复变函数论第2章PPT学习教案

1、会计学1复变函数论第复变函数论第2章章22.1 解析函数的概念与柯西黎曼条件1、复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分2、解析函数及其简单性质解析函数及其简单性质3、柯西柯西黎曼方程黎曼方程4、小结与思考小结与思考 第1页/共96页3(1) 导数的定义导数的定义:, )( . )( 00的导数的导数在在这个极限值称为这个极限值称为可导可导在在那末就称那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记作记作000()( ) lim zf zzf zz 如如果果极极限限存存在在且且有有限限00 ( ) , , wf zD zDzzD 设设函函数数定定义义于于区区

2、域域为为 中中的的一一点点第2页/共96页4注注: :.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都都趋趋于于同同一一个个数数比比值值时时内内以以任任意意方方式式趋趋于于在在区区域域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可导可导在区域内在区域内就称就称我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数DzfDzf第3页/共96页5例例1 .)(2的导数的导数求求zzf 0()( ) limzf zzf zzCz 解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2( ).f zzz 在在 平平面面上上处处处处可可导导第4页/

3、共96页6(2) 可导与连续的关系可导与连续的关系: 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.第5页/共96页7证明：证明： , 0可导的定义可导的定义根据在根据在 z, 0, 0 , |0 时时使得当使得当 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 则则 )()( 00zfzzf 因为因为 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0连续连续在在即即zzf ,)( )

4、(0zzzzf 第6页/共96页8( ) f zzz 在在 平平面面上上处处处处连连续续但但却却处处处处不不可可导导例例2 解解 (1) f(z)= z的连续性显然的连续性显然 1 0,0(2) =10,0zxi yxxyfzzzzxi yzzzxyi y 1(0,0)fxyz 1(0,0)fxyz ( ) f zzz 在在 平平面面上上处处处处不不可可导导第7页/共96页9例例3 .Im)(的可导性的可导性讨论讨论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而使而使向向当点沿平行于实轴的方当点沿平

5、行于实轴的方 zy第8页/共96页10zzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(时时而使而使向向当点沿平行于虚轴的方当点沿平行于虚轴的方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极极限限值值不不同同时时当当点点沿沿不不同同的的方方向向使使 z.Im)(在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导故故zzf 第9页/共96页11例例4是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴的直线趋向于轴的

6、直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 y第10页/共96页12xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 第11页/共96页13(3) 求导法则求导法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()(

7、)()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中第12页/共96页14(4) 微分的概念微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数0000( ),()()()()wf zzwf zzf zfzzzz 设设函函数数在在可可导

8、导则则0lim()0,(), zzzzz 是是0 0时时的的高高阶阶无无穷穷小小0() ( ) .fzzwf zw 是是函函数数的的改改变变量量的的线线性性部部分分. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz第13页/共96页15特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDz

9、f第14页/共96页16(1) 解析函数的定义解析函数的定义 000Analysi( ) , ( ) .sf zzzf zz如如果果函函数数在在及及的的处处处处可可导导 那那么么称称在在解解析析邻邻域域内内( ), ( ). ( ) ().f zDf zDf zD如如果果函函数数在在则则称称在在区区域域内内解解析析 或或称称是是区区域域内内的的一一个个解解析析函函数数 全全纯纯区区域域内内每每一一点点可可微微( (解解函函数数或或正正则则函函数数析析) )定义定义记作：记作：f(z)A(D):, ( ).()()DGf zA GGf zDf zA D 如如果果存存在在区区域域闭闭区区域域且且则

10、则称称在在闭闭区区域域上上解解析析 记记作作2、解析函数及其简单性质、解析函数及其简单性质第15页/共96页17函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.即函数在z0点解析函数在一点处解析与在一点处可导不等价函数在z0点可导函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价即函数在闭区域上解析函数在闭区域上可导第16页/共96页18(2) (2) 奇点的定义奇点的定义000( ) , ( ) ( ).zf zf zzzf z不不解解析析都都有有如如果果函函数数在在但但在在 的的任任一一邻邻域域,那,那末末称称解解析析点点的的解解析析为为的的奇奇点点点点定义定义例如例如:

11、1wz 以以z=0为奇点。为奇点。第17页/共96页19例例5 22 ( ), ( )2 ( ).f zzg zxyih zz 研研究究函函数数和和的的解解析析性性答案：答案： ; )( 2在复平面内是解析的在复平面内是解析的zzf ; 2)(处处不解析处处不解析yixzg , )( 2的解析性的解析性下面讨论下面讨论zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz 第18页/共96页20, 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趋于趋于沿直线沿直线令令 zzyixyix x

12、yixyi 11ikik 1100zzzzz 第19页/共96页21 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义不可导不可导而在其他点都而在其他点都处可导处可导仅在仅在因此因此 zzzh第20页/共96页22例例6.1 的解析性的解析性研究函数研究函数zw 解解 , 0 1 处处可导处处可导在复平面内除在复平面内除因为因为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外处处解析外处处解析在复平面内除在复平面内除所以所

13、以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z第21页/共96页23例例7.)Re()( 的可导性与解析性的可导性与解析性研究函数研究函数zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 处可导处可导在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()(第22页/共96页24)Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因为因为,)()(lim 00 xzzzfzzfxy 第23页/共96页2

14、5 . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义可导可导而在其他点都不而在其他点都不处可导处可导仅在仅在因此因此 zzf , )( , 0 不可导不可导时时即当即当zfz 课堂练习课堂练习.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 答案答案处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .第24页/共96页26定理定理 . )( )( )( )1(内内解解析析在在除除去去分分母母为为零零的的点点和和、差差、积积、商商的的与与内内解解析析的的两两个个函函数数在在区区域域DzgzfD. )( , )(

15、 , . )( , )( )2(内内解解析析在在那那末末复复合合函函数数于于都都属属的的对对应应值值函函数数内内的的每每一一个个点点对对如如果果内内解解析析平平面面上上的的区区域域在在函函数数内内解解析析平平面面上上的的区区域域在在设设函函数数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法则可利用求导法则.()(h zddddwf hdzdzh 第25页/共96页27根据定理可知根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它的奇点它的奇点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的区域内

16、是解析零的点的区域内是解析在不含分母为在不含分母为任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzP通过上述用定义讨论函数的解析性，通过上述用定义讨论函数的解析性，第26页/共96页28第27页/共96页293、柯西黎曼方程(1) 函数w=f(z) 在一点处的可微与u(x,y),v(x,y) 的关系定理定理2.1(可微的充要条件可微的充要条件) ( )( , )( , ) , ( ) : ( , ) ( , ) ( , ) , , . f zu x yiv x yDf zDzxyiu x yv xuvuvxyyyxx y 设设函函数数定定义义在在区区域域内内 则则在在 内内一一点点可可( (微微

17、) )导导的的是是与与在在点点可可微微 并并且且在在该该点点满满足足柯柯西西黎黎曼曼要要方方程程充充条条件件第28页/共96页30( ).uvvvfziixxyxuuvuiixyyy , .uvuvxyyx 第29页/共96页31(2) 函数w=f(z)的在区域的可微性（解析性）(x,y),v(x,y)之间的关系 ( )( , )( , ) , ( )(): (1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( , ) , . f zu x yiv x yDf zA Du x yv x yDuuvux yv xvxxDyyy 设设函函数数定定义义在在区区域域内内 则则的的是是与与在在 内内微

18、微; ; 与与在在 内内满满足足C-RC-R条条件件充充要要条条件件定理定理2.2(函数在区域函数在区域D内内可微可微的充要条件的充要条件)第30页/共96页32 ( )( , )( , ) , ( )(): (1) , , C()2( , ), ( , ) , . xyxyf zu x yiv x yDf zA Du uvvDuvuvu x y v x yxyyxD 设设函函数数定定义义在在区区域域内内 则则的的是是 ( ) ( ) 在在 内内满满足足C-RC-R条条件件充充要要条条件件定理2.3 函数在区域D内解析的充要条件第31页/共96页33例例9 判定下列函数在何处可导判定下列函数在

19、何处可导, 在何处解析在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw 第32页/共96页34)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四个偏导数四个偏导数均连续均连续 . ,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导

20、故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指数函数指数函数第33页/共96页35)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 )Re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在复平面内处处不解析在复平面内处处不解析第34页/共96页36例例10 . sin)2(;)1( 2在在复复平平面面上上不不解解析析证证明明zz证证,2)1(222xyiyxz ,2,22xyvyxu .2,2,2,2xyvyxvyyuxxu , , 0 满

