多元函数的基本概念52079PPT学习教案

1、会计学1多元函数的基本概念多元函数的基本概念52079 第八章 一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第1页/共72页（1 1）邻域）邻域第2页/共72页0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx )(0oPPU 00PP说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成. )(0PU点点 的的去心邻域去心邻域记为记为0P第3页/共72页（2 2）区域）区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域

2、一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于EP 第4页/共72页.为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如例如，即为开集即为开集EP 第5页/共72页的的边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEPEP 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为EE第6页/共72页是是连连通通的的开开

3、集集，则则称称且且该该折折线线上上的的点点都都属属于于连连结结起起来来，任任何何两两点点，都都可可用用折折线线内内是是开开集集如如果果对对于于设设DDDD 第7页/共72页连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如例如，xyo第8页/共72页则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 第9页/共72页0| ),( yxyx有界

4、闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo第10页/共72页（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点第11页/共72页 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10|

5、),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合第12页/共72页（3 3）n n维空间维空间 n n维空间的记号为维空间的记号为;nR第13页/共72页 n n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 .)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点时，便为数轴、平面、空间两点间的距离间的距离3, 2, 1 n),(21nxxxP),(21nyyyQ设两点为设两点为第14页/共72页 n n维空间中邻域、区域等概念

6、维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 内点、边界点、区域等概念也可定义内点、边界点、区域等概念也可定义邻域：邻域：第15页/共72页引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强,2hrV ,(为常数）为常数）RVTRp 0, 0),( hrhr 0, 0),(TTVTV 机动 目录 上页 下页 返回 结束 hr第16页/共72页（1 1）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数第17页/共72页D称为该函数的定义域，称为该函数的定义域，yx,称为自变量，称为自变量，z称为因变量称为因变量数

7、集数集 DyxyxfzzW ),(),(称为函数的值域称为函数的值域),(yxfz 在在),(00yx点的值记为点的值记为),(0000yxfzyyxx或或 第18页/共72页例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 是有界闭区域是有界闭区域第19页/共72页例如例如)ln(yxz 的定义域的定义域 0),( yxyxD是无界开区域是无界开区域xyoxyzln 的定义域的定义域不是区域不是区域 0),( xyyxD第20页/共72页（2 2） 二

8、元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 第21页/共72页二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面通常是一张曲面. .第22页/共72页xyzsin 图形如右图图形如右图. .例如例如, ,第23页/共72页xyzo例如例如, ,2222azyx 左图球面左图球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支: :第24页/共72页),(yxfz ),(,000yxPDD定义定义1 1 设函数设函数的定义域为的定义域为是是的内点或边界点，如果的内点或边界点，如果 P以任何方式无限以任何方式无限趋近于趋近于0P时，时，函数的对应值总是无限趋近于函数的对应

9、值总是无限趋近于某一个确定的常数某一个确定的常数,A),(yxfz 0 xx0yyAyxfyyxx ),(lim00) 0(),( Ayxf|0PP 则称则称A A为函数为函数当当记为记为 或或这里这里三、多元函数的极限三、多元函数的极限时的极限时的极限第25页/共72页第26页/共72页第27页/共72页说明：说明：（1 1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2 2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似第28页/共72页例例2 2 求证

10、求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx 第29页/共72页, 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立第30页/共72页例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 第31页/共72页其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx

11、yxu2 第32页/共72页值或有的极限不存在值或有的极限不存在，则可以断定函数极限不存在则可以断定函数极限不存在 . .函数函数趋于不趋于不同同 若当点若当点 以不同方式趋以不同方式趋于于,),(000时时yxP),(yxP),(yxP解解: : 设设 沿直线沿直线 趋于点趋于点 ,则有则有kxy )0 , 0(22),(yxyxyxf 在点在点 的极限的极限. .)0 ,0(第33页/共72页222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx 21kk 值不同极限不同值不同极限不同 ! !k),(yxf故故在在 点极限不存在点极限不存在 .)0 , 0(第34页/共72页例例4 4

12、证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第35页/共72页不存在不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 播放播放第36页/共72页确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：第37页/共72页定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其内是其内点或边界点， 如果对于任意给定的正数点或边界点， 如果对于任意给定的正数 ， 总存在正数， 总存

13、在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 |00PP的一切点的一切点DP ，都有都有 |)(|APf成立，则称成立，则称A为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为 APfPP )(lim0. . n元函数的极限元函数的极限 利用点函数的形式有利用点函数的形式有第38页/共72页定义定义3 3第39页/共72页对二元函数对二元函数),( yxf，如果如果),(),(lim0000yxfyxfyyxx 则称函数则称函数),( yxf在点在点),(000yxP处连续处连续.第40页/共72页 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf又如又如, , 函数函数

14、11),(22 yxyxf上间断上间断.122 yx在圆周在圆周在点在点 极限不存在极限不存在, )0 , 0( 故故 为其间断点为其间断点.)0 , 0(第41页/共72页注注（1 1）（2 2）二元连续函数是一个无孔无缝的曲面二元连续函数是一个无孔无缝的曲面如果函数在如果函数在 上上各点处各点处都连续都连续, , 则称此函数则称此函数在在 上上连续连续DD第42页/共72页例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos

15、(sin33 2 第43页/共72页 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx第44页/共72页例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第45页/共72页闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1 1）最

16、大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域 上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在 上至少取上至少取得它的最大值和最小值各一次得它的最大值和最小值各一次DD第46页/共72页 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得上取得两个不同的函数值，则它在两个不同的函数值，则它在D D上取得介于这两值之间的任上取得介于这两值之间的任何值至少一次何值至少一次（2 2）介值定理）介值定理第47页/共72页多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个

17、式子所表示次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫的多元函数叫多元初等函数多元初等函数例如例如221 yyxxz )sin(yxz )1ln(yxz 等都是二元初等函数等都是二元初等函数第48页/共72页).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区

18、域第49页/共72页例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 第50页/共72页多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数的定义多元函数的定义第51页/共72页思考题思考题第52页/共72页思考题解答思考题解答不能不能. .例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在. .)

19、,(lim)0 , 0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41第53页/共72页练练 习习 题题第54页/共72页)0()(22 yyyxxyf )(xf22),(yxxyyxf ),(yxf)1ln(4222yxyxz 3、若、若,则则_.,则则_.的定义域是的定义域是_.4、若、若函数函数第55页/共72页第56页/共72页第57页/共72页第58页/共72页一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyy