间随机过程各值xn，xn+m（m不等于零）均互相独立。求它的自相关函数和功率谱。自相关函数：自相关函数：Rx（m）=Exnxn+mm=0时，时， Rx（0）=Exn2=方差方差m不等于零，不等于零， Rx（m）=Exn Exn+m=0 功率

9、谱：功率谱：Px（w）=DTFTRx（m）= Rx（0） =方差。方差。典型的白噪过程典型的白噪过程医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法例3-4：把上例的xn送入到两点平均器中，得输出为，求yn的自相关函数和功率谱。)xx(2/1y1nnn)xx(41(E)y(E)0(R21nn2ny)xx)(xx(41(E)yy(E) 1 (Rn1n1nn1nny自相关函数：自相关函数：Ry（2）以上都为零，平均后数据相关性变大）以上都为零，平均后数据相关性变大2x21n1nn2n21)x(E41)xx(E21)E(x412x1n1 -n1

10、n1n2n1nn41)xx(E41)xx(E41)x(E41)xE(x41例3-4：把上例的xn送入到两点平均器中，得输出为，求yn的自相关函数和功率谱。)xx(2/1y1nnn功率谱：功率谱：j -yyjyyye ) 1 (R)0(Re ) 1(R)m(R(DTFT)(P)cos1 (22x3-5：已知平稳随机过程x的自相关函数如下，求其功率谱密度及均方，并根据所得结果说明该随机过程是否含有直流分量或周期性分量。cos3cos4e)(Rx16cos25e)(R04x（）（）cos3cos4e)(Rx（）de )(R)(Pjxx)(11)(11 4)3()3(22514)0(R)x(Ex201

11、2 4)0(P2x因为因为所以含有直流分量；所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中包含中包含有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量。 16cos25e)(R04x（）de )(R)(Pjxx)(161)(161100)(322020411625)0(R)x(Ex2016210032)0(P20 x因为因为所以含有直流分量；所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中中没有包含周期性的成分，因此该随机过程不含有周没有包

12、含周期性的成分，因此该随机过程不含有周期性分量。期性分量。 X(n) h(n) Y(n) H() Fx() Fy()mx myRx(m) Ry(m)Sx() Sy() Rxy(m) Sxy() 仅取决于mx、Rx(m)与Sx()3.2 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法y(n)=h(n)x(n)=kknxkh)()(1.输出均值my(n)=Ey(n)= h(k)Ex(n-k)k= h(k)mx(n-k)k=mx h(k)k=mxH(0)医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信

13、号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法2.互相关函数Rxy(n,n+m)=Ex(n)y(n+m)=Ex(n) h(k)x(n+m-k)= h(k)Ex(n)x(n+m-k)= h(k)Rx(n,n+m-k)Rxy(m)= h(k)Rx(m-k)=h(m)Rx(m)kkkk医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法3.互功率谱密度Sxy(ej )= Rxy(m)e-j m= h(k)Rx(m-k)e-j m= h(k)e-j k Rx(m-k)e-j (m-k)=H(ej )Sx(ej )mkkmmh(m)Rx(m)医

14、学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法同理可得Ryx(m)= h(k)Rx(m+k)=h(-m)Rx(m)Syx(e j )=H(e -j )Sx(e j )k4.输出的自相关函数Ry(m)=Ey(n)y(n+m)医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法Ry(m)=E h(k)x(n-k) h(j)x(n+m-j)= h(k)h(j)Ex(n-k)x(n+m-j)= h(k) h(j)Rx(m-j+k)= h(k)h(m+k) Rx(m+k)=h(-m) h(m) R

15、x(m)=h(-m) Rxy(m)=Ryx (m) h(m)kjkjkjkh(m)h(m) mx my my H(0) mx Rxy(m)Rx(m) Ry(m) Ryx(m)h(-m)h(m)h(-m)医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法5.输出的功率谱密度Sy(e j )= Ry(m)e- j m =Syx(e j )H(e j ) =Sxy(e j )H(e- j ) =Sx(e j )H(e j )H(e -j )mH(e j )H(e- j)Sx(e j )Sy(e j )对应Ry(m)= Rxy(m) h(-m)Ry

