中考数学第九讲

1、第9讲 圆 1工件中的圆周角 经典例题1 明明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，如图所示，哪个是半圆形？为什么？技法攻略通过观察可知图(2)是半圆形，理由：90。的圆周角所对的弦是直径解题秘籍要判断哪个是半圆，只要能验证这段弧所对的圆周角色 是90。即可2足球场上的圆周角经典例题。2在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球到A点时，乙随后冲到B点，如图所示，此时，不考虑其他因素，甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？为什么？ 技法攻略迅速回传给乙，让乙射门较好 理由：在不考虑其他因素的情况下，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置

2、，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小，张角越大，射中的机会就越大如图所示，从而B处对MN的张角较大，在B处射门射中的机会大些解题秘籍要想将球射中球门，射门的张角越大越好，于是我们可以联想圆周角求解3航海中的圆周角经典例题3在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，就是“危险角”当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁(1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位

3、于哪个区域？为什么？技法攻略 (1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于暗礁区域内（即00内）理由：连接BE，假设船在00上，矛盾，所以船不可能在0上；假设船在00外，则盾，所以船不可能在00外因此，船只能位于00内(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位于暗礁区域外（即00外）理由如下：假设船在00上矛盾，所以船不可能在00上；假设船在00内，则矛盾，所以船不可能在OO内因此，船只能位于00外 解题秘籍这是一个有实际背景的问题，由题意可知“危险角”实际上就是圆周角船与两个灯塔的夹角为，船有可能在0外，也有可能在OO内当时，船位于暗礁区域内；当时，船位于暗礁区域外我们可采用反证

4、法进行论证学以致用1如图所示，在抛掷铅球时，场地周围的内都是危险地带，在A、B两点都有专人看管，且么APB=O若有人要在直线AB的北侧经过危险区域，则应怎样行走？为什么？1求角度的大小经典例题1 如图为00的内接三角形，AB为00的直径，点技法攻略因为AB是直径，解题秘籍若已知三角形的一边是其外接圆的直径，则可以联想直径所对的圆周角是直角， 2求线段的长度经典例题2如图，00的直径，AD-6，则BC- 而AD-6，所以由勾股定理可求得，所以由勾股定理得BE=3，所以BC-6 解题秘籍与三角形外接圆有关的计算问题，求解时一定要注意寻找含30。角的直角三角形，并运用勾股定理求解 3证明线段的比设A

5、D=x，则BD-2Z，由勾股定理得 解题秘籍联想是解决数学问题的重要途径，通过联想可以化难为易、化陌生为熟悉，从而从根本上解决问题。 4证明线段相等 经典例题4如图，AD为圆内接三角形ABC的外角EAC的平分线，与圆交于点D，F 为BC上的点 (1)求证：DB=DC(2)请你再补充一个条件，使直线DF -定经过圆心，并说明理由(2)答案不唯一补充下列条件中的任意一个均可：BF=FC，由(1)可知所以DF是BC的中垂线，即DF经过圆心由(1)可知BF=FC，所以DF是BC的中垂线，即DF经过圆心DF平分由(1)可知BF - FC，所以DF是BC的中垂线，即DF经过圆心 解题秘籍本题中的第(2)问

6、属于开放型问题，即答案一般不唯一求解时，可以直接从已知条件入手，运用所学的知识逐步逼近结论学以致用21如图所示(1)请写出四个不同类型的正确结论，试找出之间的一种关系式，并予以证明 1运用切线的定义证明 切线的定义告诉我们，若一条直线和圆有唯一的公共点，则这条直线就是圆的切线这就是说，要证明一条直线和圆相切，只要证明圆心到这条直线的距离等于这个圆的半径即可又因为0是AB的中点，所以OE是梯形ACDB的中位线，即以C+BD=20E. 又因为AB是00的直径，所以OE等于00的半径，故直线l与00相切 解题秘籍本例的已知条件中并没有提到直线与圆有没有公共点，即不知道是否经过某条半径的外端，所以无法

