复变函数与积分变换21PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换复变函数与积分变换21第1页/共55页第2页/共55页设设 z = x+iy, w = u+iv ,wf zf xiyu x yiv x y其确定了自变量为其确定了自变量为x和和y的两个二元实变函数的两个二元实变函数 u ,v .例如例如, 考察函数考察函数 w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv , 则则u+iv = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy ,因而函数因而函数 w = z2 对应于两个二元函数对应于两个二元函数:u = x2- -y2, v = 2xy第3页/共55页 在以后的讨论中在以后的讨论中, E常常是一个平面区域常常是

2、一个平面区域, 并且并且, 如如无特别声明无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数所讨论的函数均为单值函数.二、二、 映射的概念映射的概念 函数函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把在几何上可以看做是把 z平面上的一个点平面上的一个点集集E(定义集合定义集合)变到变到 w平面上的一个点集平面上的一个点集G (函数值集函数值集合合)的的映射映射(或或变换变换). 如果如果 E 中的点中的点 z 被映射被映射 w=f (z) 映映射成射成 G中的点中的点 w, 则则 w 称为称为 z 的的象象(映象映象), 而而 z 称为称为 w 的的原象原象.xuEGZzwW=f(z)vyW第4页/共55页设

3、函数设函数w = z =x iy ; u=x , v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw1w2第5页/共55页设函数设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy , 有有 u = x2- -y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz -1231341wwiw - - 第6页/共55页的的. 此时此时, 我们也称集合我们也称集合E与集与集合合G是一一对应的是一一对应的.第7页/共55页2. 复变函数的极限复变函数的极限函数的极限定义函数的极限定义 设函数设函数 w = f (z)定义在定义在 z0的去心邻域的去心邻域 0|z-

4、-z0|0, 相应地必有一正数相应地必有一正数d d (e e) (0 d d r), 使得当使得当 0 |z- -z0|d d 时有时有| f (z)- -A |e e ,则称则称A为为f (z)当当 z趋向于趋向于z0时的时的极限极限, 记作记作Azfzz)(lim0或记作当或记作当 zz0 时时 , f (z)A.第8页/共55页几何意义几何意义: : xyOz0dzOuvAef(z)0lim( )zzAf z意味着：0( )zzf z当 从平面上任一方向、沿任何路径、以任意方式趋近于 时，均以A为极限。第9页/共55页等价定义等价定义： 设设 f (z) = u(x,y) + iv(x

5、,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则则0000000lim( ,)lim( ).lim( ,)xxyyzzxxyyu x yuf zAv x yv运算性质运算性质： )(lim)(lim)()(lim)1(000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzfzzzzzz0)(lim)(lim)(lim)()(lim)3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz第10页/共55页当当 z0 时的极限不存时的极限不存在在例例1 证明函证明函数数Re( )( )|zf zz证证 令令 z = x + i y, 则则22(

6、 ),xf zxy由此得由此得22( , ), ( , )0.xu x yv x yxy让让 z 沿直线沿直线 y = k x 趋于零趋于零, 我们有我们有2200()()lim( , )limxxy kxy kxxu x yxy22201lim.(1)1xxkxk 故极限不存在故极限不存在. 第11页/共55页3. 函数的连续性函数的连续性定义定义2.3)()(lim00zfzfzz如果 则说则说 f (z)在在 z0 处处连续连续. 如果如果 f (z) 在区域在区域D内处内处处连续处连续, 我们说我们说 f (z) 在在D内连续内连续.函数函数 f (z) = u(x, y) + iv(

7、x, y)在在 z0 = x0 + iy0处连处连续的充要条件是续的充要条件是 u(x, y)和和 v(x, y)在在 (x0, y0)处连处连续续.性质：性质： (1)(1)连续函数的四则运算仍然连续；连续函数的四则运算仍然连续； (2)(2)连续函数的复合函数仍然连续连续函数的复合函数仍然连续； 第12页/共55页有理分式函数有理分式函数其中其中P(z)和和Q(z)都是多项式都是多项式, 在复在复平面分母不为零的点也是连续的平面分母不为零的点也是连续的.,)()(zQzPw 第13页/共55页(4)有界闭区域有界闭区域D D上的连续函数必有界上的连续函数必有界例题例题1 1 讨讨论论zzf

8、arg)(的连续性。的连续性。x00222-2-第14页/共55页arctg,0,0,02argarctg,0,0,0,0argtg.22yxxxyzyxyxxyyx-其中第15页/共55页第二章第二章 解析函数解析函数2.2 解析函数的概解析函数的概念念;),(Dzzfw函数1 1 复变函数的导复变函数的导数数 定义：定义：Dzzz00,zwz0lim极限zzfzzfz-)()(lim000存在存在, 则就说则就说f (z)在在 z0可导可导, 此极限值就称为此极限值就称为f (z)在在 z0 的的导数，记作导数，记作00().zzdwfzdz或应该注意：上述定义中应该注意：上述定义中 的方