16、(m)= Ryx (m) h(m)Ry(m)=Rx(m) h(m) )h(-m)医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法例3-6：已知一线性系统输入为零均值平稳随机序列x(n)，自相关函数Rx(m)=x2(m)则：Rxy(m)=Rx(m)h(m) = x2h(m) h(m)=Rxy(m)/ x2给未知系统输入白噪声，求出输入与输出的互相关函数，即可得到系统的单位冲激响应，称为系统辨识。频域有：Sxy( )=Sx( )H( ) H( )= Sxy( )/ Sx( )= Sxy( )/ x2医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物

17、医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法例3-7：设平稳随机信号x(n)的自相关函数为x2(m)，线性系统的单位冲激响应是h(k)=rk k 0 |r|r H(e j )=1/(1-r e - j) Sx(e j )=Rx(m) e - j m=x2 Sy(e j )= Sx(e j )H(e j )H(e -j ) = x2/( 1-2rcos +r2)Rxy(m)=Rx(m) h(m)=rk x2(m-k)=rm x2医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法平均功率Ry(m)= Rxy(m) h(-m) =

18、 rk x2r k+m = x2r m/(1-r2) m0 Ry(m)= x2r -m/(1-r2) m0 Ry(m)= x2rm/(1-r2)Dy=Ry(0)= x2/(1-r2) =Ey2(n)=1/(2)Sy( )d功率谱密度医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法例题3-8：线性系统如图所示，输入为零均值，方差为1的白噪，求输出的自相关和功率谱。2acosa11)e (P)e (H)e (P2jx2jjy解：解：Y(z)=aY(z)z-1+X(z)H(z)=1/(1-az-1)ae1/(1)e (Hjjw)e (Pjy+a

19、Z-1x（n） y（n） 2m2jyya11a2acosa11)e (P)m(RIDTFTIDTFT信号与线性系统P168常用傅氏变换对3.3 经典谱估计3.3.1概述 从观测到的信号数据中，定量地预测或推断被观测系统的状态或参量的问题，就是估计问题。 因为观测到的信号数据是有限的，因此实际估计量与被估计量或真值之间必然存在着估计误差。如何使误差最小，使估计量与被估计量近于相等，这就是统计估计从理论上和技术上所要讨论和解决的问题。医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法功率谱估计方法经典谱估计现代谱估计周期图法相关法改进法从方法上

20、分从信号特点分参数模型法非参数法ARMAARMA平稳非平稳短时付氏变换Wigner分布本节讨论要到下节才会讲医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法3.3.2 基本的估计算法理论上：Rx(m) = x(n)x(n+m) =Ex(n)x(n+m)Rx(m) = xk(n)xk(n+m)Sx(e j )= Rx(m) e - j m (1)121limlllln MM1limMk 1求和有无穷多项！m医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法R实际上： x(m)=1/N x

21、(n)x(n+m) -(N-1) m (N-1) x(m)=1/M xk(n)xk(n+m)10NnRMk 1求和为有限项！真正的相关函数的一个近似。代入（1）式 x(e j )= x(m) e-j m上式为真实功率谱的一个估计。称作相关法。S1) 1(NNmR类似地用相关法估计互谱为： xy(m)=1/N x(n)y(n+m) (2) xy(e j )= xy(m) e-j m (3)将（2）式代入（3）式 xy(e j )= 1/N xN(n)yN(n+m) e-j m R10NnS1) 1(NNmRS1) 1(NNm10Nn xy(e j )= 1/N xN (n) yN (n+m) e