7、根据切线的判定定理来证明直线与圆相切因此，可过圆心作巳知直线的垂线段这里要特别注意，此时的垂足在直线上，还不知道是否在圆上，只有证明这条垂线段的长等于圆的半径的长，问题才能解决， 2运用切线的判定定理证明 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，这是证明直线是圆的切线最常用的方法，经典例题2如图，在交AB于D，00是的外接圆求证：AC是0的切线技法攻略连接OE，因为OE-OB，所以 解题秘籍本例的已知条件中已经明确了切点，这样只要连接切点和圆心，证明直线垂直于过切点的半径即可，学以致用3 1弦所对的圆周角经典例题1 半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为那么这条弦所对的圆周角的度数等于

8、_ 技法攻略 弦所对的圆周角有两种情况： 当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为60。； 当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为120。， 故应填60。或120。：解题秘籍因为圆周角的顶点的位置没有确定，所以应分情况讨论2点与弦的相对位置经典例题2 已知则如图，若是锐角三角形，则点A和圆心0在弦BC的同侧，可求得如图，若是钝角三角形，则点A和圆心0在弦BC的异侧，可求得解题秘籍因为没有提供图形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，所以应分情况讨论 3圆心与角的位置经典例题3在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为的度数技法攻略分两种情况：如图，当圆心在的内部时，连接AO并延长，交0于

9、E解题秘籍要求的大小，通过画出图形，可以发现圆心与所夹角的两条弦的位置有关，所以应分情况讨论 4平行弦与圆心的位置经典例题4，。在半径为5 cm的00中，弦AB-6 cm，弦CD-8 cm，且求AB与CD之间的距离 技法攻略过O作AB、CD的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连接OA、OC下面分两种情况：如图，当AB、CD在圆心0的同侧时，AB和CD之间的距离为EF=4-3=l(cm). 如图，当AB、CD在圆心0的异侧时，AB和CD之间的距离为EF-4+3-7(cm) 所以AB和CD之间的距离为1 cm或7 cm. 解题秘籍两条平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的

10、异侧因此，要想正确求解，应分两种情况讨论5点在弧上的位置经典例题5如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过O(O，o)，A(o，2)，B(2，o)三点，P是技法攻略依题意可知是等腰直角三角形，所以下面分两种情况： 解题秘籍本题虽然提供了图形，然而点P却是一个动点，即点P可能在优弧上，也可能在劣弧上，故要分类讨论6圆心距问题经典例题6 已知半径为的两个圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距技法攻略如图，在中，由勾股定理得下面分两种情况讨论：如图，当圆心Ol、02在公共弦AB的同侧时如图，当圆心()1、02在公共弦AB的异侧时所以两圆的圆心距为 解题秘籍J凡涉及圆与圆的位置关系的问题，在没有指明其位置时

11、，应考虑点的各种可能情形，这样才能防止漏解，学以致用4 O是AB的中点，00与AC相切于点D，与BC相切于点E.设00交OB于F，连接DF并延长，交CB的延长线于G.是否相等？为什么？(2)求由DG、GE和弧ED所围成的图形的面积（阴影部分） 解题秘籍这里应正确理解正方形ODCE的面积减去扇形ODE的面积的含义，不要存在模糊认识2等量变换的经典例题2如图，扇形AOB的圆心角为90。，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为_ 技法攻略因为OA -OB，四边形OCDE是正方形， 所以弧形BED的面积与弧形ACD的面积相等，因为正方形的边长为1，

12、所以其对角线的长为所以阴影部分的面积 解题秘籍求阴影部分的面积，直接求解有困难时，若能找到与之等量的规则图形，使之化归到规则图形中，则可套用公式求解 3旋转变换 经典例题3 如图，以BC为直径，在半径为2、圆心角为90。的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是 ( ) 解题秘籍求比较复杂的图形中的阴影部分的面积时，一定要仔细观察、分析图形的特征，利用变换的方法使问题获解 4轴对称变换经典例题4如图，已知反比例函数的图象和一个圆，则技法攻略因为反比例函数的图象和圆关于y轴对称，所以第二象限的阴影部分与第一象限中的非阴影部分等面积，第三象限的非阴影部分与第四象限中的阴影部分等面

