知识讲解二项式定理(理)(基础)

1、二项式定理【学习目标】1 .理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法.2 .会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【要点梳理】要点一：二项式定理1 .定义一般地，对于任意正整数，都有：(a + b)n= + + +(“e N*),这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(。+与"的二项展开式。式中的做二项展开式的通项，用Te表示，即通项为展开式的第r+1项：其中的系数C；(r=0, 1，2,，n)叫做二项式系数，2 .二项式Q+b)n的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1:(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为C：,最

2、大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的第指数n.字母a降幕排列，次数由n到。；字母b升累排列, 次数从0到n,每一项中，a, b次数和均为n；3 .两个常用的二项展开式：(。by = cy- cy-lb + +(_iy.C：a”-E + + ( 1).( e N*)(l+x)M = 1 + C；x+ Cx2 + + C：xr + + x"要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：Tr+l=C：an-rbr (r=0,l,2,-,n)公式特点：它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C；;字母b的次数和组合数的上标相同；a与b的次数之和为no要点诠释：(1

3、)二项式(a+b尸的二项展开式的第r+1项C：。"-%和(b+a)11的二项展开式的第r+1项。»"一屋是 有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的.(2)通项是针对在(a+b)D这个标准形式下而言的，如(a b)11的二项展开式的通项是 刀丑=(一1)'。：屋-(只需把一b看成b代入二项式定理)。要点三：二项式系数及其性质1.杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的详解九章算法如下表，可直观地看出二项式系数。m + 刀”展开式中的二项式系数，当依次取1,2, 3,时,如下表所示：(a + b)111(a +

4、 b)2121(a + )31331(a +尸14 6 4 1(a + b)51510 10 51(a + b)61615 20 15 61上表叫做二项式系数的表，也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角)，反映了二项式系数的性 质。表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中优一切的系数C：的意义：为了得到(a+b尸展开式中。"一必'的系数，可以考虑在(a + b)(a + b)(4 + 6)这n个括号中取r个b,则这种取法种数为C：，即为。一方的 V n系数.2.9 + b)的展开式中各项的二项式系数C：

5、、C：、C；C：具有如下性质：对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C：=C：-； 增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，II 当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项 n-l n+1式系数c了，相等，且最大.各二项式系数之和为T ,即C： + C： + C; + C + C： + C： = 2 ； 二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即 C； + C; +c：+= C；+ C： + C + =2"T。要点诠释：二项式系数与展

6、开式的系数的区别：二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数C展开式的系数是单项式的系 数，二者不一定相等。如(ab)n的二项展开式的通项是=在这里对应项的二项式系数都是C：，但项的系数是(-1)'C；,可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念.3. g + b+c)"展开式中的系数求法(PM/之0的整数且+ 9+/* = )(a + b + c)n = (a + b) + c1' = C：(o + b)n-rcr = CCran-r-qbqcr如：(4 + b + cy°展开式中含/bY的系数为=一 3!x2!x5! 要点诠释：三项或三项以上的展开式问

7、题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。要点四：二项式定理的应用1 .求展开式中的指定的项或特定项(或其系数).2 .利用赋值法进行求有关系数和。二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a, b,该等式都成立。利用赋值法(即通过对a、b取不同的特殊值)可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利 于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。设 /W = (ax+b)n =aQ + atx+a2x2 + +anxn(1)令 x=0,则。o = /(0) = b"(2)令 x=l,则% = /(I) = (a + b)n(3)令 X=-1,则0-+ 以

8、一/ += /(-1) = (-« + /?/+i+%+/加3 .利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：32田一8 9能被64整除(”wN")4 .证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩 小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。 (l + x)”>l + x；(1 + x)” > 1 + "刀 +D； (x>0)如：求证：2<(1 +!)n【典型例题】 类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数 例1.求(1+L)*

9、1的二项式的展开式.X【思路点拨】按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号.解一:解二：【解析】(1+-)4 = (i)4(x+l)4 =(-)4 x4 + C>3 + 中 4- C%+1X XX L,4 641= 1 + - + + + . X X X X【总结升华】记准、记熟二项式(a+b尸的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较发杂 的二项式，有时先化简再展开会更简捷.举一反三: 【变式】求二项式0工-奈)的展开式.【答案】(1)解法一：=G+ C(2x)3(2x)5f-y j +C(2x2?("-3T32x10=心以(")5 + C