21、足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 x ,0 2上可导上可导仅在直线仅在直线故函数故函数 xzw .在复平面内不解析在复平面内不解析第35页/共96页37,sinhcoscoshsinsin)2(yxiyxz ,coshsinyxu ,sinhcosyxv ,coshcosyxxu ,coshcosyxyv , ), 2, 1, 0(2 时时仅当仅当 kkx.yvxu .sin在复平面上不解析在复平面上不解析z第36页/共96页38? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf

22、 例例11 解解,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求第37页/共96页39. )( , , ),(),()( 2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析内解内解在区域在区域设设 例例12解解)1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入将将, 0 xu, 0)14( 2 uxu0)14( 2 u由由第38页/共96页40, 0 (2) yu得得由由 ),( 常数常数所以所以cu ).( )( 2常数常数

23、于是于是icczf 课堂练习课堂练习. , , , )( 2323的值的值试确定试确定函数函数为解析为解析设设nmllxyxiynxmy 答案答案. 1, 3 mnl第39页/共96页41 在本课中我们得到了一个重要结论在本课中我们得到了一个重要结论函数函数解析的充要条件解析的充要条件:黎曼方程黎曼方程并且满足柯西并且满足柯西内可微内可微在在与与 , ),( ),(Dyxvyxu. , xvyuyvxu 第40页/共96页42思考题思考题? ),(),()( 解析时应注意什么解析时应注意什么用柯西黎曼条件判断用柯西黎曼条件判断yxivyxuzf 第41页/共96页43; , :R-Cxvyuy

24、vxu 条件条件其次再看是否满足其次再看是否满足 ; ),( ),( 内是否可微内是否可微在在和和首先判断首先判断Dyxvyxu思考题答案思考题答案 . )( 的解析性的解析性最后判定最后判定zf第42页/共96页442.2 初等解析函数1、指数函数指数函数*3、双曲函数双曲函数4、小结与思考小结与思考2、三角函数三角函数第43页/共96页45(cossin )zx iyxeeeyiy exp(cossin )xzeyiy也也可可表表示示为为 (1) (1) 指数函数的定义指数函数的定义: :z将将此此函函数数称称为为复复变变数数 的的指指数数函函数数. .定义2.4 对于任何复数z=x+iy

25、,规定 , (cossin )zxeeyiy 注注:没:没有有幂幂的的意意义义 是是一一个个符符号号,代,代表表第44页/共96页46z(2)|0, arg() e0 Arg()2,Zzxzzeeeyeykk z(3) e) =;zzee 在在复复平平面面内内处处处处解解析析, ,且且( (1) Im( )0, ( )xzzxRf ze 当当即即时时(4). 加法定理1212()zzzzeee (5) ez是以2 i为基本周期的周期函数6lim,zzee ( ( ) )极极限限不不存存在在 即即无无意意义义第45页/共96页47(1) 证明加法定理1212()zzzzeee 证证 , , 22

26、2111iyxziyxz 设设12zzee左左端端121122(cossin) (cossin)xxeyiyeyiy)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx 12(). zze 右右端端第46页/共96页48因为：当因为：当z沿实轴趋于沿实轴趋于+时时ez; 当当z沿实轴趋于沿实轴趋于-时时, ez0.6limzze( )( )极极限限不不存存在在的的说说明明22 .zk izk izeeee 首首先先5ze( )( )的的周周期期性性的的说说明明 ,: zz wzwezee 其其次次

27、是是 的的一一个个周周期期, ,则则对对0,0: 11w a ibwa ibzeee 特特别别取取1,rg122awebaikki 第47页/共96页49例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz

28、 第48页/共96页50例例2 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:).20()5(;)4(;)3(;)2(;)1(4343322 iiiiiieeeeee )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeeexiyxz )(2Arg为整数为整数kkyez .,(- arg 内的一个辐角内的一个辐角为区间为区间其辐角主值其辐角主值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie第49页/共96页51 ,24Arg43 kei;24arg43 ie ,24Arg43 kei;24arg43 ie iiee )5(;)3(4

29、3ie ;)4(43ie )sin(cossincos ii )sin(sin)cos(cos i2sin2cos22sin2sin2 i 2cos2sin2sin2 i第50页/共96页52 2sin2cos2sin2 i ,20 因为因为, 02sin . 的三角表示式的三角表示式上式就是复数上式就是复数 iiee )( Arg iiee 所以所以,22k ,时时当当 )(arg iiee ,2 ,时时当当 )(arg iiee .22 第51页/共96页53(1) (1) 三角正弦与余弦函三角正弦与余弦函数数,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与