22、 -j m =1/N xN (n) yN (l) e -j (l-n) m+n=l= 1/N xN (n) e j n yN (l) e -j l= 1/N XN* (e j ) YN (e j ) (4) x(e j )= 1/N XN* (e j ) XN (e j ) (5)S10Nn1) 1(NNm10Nn1)1(NnNnl10Nn10NlS 医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法3.3.3 估计质量的评介设是随机信号的一个统计特征， 是的估计，它是N个随机变量x(0)、x(N-1)的函数，因而也是随机的。如果 接近于的

23、概率很大，即可以认为是个“好”的估计。其中偏差和方差是评定估计质量时通用的两个量。估计的偏差定义为：Bia = -E 可以是均值、自相关函数或功率谱.(p）偏差表示估计的均值与真值的接近程度。若Bia( )为零称 是 的无偏估计无偏估计。否则称为有偏估计有偏估计。若用于求均值的样本记录趋于无限长时有 Bia =0则称 是的渐近无偏估计渐近无偏估计。Nlim估计的方差定义为：Var =E( -E )2表示各次估计值相对于估计值均值的分散程度。方差小且无偏方差小但有偏方差大无偏方差为最小的估计称为最小方差估计。最小方差估计。无偏估计意味着做多次估计后，各次估计值的均值接近于待估计量的真值，并不保证

24、每次估计值都接近于真值，落点可能很分散。最小方差估计的每次估计值都接近于估计的均值，落点很集中。但并不保证这些落点都集中在真值附近。(p）医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法估计的均方误差均方误差：E( - )2=(Bia )2+Var 如果随着样本数目的增加，估计的均方误差趋于零，称此估计为一致估计为一致估计。偏差与方差都趋于零医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法000) 1(0) 1() 2() 1() 2() 1 () 2() 1 () 0() 1 ()

25、 0(0) 0(000) 1() 1 () 0(NyNyNyNyyyyyyyyyNxxx10)()()(Nnxymnynxmr 3.3.4 相关函数的估计相关函数的估计 设序列设序列x,y长度为长度为N点，除区间点，除区间0N-1之外皆为零，之外皆为零，用矩阵的形式来表达线性相关：用矩阵的形式来表达线性相关： 计算得到一个计算得到一个2N1点长的行向量，也就是对点长的行向量，也就是对应，应，m(N1)，（，（N1）。如果）。如果x和和y的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，然后者点长相同，然后计算 .医学信号处理医学信号处理 第三章第三章

26、生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 设序列设序列x,y长度为长度为N点，除区间点，除区间0N-1之外皆为零，之外皆为零，用矩阵的形式来表达循环相关：用矩阵的形式来表达循环相关： 计算得到一个计算得到一个N点长的行向量，也就是对应，点长的行向量，也就是对应，m=0，1，（，（N1）。如果）。如果x和和y的长度不同，的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，然后然后计算 .)2()0() 1()0()2() 1 () 1() 1 ()0() 1() 1 ()0(NyyNyyyyNyyyNxxx10)()()()(NnN

27、NxynRmnynxmr医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法一、相关函数的估计l根据定义用有限样本来进行估计：xxN1lim)m(R1N0nmnnNx假设只有假设只有N个数据，估计公式为：个数据，估计公式为：, 2, 1, 0m,xxN1)m(R1mN0nmnnx1mNn1Nmnxmn不超过数据长度为保证医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信

28、号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法偏差：看估计的均值，是有偏估计，但是渐进无偏。方差：估计的方差当N无穷时，趋于零。因此该估计法是一致估计。相关函数估计的质量：医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法二、FFT法估计相关函数医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号

29、的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法线性卷积与线性相关的关系：医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法l随机信号的功率谱反映它的频率成分以及各成分的相对强弱。l经典估计法：1）先估计相关函数，然后傅立叶变换；

