大学物理振动和波A班打印改PPT学习教案

1、会计学1大学物理振动和波大学物理振动和波A班打印改班打印改)tcos(A) t (xmoxXX(t)为质点离开平衡位置的位移；物体所受合外力为零的位置定为平衡位置。1. 振幅A(米）：表示质点离开平衡位置的最大位移的绝对值。A. 振动周期T（秒）：完成一次全振动所需时间。二.描述简谐振动的三个重要物理量2. 振动的周期频率圆频率第1页/共68页B. 频率 （赫兹） ：单位时间内完成全振动的次数。1C. 圆频率 （弧度/秒）。 2A. 位相 ：它是反映质点在t时刻振动状态的物理量。（相同的振动状态对应相位差为 的整数倍。） t2B. 初位相 ： t0 时刻的位相。三、简谐振动的速度和加速度3.

2、位相和初位相第2页/共68页 ) 2 tcos(v) 2 tcos(A)tsin(Adtdxvm1. 速度 叫速度振幅其中 Av m速度的位相比位移超前22. 加速度第3页/共68页) tcos(a) tcos(A) tcos(Adtdvam22叫加速度振幅其中 Aa 2m0 2222xdtxdxa简谐振动的运动学特征加速度的位相比位移超前或落后 (或与位移反相)0 x, v, a t第4页/共68页四、简谐振动的矢量图表示法（旋转矢量法）# 逆时针旋转为正角。# 顺时针旋转为负角。旋转矢量的端点在X轴上的投影点的坐标为)tcos(A) t (x0AA t&1、2象限 v0 。 xOX

3、O第5页/共68页X1A2AOX1A2AOX2AO1A反相同相O t(s)X(m)0.04-0.0412例1：一简谐振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振动方程为什么样？振动2比振动1超前第6页/共68页例2：一物体沿Xm，周期为2s 。当 t=0 m，且向X轴正方向运动。求：（1）初相，(2)在 x=0.06m 处，且向X轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。解题思路：作旋转矢量图第7页/共68页1X(m)t(s)22 2o例3： 求振动方程解题思路：作旋转矢量图第8页/共68页例4.一质点在x轴上作简谐振动，振辐A=4 cm，周期T= 2 s，其平衡位置

4、取作坐标原点若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm处的时刻为 (A) 1 s (B) (2/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s 第9页/共68页第三节 无阻尼自由振动、谐振子一、弹簧振子：f= - kxx xm mk kama=故弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动。 mk f=-kx为谐振动的动力学特征kmoxXfkm 2T 仍做简谐振动;圆频率仍为 mk x x2第10页/共68页2lg结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：glT22当 时 sin sinmglM 1.单摆二、微振动的

5、简谐近似2mlmgl摆球对C点的力矩 mglM lg /gmTCO第11页/共68页复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体2Imgh结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。 sin当 时gmhCOImghImgh第12页/共68页cos0Ax sin0AV22020VxA00 xVtg三. 已知简谐振动的初始条件(x0 、v0)，求A和 （最好求出A后，再作旋转矢量图，由x0 、v0画出旋转矢量的位置而求出初位相）第四节、简谐振动的能量) t(sinkA21mv21E222k动能:第13页/共68页) t(coskA21kx21E222p2pkkA21EEE势能:简谐振动能量:EpkpEE ot

6、EEkE=(1/2)kA2xto第14页/共68页22020212121kAmvkx 讨论 1：由初始条件确定常数A2、 若弹簧振子竖直悬挂或在光滑斜面上振动，其振动频率仍保持不变；只要选择合适的重力势能零点，其各能量表达式也保持不变，此时势能应理解为重力势能与弹性势能的和。202020VxA第五节 同方向的简谐振动的合成一、 同方向、同频率的简谐振动的合成第15页/共68页)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtx结论:同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是同频率的简谐振动。)cos(tA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinA

7、 旋转矢量法方法)cos(212212221AAAAA22112211cosAcosAsinAsinAtg之间、必在 21第16页/共68页|21AAA21AAA重要结论：, 2, 1, 02 1kk）（, 2, 1, 0) 12(2kk）（振动减弱2A1AX振动加强X1A2AAAcos2212221AAAAA 若两旋转矢量重合,则: = 1= 2 若两旋转矢量反向,则 与振幅大的分振动的初相相同第17页/共68页 二、 同方向、不同频率的简谐振动的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用三角函数关系式：2cos2cos2coscos合成振动表达式：2)(cos2)(cos

8、21212ttAxxtx2tx1t 两个同方向简谐振动在合成时，由于频率的微小差别而造成的合振动时而加强，时而减弱的现象叫拍。第18页/共68页AX2A1A 单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频1 拍拍频2 2拍现象应用:给钢琴调音;结合多普勒效应测车速第19页/共68页例1：两个谐振动分别为 ， 、当 时，合振幅最大；当 时，合振幅最小，且写出它们的合振动方程。cm )43t10cos(5x1cm )t10cos(6x22 2 2思考题1: 一质点作简谐振动,其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，求其初位相。oV(m/s)t(s)vmmv21第20页/共68页x(c

9、m)思考题2: 图中（1）和（2）表示两个同方向，同频率的简谐振动的振动曲线。则（1）和（2）合成振动的振幅为，初位相为 ，周期为；试在图中画出合成振动的振动曲线。t(s)-0.5-1210(1)(2)5第21页/共68页 波 动 学 基 础2、机械波产生的条件：弹性介质和波源。第一节 机械波的形成和传播一、机械波的产生1、机械波：振动状态在弹性面媒质中的传播过程。&波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。&后面质点的振动规律与前面质点的振动规律相同，只是位相上有一个落后。第22页/共68页二、纵波和横波：横波：振动方向与传播方向垂直,如电磁波纵波:振动

10、方向与传播方向相同，如声波三、波线、波面、波前波（射）线：表示波的传播方向的射线称之为波（射）线。波面（或相面）:某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。波前(波振面）：某时刻处在最前面的波面。第23页/共68页波面波线在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直&球面波波振面&平面波描述波动的几个物理量(波长、波的传播速度、波的周期和频率)波线波面波振面第24页/共68页uXy12345601、波长 ：同一波线上振动状态完全相同的两个相邻点之间的距离（对应的位相差为 ）22、波的周期T：波前进一个波长的距离所需要的时间（等于振动的周期，由波源决定）u3、波速 ：在波动过程中，某

11、一振动状态在单位时间内传播的距离称为波速 ，也称之相速。T Tu u 第25页/共68页&机械波的传播速度完全取决于介质。（决于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度。）第二节 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程一、平面简谐波的波动方程的推导XypuOx1、右行波的波动方程（1）已知O点振动表达式：)cos(tAyo（O点不一定是波源）)(cosuxtAy第26页/共68页&将 t 理解为已知点振动了的时间，求出任一点实际振动的时间，以此代替已知点振动方程中的 t，就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。&照抄已知点的振动方程，再将任一点振动超前于或

12、落后于已知点振动的位相补上，就得任一点的振动方程，即为波动方程。（超前就“ ” ，落后就 “ ” 。）（xtAy2 cos或第27页/共68页（2）如图，已知 P 点的振动方程：)tcos(AyPyXpuOx第28页/共68页如图，已知 P 点的振动方程：)tcos(AyPyXpuOx2、左行波的波动方程：第29页/共68页平面简谐波波动方程的一般形式)(cosuxtAy2 cosxtAy或x前为“+”号，表明波向x轴负向传， x前为“-”号，表明波向x轴正向传。第30页/共68页思考题: 一平面简谐波在媒质中以速度u=20m/s自左向右传播。已知波线上某点A的振动表式 ，D点在A点右方9米处