30、相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况变数取复值的情况.第52页/共96页54 cos,2izizeez 余余弦弦函函数数为为: : s2in.izizeeiz 正正弦弦函函数数为为定义2.5 对任意的复数z,规定z的 性质: (1) sinsin ,coscos.zxRzxzx 当当时时: : 是是实实三三角角函函数数(2) 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz 第53页

31、/共96页55(3) sin , cos.zz是是奇奇函函数数是是偶偶函函数数.cos)cos(,sin)sin(zzzz 遵循通常的三角恒等式，如遵循通常的三角恒等式，如 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz 12121212()()122n=.2sii zzi zzizizizizeee eeezizi112211222222.izizizizizizizizeeeeeeeeii1212sincoscossinzzzz第54页/共96页56 , 时时为纯虚数为纯虚数当当yiz

32、,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix第55页/共96页57例例3 3 . 5sin)( 的周期的周期求求zzf 解解,sin)2sin( zz 因为因为,5sin)25sin( zz 所以所以 525sin)25sin( zz又因为又因为,5sin525sin zz 所以所以 .52 5sin)( 的周期是的周期是故故zzf.c

33、os)2cos(,sin)2sin(zzzz (4)sincos2.zz 和和都都是是以以为为周周期期的的函函数数第56页/共96页58 , sin, cos. 2yyeeyyiyii 当当时时注：这是与实变函数完全不同的注：这是与实变函数完全不同的sinz的零点的零点(i.e. sinz=0的根的根)为为z=n cosz的零点的零点(i.e. cosz=0的根的根)为为z=(n+1/2) n=0,1, 2, n,2sin00izizizizeezeie 21 i zeznnZ (5)(6)sinz,cosz在复数域内均是无界函数在复数域内均是无界函数第57页/共96页59(2) (2) 其他

34、复变数三角函数的定义其他复变数三角函数的定义,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数第58页/共96页60例例4 . tan 的实部与虚部的实部与虚部确定确定z解解zzzcossintan , iyxz 设设)cos()sin(yixyix yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin .sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2

35、222yxyiyxx )Re(tan z )Im(tan z 第59页/共96页61例例5 5 . )3tan( )1(cos 的值的值和和求求ii 解解2)1cos()1()1(iiiieei 211iiee )1sin1(cos)1sin1(cos211ieie 1sin)(211cos)(2111ieeee . 1sinh1sin1cosh1cosi )3cos()3sin()3tan(iii iiiisin3sincos3cossin3coscos3sin 第60页/共96页621sinh3sin1cosh3cos1sinh3cos1cosh3sinii 22)1sinh3(sin)1

36、cosh3(cos)1cosh3sin1cosh3)(cos1sinh3cos1cosh3(sin ii1sinh3sin1cosh3sin1cosh3sin1cosh3cos1sinh1cosh3cos3sin22222222 i.)3(sin2)1(cosh22sin6sin22 i第61页/共96页63(1) 双曲函数的定义 cosh,2zzeez 双双曲曲余余弦弦sinh,2zzeez 双双曲曲正正弦弦sh tanh.chzzzzzeezzee 双双曲曲正正切切3、 双曲函数ch coth.shzzzzzeezzee 双双曲曲余余切切1sechchzz 双双曲曲余余割割 1 coth.

37、chzz 双双曲曲正正割割(2) 双曲函数的性质. , 的的定定义义完完全全一一致致函函数数它它与与高高等等数数学学中中的的双双曲曲时时为为实实数数当当xz第62页/共96页64.cosh , sinh ,是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zz它们的导数分别为它们的导数分别为,cosh)(sinhzz 并有如下公式并有如下公式:coshcos ,ziz .sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh)cosh(yxiyxyixyxiyxyix它们都是以它们都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,i 2.sin)(coshzz sinhsin .ziiz

38、 第63页/共96页65例例1313解解. 1tanh z解方程解方程zzzzeeeez tanh,1122 zzee,1122 zzee , ,2ivuez 并令并令两边平方两边平方, 0 )1()1(2222 uvuvu或或)Re( 2zeu 因为因为,)Im(2cos)Re(2zez 0)Im(2cos0 zu,24)Im( kz. 24)Im( 1tanh zkzz的所有复数的所有复数的解是的解是故故 ., 2, 1, 0 k其中其中第64页/共96页66 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基