30、2）对信号傅立叶变换后求模平方再除以N。l估计的方差特性不好，起伏剧烈，数据越长越严重。医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法3.3.5谱估计1、周期图法估计功率谱l2、相关法谱估计、相关法谱估计l MNl当M=N时周期图法和自相关法结果是一致的2jjxj)e (XN1)e (P)n(xDTFT)e (X即可。以计算，再求模平方，除然后点长补零至一致，把为使得结果与自相关法NFFT,1-2Nx, 2, 1, 0m,xxN1)m(R1mN0nmnnx x(e j )= x(m) e-j mS1) 1(MMmR医学信号处理医学信号处

31、理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法1.周期图法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法功率谱估计的质量偏差：看估计的均值，是有偏估计，但是渐进无偏。方差：估计的方差当N无穷时，估计值不会趋于零。因此该估计法不是一致估计。医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及

32、频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法3、改进法估计功率谱1.平滑：加窗对单一功率谱估计加以平滑。2.平均：对同一随机过程做多次周期图法，再加以平均。估计的质量：均值是渐进无偏，方差是趋于零，是一致估计。医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医

33、学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 3.4现代谱估计医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 为随机信号建立参数模型是研究随机信

34、号的一种基本方法。 其含义是认为随机信号是由白噪激励某一确定系统的响应（图3.1）。 只要白噪的参数确定了，研究随机信号就可以转化成研究产生随机信号的系统。)(nw)(nx)(zH)(zW)(zX)(nh图图3.1随机信号的参数模型随机信号的参数模型 经典信号建模法（classical modeling method for signal）：前面已经指出，医学信号处理的目的是提取包含于随机信号中的确定性成分，以便在一定的准确性（最小二乘意义）上进行预测。 这就是建立各种各样的确定性数学模型，包括代数、微分、积分、差分方程模型。这是经典的信号建模方法。 信号的现代建模方法（Modern mode

35、ling method for signal）：是建立在具有最大的不确定性基础上的预测。 提出了众多的数学模型( mathematical models)。根据Wold的证明：任何平稳的ARMA（自回归移动平均）模型或MA模型均可用无限阶或阶数足够的AR模型去近似。因此本节着重介绍AR模型的基本原理和方法。随机信号 由当前的激励 和若干次过去的激励 线性组合产生： )(nx)(nw)(knwqkkknwbnx0)()(qkkkzbzWzXzH0)()()(1 三种参数模型三种参数模型1) MA模型模型(moving average model)该模型的系统函数是：该模型的系统函数是： q表示系

36、统阶数，系统函数只有零点，没有极点，所表示系统阶数，系统函数只有零点，没有极点，所以该系统一定是稳定的系统，也称为全零点模型，以该系统一定是稳定的系统，也称为全零点模型，用用MA（ q ）来表示。）来表示。随机信号 由本身的若干次过去值 和当前的激励值 线性组合产生： )(nx)(knx)(nwpkkknxanwnx1)()()(pkkkzazH111)(2) AR模型模型(auto-regression model)该模型的系统函数是：该模型的系统函数是：p是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统

37、全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用AR（ p ）来表示。）来表示。它既有零点又有极点，所以也称极零点模型，要考虑极零点的分布位置，保证系统的稳定，用ARMR（ p ，q ）表示。pkkqkkknxaknwbnx10)()()(pkkkqkkkzazbzH101)(3 ) ARMA模型模型(auto-regression-moving average model)ARMA是是AR与与MA模型的结合：模型的结合：该模型的系统函数是：该模型的系统函数是：2 AR模型参数的估计随机信号的建模法最近在生物医学信号处理中

38、应用相当普遍，在自发脑电、诱发脑电、肌电、心电、胃电等方面都有人尝试应用模型法进行研究。应用较多的是AR模型，因为建立这种的模型计算工作比较容易。作为数学逼进，三种模型都可以互相转换。实际中选用哪一种模型就要考虑到节约和计算量，选定模型后，剩下的任务就是用适当的算法估计模型参数（ 、 、 、 ），以便用模型对随机信号进行预测。 kakbpq下面我们就以下面我们就以AR模型为例进行参数的估计。模型为例进行参数的估计。 对该式两边同时乘以对该式两边同时乘以 ，然后求均值：，然后求均值： 1) AR模型参数和自相关函数的关系根据图3.1：pkkknxanwnx1)()()()(mnx )()()()