10、；(4x，)4(-3) + C； (4/)3(-3+ C：(4x3)2(-3)3 + C；(4x3)(-3)4 + Cf(-3)5X人=(1024%15- 3840卡 + 5760%9 - 4320/ +1620/ _ 243)= 32x20h吧一容+空 x x4 8x24332/例2.（1）求（l+2x）7的展开式的第四项的系数;（2）求白）9的展开式中V的系数及二项式系数. x【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数A,然后再求展开式中含X的项.因为题中条件和求解部 分都涉及指定项问题，故选用通项公式.【解析】（1 +24的展开式的第四项是q* = C；（2x）3 = 280/,（l +

11、 2x）7的展开式的第四项的系数是280.（2）。一1）9的展开式的通项是（+1=。；炉-（一 1丫 =（l）rC；xlr , XX9-2r = 3 , r = 3,x3的系数（1）3C； = -84 , x3的二项式系数C = 84 .【总结升华】1 .利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的r是多少;2 .注意系数与二项式系数的区别；3 .在求解过程中要注意哥的运算公式的准确应用。举一反三：【变式1】求（2。+ 6）5的展开式的第3项的二项式系数和系数；【答案】10, 80；C；=10. = C；（2a）3 必2 = 80标629【变式2】求5W”的展开

12、式中*5的系数； X-【答案】 C；(x3)5-r(-4)r = (-2)rC；x15-5rx-依题意15-5r=5,解得r=2故(-2)P；=40为所求*5的系数例3. (1) (2/-I)，的展开式中的常数项； x(2)求产的展开式中的有理项.【思路点拨】常数项就是项的幕指数为0的项，有理项，就是通项中x的指数为正整数的项，可以 根据二项式定理的通项公式求。【解析】(1)C； (2Y)6-r(-)f = ( -l)r - 26-r 。二产” X依题意12 3r=0,解得r=4故(1)，- 2，C： =60为所求的常数项.1307/(2)通项筹+广)，d(夜产，(>=(_1)，.qx

13、-(为有理项之tZ,6即/是6的倍数,又因为0Kr 415,所以，二0, 6, 12故展开式中的有理项为7； =(-1)° C° -X5 = x5, 7；=5OO5, 73 = 420x-5.【总结升华】使二项展开式的某一项为常数项，就是使这一项不含“变元”，一般采用令变元的指数为零的方法 解答这类问题。求有理项是对x的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求.举一反三：【变式】求二项式x2+= 的展开式中的常数项及有理项.I 2d令20-2r£Z,即 r=0, 2, 4, 6, 8 时，20-2r£Z。 22.7=Ox"（；

14、 =x20,t =?x巴4=品.产© =詈/，.二项式+ 击)的展开式中的常数项是第9项：言；有理项是第1项：/°,第3项：与X”， 第5项：xi0,第7项：X5,第9项：.832256类型二、二项式之积及三项式展开问题例4.求(1 +X/(I-x)5的展开式中炉的系数.【思路点拨】将(1 +冷2变形为1 + 2X+J,要使两个因式的乘积中出现根据式子的结构可以分 类讨论：当前一个因式为1时，后面的应该为一；当前一个因式为x时，后面的应该为丁；当前一个因 式为月时，后面的应该为x；也可以利用通项公式，+1=C，”-化简解答。【解析】解法一：(l + x)2(l-x)5 =

15、(l + 2x + x2)(l-x)5,(1一%)5 的通项公式，+ =cf (T)* =(T)*C* (攵=0,1,2,3,4,5 ),分三类讨论：(1)当前一个因式为1时，后面的应该为炉，即4=(1)3。；/=io/；(2)当前一个因式为2x时，后面的应该为V,即7；=(-1尸。*2 = 10/；(3)当前一个因式为V时，后面的应该为X,即4=(一1)七¥=-5%；故展开式中/的系数为10+2x105 = 5。解法二：(1 +1)2的通项公式丁小=。/ (r = 0,l,2),(17)5的通项公式看乜=唠(-M = (-1)及或(7 = 0,1,234,5),.k =1 f =

16、2 k = 3令A + r = 3,则<或I 或I ，r=2 r = 1r = 0从而x3的系数为一 C； + CCj - C； = 5。【总结升华】当多个不同的二项式相加或相乘时，可以依据题意进行恰当的分类或分步计算，也可以 直接利用通项公式化简后求解。举一反三：【变式】求(x+2/(父一1)的展开式中1。的系数；【答案】丁 (jt+2) 10=y°+20x + 180/+-:.(x+zyydl)的展开式中一的系数是一1 + 180= 179例5.求(犬+3一4)4的展开式中x的系数.【思路点拨】要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展 开