39、它既保持了后者的某些基本性质本性质, 又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性. 如如:1. 指数函数具有周期性指数函数具有周期性) 2 (i周期为周期为2. 三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性3. 双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数第65页/共96页67思考题思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同哪些异同?第66页/共96页682.3 初等多值函数1、根式函数、根式函数2、对数函数、对数函数3、一般幂函数与一般指数函数、一般幂函数与一般指数函数4、具有多个有限支点的情形、具有多个有限支点的情形5

40、、反三角函数和反双曲函数、反三角函数和反双曲函数6、小结与思考、小结与思考第67页/共96页69第68页/共96页70nwz i.e. 根式函数 为幂函数z=wn 的反函数.nwz (1) 根式函数的多值性.000nzw 20|kinnnkkzwzz e 0,1,1kn arg zz 的的主主辐辐角角第69页/共96页71 (2) 分出根式函数的单值解析分支. 20kinnnnkkkizwzrere 1) 多值的原因2arg2= 0,1,1kkzkknnn 12010nniiwrewre 22 22niwre 2 (1)11nnnniwre 2kknkiwre 第70页/共96页72 2) 解

41、决的办法. 限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz2 理论上的的做法： 从原点O起到点任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz2，从而可将其转化为单值函数来研究 常用的做法： 从原点起沿着负实轴将z平面割破：zxozyG第71页/共96页73 ( ) 2( )zkinnnkkwzr z e 结论： 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:nwz 分成如下的n个单值函数： 定义域为22: nkkTnnnn 值值域域:22kGkk wk在Gk上解析,且 1nknkkzwznz 第72页/共96页74(1) 定义定义:

42、(0) , Lnwez zwzwz 若若则则称称 为为 对对数数函函数数 记记为为: : 说明：说明：w=Lnz是指数函数是指数函数ew=z的反函数的反函数Lnz一般不能写成一般不能写成lnzLn zez 计算公式及多值性说明：计算公式及多值性说明： ,izewuiv 第73页/共96页75=ln= wu iviwzezere = ,2()uer vkkE=ln (),2()urvkkEArgz实实对对数数Lnln(2)()wzrikkELnln| |zziArgz由于由于Argz的多值性导致的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多是一个具有无穷多值的多值函数值的多值函数规定：规定：lnlnln

43、arg .zriziz 为对数函数为对数函数Lnz的主值的主值于是：于是：Lnln2()wzzk i kE 第74页/共96页76. Ln , , 的一个分支的一个分支称为称为上式确定一个单值函数上式确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zk特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是实变数对数函数是实变数对数函数的主值的主值时时当当xzzxz 第75页/共96页77例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()1

44、2(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.第76页/共96页78例例5解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k第77页/共96页79例例6解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21

45、ki), 2, 1, 0( k第78页/共96页80.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln第79页/共96页81(2) 性质性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处可导处处可导和其它各分支处处连续和其它各分支处处连续主值支主值支的复平面内的复平面内包括原点包括原点在除去负实轴在除去负实轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 第80页/共96页82(

46、3) 分出分出w=Lnz的单值解析分支的单值解析分支从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将平面割破，就可将对数函数对数函数w=Lnz分成如下分成如下n个单值解析分支：个单值解析分支： Lnln(2) 0, 1, 2, 3,kkwzrikk 定义域为: 2Im2kBkvzk 值值域域:222kGkkk wk在Gk上解析,且 1Lnkkwzz 第81页/共96页83(1) 一般幂函数一般幂函数Ln11=(0,) zaazweza定定义义为为复复常常数数称为称为z的一般幂数函数的一般幂数函数(2) 一般指数函数一般指数函数Ln12=(0,) zazawea定定义义为为复复常常数数

47、称为称为z的一般指数函数的一般指数函数第82页/共96页84对于对于Ln bbaae . , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值的由于由于bakaiaa , )1(为整数时为整数时当当b Lnabbea )2arg(ln kaiabeikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具有单一的值具有单一的值ba第83页/共96页85 ,0) ,( )2(时时为互质的整数为互质的整数与与当当 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 个值个值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 时相应的值时相应的值即取即取 qk第84页/共96页86特殊情况特殊情况: ,)( )1时时正整数正整数当当nb Lnannea LnLnLnaaae ) (项项指数指数 n LnLnLnaaaeee ) (个个因子因子 n. aaa ) (个个因子因子 n ,)( 1 )2时时分数