9、式是任意的。的方式是任意的。0z 第16页/共55页如果如果 f (z) 在区域在区域D内处处可导内处处可导, 就说就说 f (z) 在在内可导内可导.例例1 求求 f (z) = z2 的导数。的导数。解解 因为因为0( )( )limzf zzf zz-220( )limzzzzz-0lim(2 )2 .zzzz所以f (z) = 2z .复变函数的导数具有与实函数同样的复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则求导法则 。（即（即f (z) = z2 在复平面处处可导。在复平面处处可导。）第17页/共55页0)(),()()()()(1)()()52-zgzgzfzfzgzgzgzf. 0

10、)(,)()(,)(1)()7wwzzfwwzf且数个互为反函数的单值函是两与其中第18页/共55页例例2 问问 f (z) = x +2yi 是否可导是否可导?解解 这里这里0()( )limzf zzf zz -0()2()2limzxxyy ixyixyi - 02limzxyixyi 0,zx 取002limlim1.zzxyixxyix 0,zi y 取0022limlim2.zzxyiyxyiy 所以所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在的导数不存在.（即（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导在整个复平面处处不可导.）第19页/共55页0)(lim

11、),()()()()()()(0000000-zzfzzfzzfzzfzzfzzfze则令连续在即所以0000)(),()(limzzfzfzzfz可导可导 连续。连续。第20页/共55页例例3 讨论讨论2)(zzfw的可导性。的可导性。-zzfzzfzw)()(解解：zzzz-22zzzzzzz-)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw-所以2)(zzfw在复平面上除原点外处处不可导在复平面上除原点外处处不可导。第21页/共55页2. 解析函数的概念解析函数的概念函数在一点解析函数在一点解析在该点可导。在该点可导。 反之不一定成立。反之不一定

12、成立。在区域内：在区域内：解析可导.例如例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；在整个复平面上解析；2)(zzfw仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；f (z) = x +2yi在整个复平面上不解析。在整个复平面上不解析。定义定义2.52.5解析：在0)(zzf0( )f zz在 的某邻域内可导.称为解析点，0z否则称为奇点否则称为奇点 。内解析：在区域Dzf)( )f zD在 内处处解析.第22页/共55页例例 讨论函数讨论函数 f (z)=1/z 的解析性的解析性.解：210 ,dwzdzz -故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析

13、；z = 0 是它的一个奇点。是它的一个奇点。解析函数的性质：解析函数的性质：(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数；两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 所所 有解析点的集合必为开集。有解析点的集合必为开集。第23页/共55页第24页/共55页问题问题：对函数对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？如何判别其解析（可导）性？换句话说：换句话说：( ),f z

14、u v的解析 可导 与的偏导数之间有什么关系？第25页/共55页偏导数偏导数 对于二元函数f(x,y), 如果将y视为常量将其固定，看作是 x 的函数，对 x 求导，所获得的函数就叫f(x,y)对x 的偏导数， 记作fx, 而将 x 固定， 将其看作 y 的函数， 对 y 求导， 所获得的函数就叫 f(x,y)对 y 的偏导数， 记作fy。 当然上面的说法必须是在相应的偏导数存在的情况下。 第26页/共55页例: 设二元函数f(x,y)=x2sin2y, 则22 sin22cos2fxyxfxyy第27页/共55页iv)微分的概念微分的概念 设函数设函数w=f(z)在在z0可导可导, 则有则有

15、 w=f(z0+ z)- -f(z0)=f (z0) z+ ( z) z, 0)(lim0zz其中 因此因此, | ( z) z|是是| z|的高阶无穷小量的高阶无穷小量, 而而f (z0) z是函数是函数w=f(z)的改变量的改变量 w的线性的线性部分部分, 称为函数称为函数w=f(z)在点在点z0的微分的微分, 记作记作 dw=f (z0) z (*) 如果函数在如果函数在z0的微分存在的微分存在, 则称则称函数函数f(z)在在z0可微可微.第28页/共55页 dw=f (z0) z(*) 特别特别, 当当f(z)=z时时, 由由(*)得得dz= z. 于是于是 dw=f (z)dz,即即

16、|0dd)(zzzwzf 由此可见由此可见, 函数函数w=f(z)在在z0可导与在可导与在z0可微可微是等价的是等价的. 如果如果f(z)在区域在区域D内处处可微内处处可微, 则称则称f(z)在在D内可微内可微.第29页/共55页2.3 函数可导与解析的充要条件函数可导与解析的充要条件第30页/共55页 在工程中在工程中, 往往是要用复变函数来解决实际问题往往是要用复变函数来解决实际问题. 而实际问题中遇到的复变函数而实际问题中遇到的复变函数, 通常都是某个实变函数通常都是某个实变函数延拓而来的延拓而来的. 即即, 如果原来有一个实变函数如果原来有一个实变函数f(x), 自变量自变量是实数是实

