多元函数的基本概念52774PPT学习教案

1、会计学1多元函数的基本概念多元函数的基本概念52774. 个坐标或分量个坐标或分量称为第称为第 kxk. , )0 , 0 , 0(0维零向量或零元维零向量或零元中的坐标原点中的坐标原点称为称为nRn 2、多元函数的定义 定义： ).(),(,),(,212121PfyxxxfynxxxyyDxxxPRDnnnn 或或记为记为元函数元函数的的是变量是变量则称则称有确定的值和它对应有确定的值和它对应按照一定的法则总按照一定的法则总变量变量如果对于每个点如果对于每个点的一个非空子集的一个非空子集是是设设类似一元函数，多元函数中同样也有定义域、值域、 自变量、因变量等概念。第1页/共21页3、多元函

2、数的图形（二元为例） .,),(),(),),(),(,),(,),(,),(图形图形个点集称为二元函数的个点集称为二元函数的这这到一个空间点集到一个空间点集得得上一切点时上一切点时取遍取遍当当确定一点确定一点为竖坐标在空间就为竖坐标在空间就以以为纵坐标为纵坐标以以为横坐标为横坐标以以这样这样对应的函数值为对应的函数值为对于任意给定的对于任意给定的的定义域为的定义域为设函数设函数DyxyxfzzyxDyxzyxMzyxyxfzDyxPDyxfz 二元函数的图形通常是一张曲面（如下图）。 第2页/共21页:sin xyz xyzo:2222azyx 第3页/共21页例1、根据已知条件写出下列函数

3、表达式： ).,(,),()2();,(,),()1(2222yxfyxxyyxfyxyxfyxyxyxf求求求求 例2、求下列函数定义域并绘出定义域的图形。 ).1ln(),()2(;)3arcsin(),()1(222yxyxfyxyxyxf 第4页/共21页二、Rn中的线性运算、距离及重要子集类 1、线性运算 ),(),(2121nnyyyyxxxx 设设),(:)(2211nnyxyxyxyxyx 为为线性组合线性组合的线性运算的线性运算与与nnnaxyaxyaxy ,222111若若axyaaaan ),(21则有则有记记第5页/共21页2、距离 2222211)()()(),(:n

4、nyxyxyxyxyxyx 的距离记为的距离记为与与:, 0,即有即有则则若若 yxyxnnyxyxyx,221122221, 0 , nxxxxy 有有时时当当特别地特别地.的模或范数的模或范数为为称称xx第6页/共21页3、邻域（以下均以二元为例） ).,(,),(),(,),(00000000 PUPyxPyxPxoyyxP记为记为邻域邻域的的为为的全体称的全体称的点的点距离小于距离小于与点与点是某一正数是某一正数面上的一个点面上的一个点是是设设定义： 202000)()(),( ),(yyxxyxPPPPU0P ).,(,),(0000 PUPPPU记为记为去心邻域去心邻域的的称为称为

5、中除去点中除去点.,常不写出常不写出以上以上不强调半径时不强调半径时 第7页/共21页4、内点、边界点和聚点 .,)(.,EEEPEPUPPE的内点属于的内点属于的内点的内点为为则称则称的某一邻域的某一邻域如果存在点如果存在点个点个点是平面上的一是平面上的一是平面上的一个点集是平面上的一个点集设设 定义： EP 第8页/共21页定义： .,.,),(EEEEPEEEEP 记为记为的边界的边界点的全体称为点的全体称为的边界的边界的边界点的边界点为为则称则称的点的点于于也有不属也有不属的点的点任一邻域内既有属于任一邻域内既有属于的的也可不属于也可不属于可以属于可以属于如果点如果点EP 第9页/共2

6、1页定义： .,的聚点的聚点为为则称则称点集点集内总有无限多个点属于内总有无限多个点属于的任何一个邻域的任何一个邻域如果点如果点的一个点的一个点是平面上是平面上是平面上的一个点集是平面上的一个点集设设EPEPPE（1）内点一定是聚点。 （2）边界点可能是聚点。 （3）聚点可属于，也可不属于集合。 第10页/共21页5、开集与闭集 .,.,为闭集为闭集则称则称的余集是开集的余集是开集如果点集如果点集为开集为开集则称则称的点都是内点的点都是内点如果点集如果点集EEEE定义： 判别下列点集内型： 41),()3(41),()2(41),()1(222222 yxyxyxyxyxyx（开集） （闭集）

7、 （都不属于） 第11页/共21页6、区域与闭区域 ).(,.如下图如下图是连通的是连通的则称开集则称开集于于且该折线上的点都属且该折线上的点都属用折线连结起来用折线连结起来都可都可内任何两点内任何两点如果对于如果对于是开集是开集设设DDDD定义： .开区域开区域连通的开集称为区域或连通的开集称为区域或.41| ),(:22 yxyx例如例如xyo第12页/共21页.起称为闭区域起称为闭区域开区域连同它的边界一开区域连同它的边界一.41| ),(:22 yxyx例如例如xyo7、有界集与无界集 定义： ., 0,无界集无界集不是有界集的集合称为不是有界集的集合称为为有界集为有界集则称则称使使E

8、KPKEP 41| ),)(1(22 yxyx0| ),)(2( yxyx判别集合内型： （有界闭区域） （无界开区域） 第13页/共21页三、多元函数的极限 )0( ),( ),(lim ,),(,),(,)()(0,),(,),(0002020000000 PPAyxfAyxfyyxxyxfzAAyxfyyxxPPyxPDyxfzyyxx或或记为记为时的极限时的极限当当为函数为函数则称则称成立成立都有都有的一切点的一切点于适合不等式于适合不等式使得对使得对总存在正数总存在正数数数如果对于任意给定的正如果对于任意给定的正是其聚点是其聚点的定义域为的定义域为设函数设函数定义： 第14页/共21

9、页.)1(:0的方式是任意的的方式是任意的上述定义中上述定义中PP .)2(重极限重极限二元函数的极限也叫二二元函数的极限也叫二.)3(与一元类似与一元类似二元函数极限运算法则二元函数极限运算法则例3、 . 01sin)(lim:222200 yxyxyx求证求证例4、 .)sin(lim:22200yxyxyx 求极限求极限第15页/共21页.lim:26300不存在不存在证明证明yxyxyx 例5、 确定多元函数极限不存在的方法： ., ),(),()1(000则极限不存在则极限不存在有关有关若极限值与若极限值与趋向于趋向于沿沿令令kyxPkxyyxP . ),(),(, ),(lim,

10、)2(0000处极限不存在处极限不存在在点在点则则但两者不等但两者不等存在存在使使找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式yxyxfyxfyyxx第16页/共21页四、多元函数的连续性 定义： .)(),()(lim,)(0000否则称间断否则称间断处连续处连续在点在点函数函数元元则称则称如果如果是其聚点是其聚点的定义域为点集的定义域为点集元函数元函数设设PPfnPfPfDPDPfnPP 例6、 .)0 , 0(0 , 00 ,),(222222处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 yxyxyxxyyxf第17页/共21页多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示 的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 ).()(lim,)(,)(,)(,)(lim,00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 即有即有连续连续处处在点在点则则的定义域的内点的定义域的内点是是且且是初等函数是初等函数如果如果时时求求一般地一般地第18页/共21页例7、.)1ln(sinlim)2( ;11lim)