39、()()(1pkkmnxknxamnxnwEmnxnxE医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 系统的单位脉冲响应 是因果的，所以输出的平稳随机信号和输入的白噪声之间的互相关函数有下列推导： )()()()()()()()(mRmnxnxEkxmkxEmnxnxEmRxxxxpkxxkxwxxkmRamRmR1)()()()(nh)()()(mnwnxEmRxw0)()()()()(kknwkhnhnwnx )()()()()()(1pkkmnxknxamnxnwEmnxnxE 所以 )()()()()()()(00mnwknw

40、EkhmnwknwkhEmRkkxw)()()()()(2200mhkmkhkmRkhwwkkww00)(0)(2mmmhmRwxw0)(0)0()(0)()(121mmRmhkmRamkmRamRxxpkwxxkpkxxkxxpkxxkxwxxkmRamRmR1)()()( 显然，AR模型输出信号的自相关函数具有递推的性质，即： pkkkzazH111)()()()(1nknhanhpkk1)0(h0)()(1mkmRamRpkxxkxx0)()(01mkmRamRpkxxkxx 由于由于 转换到时域得到：转换到时域得到：因而因而上式就是著名的上式就是著名的YuleWalker（Y-W）方程

41、，将上）方程，将上式变换：式变换：把上式的下标简化并写成矩阵的形式，可以写成单一的正规矩阵方程： 0)()0(12mkRaRpkxxkxxw001) 0() 1()() 1() 0() 1 ()() 1() 0(21wpaaRpRpRpRRRpRRR0)()(01mkmRamRpkxxkxx 【例3-9】已知自回归信号模型AR（3）为： 式中 是具有方差 =1的平稳白噪声，求 a. 自相关序列 ，m0，1，2，3，4，5。 b. 用a求出的自相关序列来估计AR（3）的参数 ，以及输入白噪声的方差 大小。 c. 利用给出的AR模型，用计算机仿真给出32点观测值 ,用观测值的自相关序列直接来估计A

42、R(3)的参数 以及输入白噪声的 。)()3(241)2(249)1(2414)(nwnxnxnxnx)(nw2w)(mRxx ka 2w)(nx ka 2w医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 32点观测值 0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242

43、 0.1763 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177 解：a. 已知的是模型参数 ， 14/24 9/24， 1/24，来求自相关序列 。 )(nx ka1a2a3a)(mRxx医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法把把 代入，利用自相关函数的偶对称，代入，利用自相关函数的偶对称，得到一个得到一个44的的矩阵：的的矩阵： 利用式（7-37），001)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1()0(21wpaaRpRpRpRRRpRRR ka00

44、0124/124/924/141)0() 1 ()2() 3() 1 ()0() 1 ()2()2() 1 ()0() 1 () 3()2() 1 ()0(RRRRRRRRRRRRRRRR医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法解线性方程组得：R（0）= 4.9377 R（1）4.3287 R（2）4.1964 R（3）3.8654利用式0)()(1mkmRamRpkxxkxx6481. 3)4()4(31kxxkxxkRaR4027. 3)5()5(31kxxkxxkRaR可以求出可以求出R（4），），R（5） 当然还可以求出无

45、穷多的自相关序列值。当然还可以求出无穷多的自相关序列值。医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法b. 已知自相关序列值，来估计已知自相关序列值，来估计3阶阶AR模型的参数模型的参数 以及以及 ,利用式（利用式（7-37）得到矩阵：）得到矩阵： 14/24， 9/24， 1/24， 1 可以发现对AR模型参数是无失真的估计，因为已知AR模型，我们可以得到完全的输出观测值，因而求得的自相关函数没有失真，当然也就可以不失真的估计。ka 2w0001)0() 1 ()2() 3() 1 ()0() 1 ()2()2() 1 ()0() 1

