多元函数的偏导数与全微分PPT学习教案

1、会计学1多元函数的偏导数与全微分多元函数的偏导数与全微分第1页/共25页00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.第2页/共25页第3页/共25页偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 第4页/共25页偏导数的几何意义偏导数的几何意义第5页/共25页解解 xz;32yx yz.23yx 21yx

2、xz,82312 21yxyz.72213 例例 1 1求求 223yxyxz 在点在点)2, 1(处的偏导数处的偏导数第6页/共25页解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 例例2 2设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz . 第7页/共25页解解: :本题与一般情况不同，由于函数本题与一般情况不同，由于函数f f ( (x x, ,y y) )在不在不同范围内表达式不同，因此在计算它的偏函数时同范围内表达式不同，因此在计算它的偏函数时，也应分开讨论，也应分开讨论. .,)()()(2)(2222222222yxxy

3、yyxxxyyxyxf,)()(22222yxyxxyf, 0,),(22yxxyyxf0, 02222yxyx例例3 3 求函数求函数 的偏导数的偏导数. .首先，当首先，当( (x x, ,y y)(0,0)(0,0)时，时，又由对称性，又由对称性，第8页/共25页其次当其次当(x,y)=(0,0)时，由于时，由于f (x,)=0,(x+, 所以由定义，所以由定义，, 0) 0 , 0() 0 ,(lim) 0 , 0(0 xfxfxfx同理，同理，.0)0,0(yf可以证明，对本例中的函数可以证明，对本例中的函数f (x,y), 不存在，因此它在原点不连续不存在，因此它在原点不连续,但在

4、原点的两个偏但在原点的两个偏函数都存在，这一点和一元函数是不同的函数都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元在一元函数中，我们证明了函数可导则一定连续。函数中，我们证明了函数可导则一定连续。),(lim)0,0(),(yxfyx第9页/共25页),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数阶偏导数.第10页/共25页解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz

5、 ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx第11页/共25页例中的两个混合偏导数正好相等，与求偏导例中的两个混合偏导数正好相等，与求偏导数的次序无关，我们可以证明以下结论数的次序无关，我们可以证明以下结论: :如果二元函数两个混合偏导数在区域如果二元函数两个混合偏导数在区域D上连上连续，则它们必然在续，则它们必然在D上相等。上相等。第12页/共25页全增量的概念全增量的概念3、全微分的定义、全微分的定义第13页/共25页全微分的定义全微分的定义如果函数如果函数z=f (x, y)在区域在区域D内每一点处都可内每

6、一点处都可微，则称函数微，则称函数f (x,y)在区域在区域D内可微内可微.定义定义2第14页/共25页 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.第15页/共25页第16页/共25页证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分,)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时|x ,),(),(yx

7、fyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 第17页/共25页一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff第18页/共25页)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(

8、xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.第19页/共25页说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，上述两个定理也完全适用于三元及三元以上的多上述两个定理也完全适用于三元及三元以上的多元函数元函数. .第20页/共25页解解 由于由于 ,22yxyxz,22yxxyz所以所以.22yxxdyydxdyyzdxxzdz第21页/共25页解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz

9、 ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分第22页/共25页4 、全微分在近似计算中的应用、全微分在近似计算中的应用 从二元函数全微分定义可知，全增量与全微分之差从二元函数全微分定义可知，全增量与全微分之差是是 的高阶无穷小，所以当的高阶无穷小，所以当 很小时有很小时有| |,|yx又又从而从而yyxfxyxfdzyxfyyxxfzyx),(),(),(),(00000000yyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(00000000第23页/共25页例例7 求求 的近似值的近似值.4.01(1.98)解解yxyxf),(47.151601. 09 .11)02. 0(