13、。 若取x轴方向向左，并以A为坐标原点，试写出波动方程并写出D 点的振动方程。)(4cos(3SIty结论：对于给定的波动，其波动方程与坐标原点及坐标轴方向的选取有关；但对于给定点的振动方程，却与坐标原点及坐标轴方向的选取无关思考：若以D为坐标原点，再写以上方程。第31页/共68页 tuyXuO1、t 一定时的波形图 t时刻 t+ 时刻 t二、波动方程的物理意义)(cosuxtAy讨论各质点在给定时刻的振动方向波线上两质点之间的位相差x1x2)(21221xx 第32页/共68页2、x一定时的振动曲线)(cosuxtAyyOt讨论质点在某一时刻的振动方向3、质点的振动速度)ux-(t sinA

14、 tyv三.平面波波动方程的微分形式222221tyuxy第33页/共68页例1：沿X轴正方向传播的平面简谐波、在 t=0 时刻的波形如图，问：（1）原点O的初相及P点的初相各为多大？（2）已知A及 ，写出波动方程。uXy0p解题思路： 2、若上图为t=2s时刻的波形图，重新讨论上面各问题。思考:1、从矢量图上直接求O、P两点之间的位相差。第34页/共68页例2：一平面简谐波某时刻的波形图如下，则OP之间的距离为多少厘米。Xy0p2320cm解题思路：第35页/共68页解题思路:思考题 一圆频率为的简谐振动沿x轴的正方向传播,t=0时刻的波形如图所示,则画出t=0时刻, x轴上各点的振动速度v

15、和x坐标的关系图.uXy012t=0A 结论:在t时刻,V与X关系曲线与t+T/4时刻的波形图相似 (思考)第36页/共68页设有一行波： )(cosuxtAy质元的速度: )uxt (sinAv 质量为 的媒质元其动能为：dm)uxt (sindVA21vdm21dW2222k第三节 波 的 能 量一、媒质中单位体积中的能量（波的能量密度）动能密度: )uxt (sinA21w222k1. 动能密度 2. 势能密度 第37页/共68页lkllESf 杨氏弹性模量E llSfE S为棒之横截面积llff 张应力 张应变倔强系数弹性势能：2)(21dykdWpOxdxSXXyy+dyO22)(2

16、1)(21dxdydxESdydxES弹性势能密度：22)(21)(21xyEdxdyEwp 第38页/共68页 弹性势能密度是与媒质元的相对形变量的平方成正比，也就是与波形图上的斜率平方成正比。其势能密度为：)(sin222uxtAwwwpk)uxt (sinA21ww222kp2u E Eu)ux-(t sinu1A xy2221Aw 任意时刻，体元中动能与势能相等，即动能与势能同时达到最大或最小。其能量密度为：平均能量密度为：第39页/共68页XY能量极大能量极大 能量极小 能量极小Suudt二、波的能流和能流密度能流 电流 能量 电量 能流密度 电流 密度 能流 单位时间内通过某一截面

17、的能量称为波通过该截面的能流。P PSuwdt)dtu (SwdtdWP第40页/共68页#S也可以不和波速垂直，此时式中的S应改 为S垂直。#上式也适用于球面波SuwP#平均能流2、能流密度或波的强度 I 通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流uA21uwSPI22垂直波强与振幅的平方成正比第41页/共68页解题思路：例：如图，某一点波源发射功率为40瓦，求该球面波上通过的平均能流及能流密度。（介质无吸收）r波源（1）在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。 平面波和球面波的振幅u1S2S221121SuwSuw PP证明：因为 所以在单位时间内通过 和1S2S面的能量应该

18、相等21SS 22221212SuA21SuA2121AA 第42页/共68页设距波源单位距离处质点的振幅为A，则可以证明:距波源 r处质点的振幅为 (思考)rA（2）球面波振幅与它离波源的距离成反比第四节 惠更斯原理 波的叠加和干涉一、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。(1690年)二、用惠更斯原理解释波的传播行为第43页/共68页S2t uS1第44页/共68页二、波的叠加原理（独立性原理）：若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移