46、 () 3()2() 1 ()0(2321waaaRRRRRRRRRRRRRRRR1 a2 a3 a2w解线性方程组得到：解线性方程组得到：c. 利用给出的32点观测值，先求自相关序列（按照上节的样本自相关定义 计算） 由于偶对称只给出m0，1，231的 1.9271 1.6618 1.5381 1.3545 1.1349 0.9060 0.8673 0.7520 0.7637 0.8058 0.8497 0.8761 0.9608 0.8859 0.7868 0.7445 0.6830 0.5808 0.5622 0.5134 0.4301 0.3998 0.3050 0.2550 0.19

47、97 0.1282 0.0637 0.0329 -0.0015 -0.0089 -0.0143 -0.0083nimiixxxxnmR11)()(mRxx医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 把头4个相关序列值代入矩阵（7-38）求得估计值： 0.6984 , 0.2748 0.0915， 0.4678 1 a2 a3 a2w与真实与真实AR模型参数误差为：模型参数误差为： e10.1151， e2 0.1002， e3 0.0498，原因在于我们只有，原因在于我们只有一部分的观测数据，使得自相关序列值与理想一部分的观测数据，

48、使得自相关序列值与理想的完全不同的完全不同 医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法式中式中 ，k1，2，m，代表，代表m阶预测阶预测器的预测系数。器的预测系数。 2)YW方程的解法L-D算法把把AR模型和预测系统联系起来模型和预测系统联系起来若序列的模型已知而用过去观测的数据若序列的模型已知而用过去观测的数据来推求现在和将来的数据称为来推求现在和将来的数据称为前向预测器，表示为：，表示为：mkmknxkanx1)()()( )(kam 假如假如mp，且预测系数和，且预测系数和AR模型参数相同，比模型参数相同，比较式较式(3-2)

49、和下式，把预测误差系统框图和和下式，把预测误差系统框图和AR模型模型框图给出，如图框图给出，如图3.2所示所示 (3-1) 把 e(n) 看成是系统的输出，x(n) 看成是系统的输入，得到系统函数：mkmknxkanxnxnxne1)()()()( )()(mkkmzkazXzE1)(1)()(显然预测出来的结果与真实的结果存在预测误差显然预测出来的结果与真实的结果存在预测误差或前向预测误差，设误差为或前向预测误差，设误差为 e(n) ：（3-2）pkkknxanwnx1)()()(pkkkzazH111)(如图3.2所示，即有 ，即前向预测误差系统中的输入为 ，输出为预测误差 等于白噪声。

50、也就是说前向预测误差系统对观测信号起了白化的作用。由于AR模型和前向预测误差系统有着密切的关系，两者的系统函数互为倒数，所以求AR模型参数就可以通过求预测误差系统的预测系数来实现。 )(nw)(nx)(zH)(zW)(zX)(nh)(ne)(nx)(1zH)(zE)(zX)()(nenw)(nx)(ne图图3.2预测误差系统和预测误差系统和AR模型模型 要使得均方误差最小，将上式右边对预测系数求偏导并且等于零，得到m个等式：) )()()()(212mkmknxkanxEneEmkmlxxmmmkxxmxxklRkalakRkaR111)()()( )()( 2)0(mlklRkalRmkxx

51、mxx, 2 , 1)()()(1mkmknxkanxnxnxne1)()()()( )()(对上式求预测误差均方值：对上式求预测误差均方值：(3-3)或或 (3-5)也就是p阶预测器的预测系数等于p阶AR模型的参数，由于 ，所以最小均方预测误差等于白噪声方差，即mkxxmxxmkRkaRneE12)()()0()(pkxxkxxpkRaRneE12)()0()(pmkaamk)()(ne)(nw22)(wpneE求得最小均方误差：求得最小均方误差： (3-4) 估计AR模型参数，也即要估计参数 这里介绍应用广泛的L-D算法。 L-D算法的基本思想就是根据Y-W方程式或式(3-3)、(3-4)