13、积，所以图中整个阴影部分的面积等于两个直角扇形的面积，即一个半圆的面积由图形知圆的半径是2，所以半圆的面积 解题秘籍本题在求解过程中利用了轴对称的性质，使分散的图形相对集中，这样使问题简捷获解 5平移变换 经典例题5图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，并与小半圆相切，且AB-24，则能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由技法攻略能求出阴影部分的面积，理由：设大圆与小圆的半径分别为R、，平移小半圆，使它的圆心与大半圆的圆心0重合 解题秘籍对于此类问题，当逐一求解有困难时，可以尝试利用平移变换的思想方法求解学以致用51如图，六个等圆按甲、乙、丙三种方式摆放，使

14、相邻两圆互相外切，圆心的连线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形，圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S、P、Q，则 ( )A. S>P>Q B.S>Q>P C.S>P=Q D.S=P=Q2如图，在边长为a的正方形ABCD中，以点A为圆心、AB为半径作弧，得到扇形ABD分别 以AB、AD为直径的半圆交于点E，试求图中阴影部分的面积，1计算正多边形的边长沙 经典例题1 已知圆内接正方形的边长是2，则这个圆的内接正六边形的边长是 技法攻略设圆内接正六边形的边长为z(z>O)，则该圆的半径也是x，即直径是2z又因为正方形的对角线与圆的直径重合，所

15、以正方形的对角线等于2x，所以由勾股定理得解得即正六边形的边长是 解题秘籍由圆内接正六边形的边长是x，可知道该圆的半径也是z，所以直径是2x.而圆内接正方形的对角线与圆的直径重合，所以运用勾股定理即可求解，2求正多边形的边数经典例题2 如图，AB、PA是0内接正n边形的相邻两边，切线PM与BA的延长线相交于点M若，则n- 解题秘籍要求圆内接正多边形的边数，要求出其相应的一个内角或外角，于是作出圆的半径，利用已知条件即可求解 3求圆的半径 经典例题3如图，在手工制作中，小颖同学把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为 ( )技法

16、攻略如图，设圆心为点0，则过点O作，垂足为D,连接OA，则OA平分，且点D是AB的中点，因为AB-12，所以又因为所以在由勾股定理得即该圆的半径为故应选C解题秘籍要求圆的半径，依据题意，就是求边长为12 cm的等边三角形外接圆的半径于是，设圆心为点0，则过点O作，垂足为D，连接OA，则OA平分且点D是AB的中点，这样在中即可求解4求多边形的周长经典例题4 如图，三个半径均为辐的圆两两外切，且的每一边都与其中的两个圆相切，那么的周长是 ( )技法攻略如图，分别过点P、Q作BC的垂线，垂足分别为D、E，连接PQ、PB，于是BC-BD+DE+EC.圆的半径为解题秘籍要求的周长，只需求BC.分别过点P

17、、Q作BC的垂线，垂足分别为D、E，在中，易求得BD和CE，所以只要求出DE即可 5求阴影部分的面积 经典例题5 如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分的面积为技法攻略如图，设圆内接正十二边形的两个顶点为A和B，圆心为O，连接OA、OB，设OA交BC于点C，则因为外接圆的半径为2，所以所以所以阴影部分的面积为 解题秘籍由图中阴影部分的特点可知，若从整体上考虑，则阴影部分的面积应等于圆内接正十二边形的面积减去圆内接正六边形的面积也可先求出一个阴影部分一半的面积，再乘以12，于是可以通过辅助线构造直角三角形求解 6通过计算探究问题经典例题§图，图，图，

18、中，M、N分别是的内接正三角形ABC.，正方形ABCD，正五边形ABCDE，的边AB、BC上的点，且BM-CN，连接OM、ON.(1)图中，的度数是 (2)图中，的度数是_；图中，的度数是一_(3)试探究的度数与正以边形的边数九的关系（直接写出答案）技法攻略 (1)连接OB、OC学以致用61如图，正三角形的内切圆的半径为1，那么三角形的边长为 ( ) A.22如图，已知边长为a的正ABC内有一边长为6的内接正则的内切圆半径为3-盒刚打开的“兰州”牌香烟如图所示，图是它的横截面（矩形ABCD）， 已知每支香烟底面圆的直径是8 mm(1)矩形ABCD的长AB=mm(2)利用图求矩形ABCD的宽AD