17、，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开.【解析】(法一)(x2 + 3x-4)4 = (x2+3x)-44=C：(£ + 3x)4 -ci(丁 + 3疗.4 +6，+ 34不 V(丁 + 3x).甲 + C： 44,显然，上式中只有第四项中含x的项，:.展开式中含x的项的系数是C： 3 43 = -768(法二)：(x2 + 3x - 4)4 = (x - IX% + 4)4 = (x -1)4 (x + 4)4=(C>4 -Cx3 +C；x2-C>+C；)(C>4 + C>3 - 4+C；x2 - 42 + C&g

18、t;-43 + C<44)，展开式中含x的项的系数是-C： 44 + C“3 =-768.【总结升华】有些题中，常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展 开，或将三项式转化为二项式.举一反三：【变式1】3 + + C)S的展开式中含3c3项的系数是；【答案】C；C：C； = 560【变式2】在(x,+3x+2)s的展开式中，求x的系数.【答案】V (x2 + 3x + 2)5 = (x +1)5(x + 2)5，在(x+l”展开式中，常数项为1,含X的项为C；=5x,在(2+x”展开式中，常数项为2邑32,含X的项为C；24x = 80x展开式中含x的项为1

19、 (80x) + 5x(32) = 240x,工此展开式中x的系数为240.类型三、有关二项式系数的性质及计算的问题例6.己知(丁+竟。(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项。【思路点拨】利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值。2,0"7/一一一0.【解析】(1)展开式的通项：7；+1 = C；0(x2)10-r(-=)r = C02rx" _ 3 = C：02、- (r = 0,1,2,.,10) 6故展开式中二项式系数最大的项为：T6 = CxQ2r 11-r.10-r r + 1(2)设第r+1项的系数最大,Co 2 之 2一:

20、化简得 c02P gr 2小1922解得：上三，:r = 1,故所求展开式中系数最大的项为:2-五)-536。/【总结升华】求展开式中系数最大的项,一般是解一个不等式组举一反三:【变式】求(l+2x)k展开式中系数最大的项。【答案】原式不是( + %)"的标准二项式，不一定是中间项系数最大。系数之1系数心系数之心系数.JC-2A >C-2x-1C" >C+1-2a+1k< 解得1 士kN丝 3；k是非负整数，,k二8。第8项系数最大，即7；=(2x)3 = i26720f。类型四、利用赋值法进行求有关系数和。例 7,若(l-Zx)?004 = a0 + a

21、Lx + a2x2 + + a20Q4x20Q4(x R),则 0 + q) + (& + 生)+ (% + /) + + (% + a20M) =.(用数字作答)【思路点拨】求展开式的各项系数之和常用赋值法【解析】令，(x) = (l-2x)2°a,则/(0)=%=1, /(I) = r/0 + + - - +004 = 1，即(。0 + 4 ) + (& + 生)+ (4 + %)+ + (% + %004 )=2003% + (4 + q + 生 + / + , , + %aw) = 2004 .【总结升华】赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展

22、开式中的字母或代数式赋予 允许值，以达到解题目的.举一反三：【变式 1 】若(1 + X + X )(1 X)' = a。+ 生厂 + , , , + Cl-jX7 ,则 a。+ 6 + F % =，【答案】0；令x = l,得答案0.【变式 2已知C； + 2C： + 22C： + 2'C： + + 2”C： = 729 ,则C： + C；+ C： + C：等于()A. 63 B. 64 C. 31 D. 32【答案】逆用二项式定理得：C： + 2C： + 22C； +rC： + 2”C： = (1 + 2)” = 3" = 729 ,所以*6,所以C； + G； + C： + + C； = 2, C； = 64-1 = 63。故选 Ao类型四、二项式定理的综合运用例8.求证：对任何非负整数n, 3配-26n1可被676整除。【思路点拨】 注意到26二676, 3七27三(26+1),用二项展开式去证明.【解析】当n=0时，原式二0,可被676整除.当n=l时，原式二0,也可被676整除.当n22时，原式=27 - 26/?-1 = (26 + l)n- 26 1=(26" + C： 26"t + + Cl 262 + C；-126 + 1)-26 -1=26" + C； 26”t + + C