17、数, 函数值也是实数函数值也是实数, 则将则将x用一个复数代替用一个复数代替, 就产就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数. 事实上我们只关心这样的复变函数事实上我们只关心这样的复变函数. 比如说：比如说：实变函数实变函数f(x)=x2-x+1, 则相应的延拓的复变函数就是则相应的延拓的复变函数就是f(z)=z2-z+1. 经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数的初等函数延拓到复变函数.第31页/共55页 假设假设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数是

18、解析函数, 我们我们也可以将它看作是变量也可以将它看作是变量x,y的二元函数的二元函数, 则对则对x求偏导和求偏导和对对y求偏导求偏导, 得两个公式得两个公式yyxxivuyyxviyyxuiyxf iivuxyxvixyxuiyxf),(),()(),(),()(yyiuviyxf-)(即yyxuxyxvyyxvxyxuuvvuyxyx-),(),(,),(),(及由此得第32页/共55页,uvvuxyxy -称Cauchy-Riemann为方程( )( , )( , )wf zu x yiv x yD即在 内一点 x,y 解析u(x,y) 与与 v(x,y) 在该点可微在该点可微, 并且满

19、足并且满足柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程。方程。第33页/共55页定理定理3.8 函数函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域在其定义域D内解内解析的充要条件是：析的充要条件是： （1）u(x,y) 与与 v(x,y) 在在D内可微内可微, （2）u(x,y) 与与 v(x,y) 在在D内内满足满足Cauchy-Riemann方程方程.定理定理3.7 函数函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域定义在区域D内一点内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是:（1） u(x,y)与与v(x,y)在点在点(x,y)

20、可微可微, （2）u(x,y)与与v(x,y)在点在点(x,y) 满足满足Cauchy-Riemann方程方程 。第34页/共55页推论推论 ：,( , )u vx yCR-若在处一阶偏导数连续且满足方程,( )f zuivzxiy则在处可导.例题例题1 ,u v解析 可导可微且满足C-R方程 222f zxyi xyuivfz-已知，求解解： 2222xxfzuivxi yxiyz例题2 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:1);2)Re( )wzwzz2222yyviuxiyxiyz-第35页/共55页解：1),wzxiy-由 得 ux, v-y, 所以1,0,0,1xyxyxyyxuu

21、vvuv uv - -在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导, 处处不解析处处不解析；wz故2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以2 ,0,xyxyuxuvyvx当且仅当当且仅当 x = y = 0时时,xyyxuvuv -因而函数仅在因而函数仅在z = 0可导可导, 但在复平面内任何地方都但在复平面内任何地方都不解析不解析.第36页/共55页)Re()3);sin(cose)()2;) 1zzwyiyzfzwx1, 0, 0, 1-yvxvyuxu可知柯西-黎曼方程不满足, 所以w=z在复平面内处处不可导, 处处不解析第37页/共55

22、页yyvyxvyyuyxuxxxxcose,sinesine,cose-函数ez.第38页/共55页xyvyxvyuxxu,0,2第39页/共55页第40页/共55页2.4 初等函数3.1 指数函数 定义： )sin(cosyiyeeexiyxz1,:00eeeyxzyiyeexiyzsincos:0性质： (1)0zzee 定义在全平面上，且 (2)zzzeee在全平面解析，且21,)3(2121zzeeezzzz加法定理：(4)2zei是以为基本周期的周期函数(0,cossin00)xiyzeeyiye第41页/共55页22(cos2sin2,)zk izk izzee eekike kZ

23、(5)lim.zze不存在( lim, lim0 )zzz xz xee - 3.2 三角函数定义： ,2sinieeziziz-,2cosizizeez-性质：(1)Euler 公式仍然成立： zizeizsincos(2)全平面解析函数，zzzzsincos,cossin-且(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外) (4)sin z为奇函数，cos z为偶函数第42页/共55页(5)2以为基本周期的周期函数：sin2sin ,cos2sin .()zkzzkz kZ(6) sincoszz与的模可以大于一甚至无界：例如11cos1,2eei-cos.2yyeeiyy- (7)定义其他的

24、三角函数：.sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz第43页/共55页3.3 双曲函数定义： eeeech, sh.22zzzzzz- （1）全平面解析函数： ,.shzchzchzshz（2）以2i为基本周期的周期函数：2,2.sh zk ishz ch zk ichz（3）chz为偶函数, shz为奇函数。（4）与三角函数的关系：shsin ,izizchcosizzsinsh ,izizcosch ,izz第44页/共55页例题1解方程sin1.zish解：sinsinsin coscos sinzxiyxiyxiysincos1xchyixshyish sin01cos12xchyxshysh :0sin0,chyxxkkZ由 1 因 211kshysh -代入11ykyk -为偶数为奇数2.21niznZni-第45页/共55页3.4 对数函数定义： :(0),wwez z若 满足Ln(0).wzz则,wuiv记：izreu ivuiviee erelnlnarg2uerurzvArgzzklnarg2wLnzzizklnarg2ln2zizi kzk i 多值性多值性lnlnargzziz-主值支主值支例如：ik