19、.结果精确到0.1 mm) 1概念模糊导致判断错误 易错题1 下列说法都正确吗？ (1)直径是弦，弦是直径； (2)直径过圆心，过圆心的线段是直径； (3)半圆是弧，弧是半圆； (4)半径垂直于切线； (5)垂直于半径的直线是圆的切线； (6)如果两圆相切，那么圆心距等于这两个圆的半径之和； (7)当圆心距小于两圆的半径之和时，两圆相交； (8)三点确定一个圆 错误解答都正确 错因分析 (1)前半句是正确的，但后半句却是错误的，错误的原因是忽视了直径是特殊的弦 (2)前半句正确，但后半句却是错误的，错误的原因是忽视了直径不仅过圆心，而且两个端点都在圆上 (3)前半句正确，后半句错误，错误的原因

20、是忽视了半圆是特殊的弧 (4)切线与半径的确存在相互垂直的关系，但并不是切线与任何一条半径都垂直，只有经过切点的半径才可以换句话说，切线只与无数多条半径中的一条垂直因此，(4)的说法是错误的 (5)任何一条直线都存在一条与它垂直的半径，同时，任何一条半径也存在无数多条与它垂直的直线，但圆的切线是经过半径外端点的一条直线，因此，(5)的说法是错误的 (6)两圆相切有内切与外切两种情况，外切时，圆心距等于两圆的半径之和；内切时，圆心距等于两圆的半径之差因此(6)的说法错误 (7)两圆相交时，圆心距小于两圆的半径之和反过来，当圆心距小于两圆的半径之和时，两圆的位置关系还有可能是内切或内含，因此，(7

21、)的说法错误 (8)三点如果在同一条直线上（简称三点共线），则此时经过这三点的圆显然不存在，因此，正确的说法应是：不在同一条直线上的三点确定一个圆 正确解答都错误 点评关于圆，有许多似是而非的语句，判断时一定要依据圆的有关概念 2忽视“同圆或等圆”导致错误易错题2 如图，两个同心圆中，大圆的半径OA、OB分别交小圆于C、D相等吗？为什么？ 错误解答相等 点评等弧是能够互相重合的两条弧，而能够重合的首要条件是同圆或等圆，错解正是因为忽视了这个条件另外，弧的大小实际上包括两方面：一是度数，二是长度，只有当度数和长度都分别相等时，两条弧才能称为等弧， 3忽视点不在圆上包括两种情况 易错题3 已知点P

22、到圆上各点的最短距离是3，到圆上各点的最长距离是5，则此圆的半径为 ( ) A.8 B2 C4 D.4或1 错误解答由题意知该圆的直径是3+5=8，半径为4，故选A 错因分析造成错解的原因是思考不周而导致漏解，因为已知点不在圆上，所以该点可能在圆内，也可能在圆外，当题目没有给出图形时要进行分类讨论 正确解答当点在圆内时，圆的直径是8，半径为4；当点在圆外时，圆的直径为5-3-2，半径为1综上，圆的半径为4或1，选D 点评正确理解题目的意思是正确求解的关键 4忽视三角形的外心与三角形的位置关系错误解答如图，连接OC，则由垂径定理得所以 错因分析造成错解的原因是忽视了三角形的外心与三角形的位置关系

23、，当三角形是锐角三角形时，其外心在三角形内部；而当三角形为钝角三角形时，其外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，其外心恰是斜边的中点 点评没有提供图的题目应注意分类讨论 5.正多边形的计算错误 易错题5 已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是 错误解答因为圆内接正六边形的边长是1，所以该圆的半径也是1，即直径是2，所以该圆的内接正方形的边长是2，故应填2. 错因分析求得该圆的半径是1，即直径是2，只能说明该圆的内接正方形的对角线长是2，而不能说明边长是2. 正确解答因为圆内接正六边形的边长是1，所以该圆的半径也是1，即直径是2.由勾股定理可求得圆内接正方形的边长点评对于有关多边形的计算，一定要认真分析题意，弄清楚条件与结论的关系，6切线的判定错误易错题6如图，直线点A在MN上，点B在PQ上，0是AB的中点，00与MN相切于K.求证：0与PQ也相切错误解答连接KO并延长，交PQ于点D.因为MN与00相切于K，所以所以所以P