52、、(3-5)，自相关序列具有递推的性质，2,wkpamlklRkalRmkxxmxx, 2 , 1)()()(1mkxxmxxmkRkaRneE12)()()0()(pkxxkxxpkRaRneE12)()0()(22)(wpneE医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 L-D递推算法是模型阶数逐渐加大的一种算法， 先计算阶次m1时的预测系数 )(kam) 1 (1a21w)(kam) 1 (2a)2(2a22w) 1 (pa)(pap2wp然后计算然后计算m2时的时的一直计算到一直计算到mp阶时的阶时的这种递推算法的特点是，每

53、一阶次参数的计算是从这种递推算法的特点是，每一阶次参数的计算是从低一阶次的模型参数推算出来的，既可减少工作低一阶次的模型参数推算出来的，既可减少工作量又便于寻找最佳的阶数值，满足精度时就停止量又便于寻找最佳的阶数值，满足精度时就停止递推。递推。 例如按照式(3-3)、(3-5)，取m1，代入，简化下标，则有： (3-7)2() 1 () 1 () 1 ()0()0() 1 () 1 (111RaRERaR)1 (1)0 (21121aREw)0()2() 1 () 1 ()2() 1 ()2()0() 1 () 1 (2222RaRaRRaRaR) 1 ()0() 1 ()1 ()2() 1

54、()2()0() 1 () 1 ()2()2() 1 ()2() 1 ()0() 1 ()2() 1 () 1 (1212212122RRaaaRRRaRaaaaRRaRa m=2：把（把（37）的（）的（1）代入上式得到：）代入上式得到： (3-8)医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法把(3-8)的（1）代人： (3-9) 2() 1 () 1 () 2() 1 () 1 () 0 () 1 () 1 () 2() 2(11112ERaRRaRRaRa)2()2() 1 () 1 ()0(222RaRaRE)0()2() 1

55、 () 1 ()2() 1 () 1 ()0(2222RaRaaRaR)0()2() 1 ()2(1)1 ()0(2222RaRaaR)0()2() 1 ()2(1)2(1)1 ()0(22221RaRaaaR122122)2(1 )1 () 1 ()0()2(1 EaRaRa根据根据(3-5)，估计的方差为：，估计的方差为：医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 其中 称为反射系数，从上式知道整个迭代过程需要已知自相关函数，给定初始值 以及AR模型的阶数 ，就可以按照图3.7所示流程图进行估计。 mkkmmwmmmmmmmmk

56、mmkaREmaEkmamakakaEkmRkamRma12122111111)(1 ) 0 ()(1)()()()()()()()()(mam) 0 (0RE 1)0(0ap这样递推下去可以得到预测系数和均方误差估计的这样递推下去可以得到预测系数和均方误差估计的通式：通式： (3-10)开始10),(Nnnx输入)( mRxx计算10000aREmxx），（）：初始化（1m，计算按mmEma)()503(1.1)(mkkampmpkkap.1),(输出结束是否1mm图3.7【例3-10】已知自回归信号模型AR（3）为： 式中 是具有方差 =1的平稳白噪声，利用给出的AR模型，用计算机仿真给出

57、32点观测值 0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177，用L-D算法来估计AR(3)的参数 以及输入白噪声的方差 )()3(241)2(249) 1(2414)(nwnxnxnxnx)(nw2w)(nx ka 2w医学信号处理医学信号处理 第三章第三章 生物医学信号的时域及频域分析方法生物医学信号的时域及频域分析方法 解：步骤1 利用给出的32点观测值，先求自相关序列,由于偶对称，只给出m0，1，231的Rx(m) 1.9271 1.6618 1.5381 1.3545 1.1349 0.9060 0.8673 0.7520 0.7637 0.8058 0.8497 0.8761 0.9608 0.8859 0.7868 0.7445 0.6830