第3章3.13.1.2第1课时函数的表示法

1、3.1.2 函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1 .掌握函数的三种表示方法：解析法、图 象法、列表法.(重点)2 .会根据/、同的需要选择恰当的方法表 示函数.(难点)1 .通过函数表示的图象法培养直观想象素养.2 .通过函数解析式的求法培养运算素养.自主预习*隔新加匚新知初探函数的表示法H解析法，图一法函数的不示法'就是用数学表站式居示两个交' 量之间的对应关系_r1就是用图象无示两个变质之间 的对应工系就是列出表格累表小回个变量无间的对应美系思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定.并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如

2、此，图象法也不适用于所有0, xC Q,函数，如D(x)=列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量1, xC ?rQ.有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.L_|初试身专Q1 .已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1<x<222<x<4f(x)123A.1B. 2C. 3D.不存在C .当 2<x04 时，f(x) = 3,r(3) = 3.2 .二次函数的图象的顶点为（0, 1）,对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为（）A. y= -4x2+1B. y= ；x21C. y= 4x216D. y= 4x2+16B 把点（0, 1

3、）代入四个选项可知，只有B正确.3.已知函数y=f（x）的图象如图所示，则其定义域是 2,3由图象可知f（x）的定义域为 2,3.合作探究。提素养函数的三种表示方法【例1】 某商场新进了 10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与 收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.解列表法如下：x（台）12345y（元）3 0006 0009 00012 00015 000x（台）678910y（元）18 00021 00024 00027 00030 000图象法：如图所示3 000-*1 1 Ll i, L J. ,上 .° I台解析法：y=3 000x, x

4、 1,2,3,，10.一规律方法列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意： 解 析法必须注明函数的定义域；列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定 义域的特征；图象法中要注意是否连线.回)跟踪训练1. (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图 中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是x12345y45321A.1B. 2C. 4D. 5(1)D (2)B (1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少， 最后到0,故选D.(2)由题意可知，

5、f(1) = 4, f(4) = 2, . .f(f(1) = f(4) = 2,故选 B.图象的画法及应用卜类型2 /I【例2】作出下列函数的图象并求出其值域.(1)y= -x, xC 0,1, -2,3; (2)y = 2, xC 2, +-)； (3)y=x2+2x, xC -2,2). x解(1)列表x01-23y012-3函数图象只是四个点(0,0), (1, 1), (2,2), (3, 3),其值域为0, 1,2, -3.ruize(2)列表x2345y1231 225当xC2, +00)时，图象是反比例函数y= 2的一部分，观察图象可知其值域 x为（0,1.p -2(3)列表x

6、-2-1012y0-1038画图象，图象是抛物线y= x2 + 2x在一2&x<2之间的部分.由图可得函数的值域为 1,8).规律方法/描点法作函数图象的三个关注点1画函数图象时首先关注函数的定义域即在定义域内作图2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这 些关键点是实心点还是空心圈.提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.跟踪训缥2.画出下列函数的图象：(1)y= x+ 1(x< 0);(2)y= x2 2x(x>1,或 x< 1).解(1)y=x

7、+1(x00)表示一条射线,图象如图.(2)y= x2 2x= (x-1)2-1(x>1,或 x<1)是抛物线 y=x22x 去掉一1 0x& 1 之间的部分后剩余曲线.如图.函数解析式的求法类型3/|探究问题已知f(x)的解析式,我们可以用代入法求f(g(x),反之,若已知f(g(x),如何 求 f(x).提示：若已知f(g(x)的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x).【例3】 已知f(4x+ 1) = x 2爪，则f(x) =;(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x) = 4x+ 8,则f(x) =;(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(

8、-x)=1+2x,则f(x) =.思路点拨(1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组 法求解.(1)x2-4x+ 3(x> 1) (2)2x + 8或一2x8 (3)2x1(1)法一(换元法)：令 t =g 1,则 t>1, x= (t-1)2,代入原式有 f(t) = (t1)22(t1) = t24t+ 3, f(x) = x2-4x+ 3(x> 1).法二(配凑法)：fb/x+ 1) = x+2E+ 1 444+3=(F+1)2 4力+1) + 3,因为qx+11,所以 f(x)=x2 4x+ 3(x>1).设 f(x) = ax+ b(a

9、 母探究1.(变条件)把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)=1, f(x + 1) f(x) = 2x. ” 求 f(x)的解析式.解 设 f(x)=ax2+bx+ c,由 f(0) = 1得c= 1.又 f(x+ 1)=a(x+ 1)2+b(x+ 1)+ 1,. f(x+ 1)f(x) = 2ax+ a+b.2a = 2,由 2ax+ a+b=2x,得a+ b= 0,解得 a = 1, b = 1. . f(x) = x2 x+ 1. .，12.(变条件)把本例(3)的题干改为2f； +f(x) = x(x 0)"，求f(x)的解析式.x解f(x) + 2

10、f 1 =x，令 x = 1, xx得f 1 +2f(x) = 1. xx 0),则 f(f(x) = f(ax+ b) = a(ax+ b)+b=a2x+ ab+ b.又 f(f(x) = 4x+8,所以 a2x+ab+b = 4x+ 8,a = 4,ab+ b = 8,2 8-3= =a b导a= -2,b= 8.8 ,、所以 f(x)=2x+,或 f(x)= 2x 8. 3(3)由题意，在 f(x) 2f(x) = 1 + 2x 中，以一x 代 x 可得 f( x) 2f(x)=12x,fx 2f -x =1+2x,f -x 2f x =12x,2洎去f( x)可得烟=那1.，I ，1于

11、是得关于f(x)与f -的方程组 xf x +2f ： =x,xf - + 2f x x解得 f(x)=72 x(xW 0). 3x 3规律方法 i i r * q n-求函数解析式的四种常用方法1待定系数法：若已知fx的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值 确定相关的系数即可.2换元法：设t=g x ,解出x,代入f g x ,求f t的解析式即可.3配凑法：对fgx的解析式进行配凑变形，使它能用g x表示出来，再用x 代替两边所有的“gx”即可.4方程组法 或消元法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函

12、数在换元前后的等价性.课堂小结，11 .函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数.2 .作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点.3 .求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.当堂达标£国以基J2ANIVVrL SFfl - ANC；1 .思考辨析任何一个函数都可以用解析法表示.()函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线.()答案(1)X (2)X2 .已知函数f(x+ 1) = 3x+ 2,则f(x)的解析式是()A. f(x)=3x1B. f(x) = 3x+1C. f(x)=3x+2D. f(x)=3x+ 4A 令 x+ 1 = t,则乂= t-1, . f(t)=3(t1)+2=3t1.；f(x)=3x1.3 .已知函数f(x), g(x)分别由下表给出.x456f(x)131x123g(x)454则 g(f(5) = f(g(2) =.4 3 由题表可知 f(5) = 3, g(3