19、的矢量和。第45页/共68页)cos(11010tAy)cos(22020tAy传播到 P 点引起的振动为： )2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAy)tcos(Ayyy211r2r1S2Sp三、波的干涉cos2212221AAAAA )(2)(2112rr 第46页/共68页)r2cos(A)r2cos(A)r2sin(A)r2sin(Atg2221112221111、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，频率相同，位相差恒定。第47页/共68页2、极值条件加强。 AA 221Ak减弱。）（ AA 1221Ak. ,2 ,1 ,0k&当两相干波源为同相波源（即 )时2

20、1相长干涉,.2 , 1 , 0,12kkrr相消干涉,.2 , 1 , 0,2) 12(12kkrr称 为波程差&若S1S2r1r221)r2r2()(221112第48页/共68页第五节 驻 波一、 驻波的产生：振幅相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播，叠加后所形成的波叫驻波。（驻波是一种特殊的干涉现象）横驻波演示所谓波腹位置就是干涉极大值的位置；所谓波节位置就是干涉极小值的位置。波腹波节第49页/共68页)2cos()2cos(2121 xtAxtAyyy利用三角函数关系：求出驻波的表达式：2cos2cos2coscos 二、 驻 波方 程)2cos(22 xtAy)2c

21、os(11 xtAy正向:负向:)2 cos()22cos(22121 txAy第50页/共68页) cos()2cos(2txAy )cos()(txAy 振 幅 项)2cos(2xA 1. 振幅2.波腹和波节的位置第51页/共68页求出的 x 即为波腹的位置。（2）波节：求出的 x 即为波节的位置。（1）波腹： )2,1,0,(k , 2 kx )2,1,0,(k , 2) 12(2 Kx1)2cos(x 令0)2cos(x 令v方法一（若已知驻波方程）) cos()2cos(2txAy 第52页/共68页结论： 半个波长。2x 2x22相邻两个波腹之间的距离为 v方法二(求出X处质点两分

22、振动的位相差）, )2cos(11 xtAy)2cos(22 xtAy （1）波腹位置（为干涉极大值位置）1222 x求出的X即为波腹处. 22 12 x 2,1,0,k , 2 k第53页/共68页（2）波节位置(为干涉极小值位置） 2,1.0,k , 12 ）（k12x22 求出的X即为波节处.相邻两个波节之间的距离也为半个波长. yxo22应用:可用测量波腹或波节间的距离，来确定波长第54页/共68页 0 )2cos( t 时当x 0 )2cos( t 时当x 结论：相邻两个波节之间的各点是同位相的；一个波节两侧的点是反相的。驻波位相动画3. 位 相) cos()2cos(2txAy x

23、A(X)oyxoA BC思考题：右上图，某时刻若已知A点的位相为/4,则求该时刻B点和C点的位相。第55页/共68页21o tcosAy tcosAy例：如图，若o、 处分别有两个相干波源，其振动方程分别为：yox求波腹和波节的位置。解题思路： x0在范围内形成驻波。驻波右行波左行波对其中的任一点 x xx221x波腹 2 k波节。）（ 1k2 , 2 , 1, 0k原则上第56页/共68页驻波的能量在相邻的波腹和波节间不断地进行动能与势能的相互转换，而不向外传播。三. 驻 波 的 能量2p)(dxyWAB C波节波腹xx位移最大时平衡位置时动能主要集中在波腹附近。势能主要集中在波节附近。第5

24、7页/共68页&当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，在反射点，形成波节（固定端）。即反射波在分界处较入射波产生了 的相位跃变（即有半波损失）。&当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，在反射点，形成波腹（自由端）。即无半波损失）。四. 半 波 损 失界面波密媒质波疏媒质u u大大 波波阻阻u u小小波波阻阻界面波密媒质波疏媒质u u大大 波波阻阻u u小小波波阻阻第58页/共68页)L2t cos(AyL入解题思路：)L2t cos(AyL反)xL2L2t cosAy （反xL4x2t cosAoL疏密例：如图，已知原点O处质点的振动方程为t cosAyo求反射波方程 (设反射波无能量损失）。x第59页/共68页& 能形成驻