三轮复习专题圆锥曲线及其应用

1、数学专题十圆锥曲线及其应用【考点精要】2 2考点一 椭圆、双曲线、抛物线的离心率。 女口：设双曲线 笃-爲=1(aa b0,b 0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于()A. .3B. 2C. , 5D. ,62考点二圆锥曲线的第一或第二定义。女口：已知椭圆C:- y2=1的右焦点2为F,右准线为丨，点A l，线段AF交C于点B，若=3FB,则|躺=()A. 2B. 2C.3D. 3考点三圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系。直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如：设2 2双曲线笃-每=1(a 0,b 0)的虚轴长为 2,

2、焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方a2b2程为（）A.y =2x B.y = 2xC.y - xD.2考点四.圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径。将圆锥曲线的相关知识与向 量等知识相结合，考查圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径等知识。考点五.圆锥曲线中有关角、线段、面积。以圆锥曲线为依托，借助点与线 的关系，考查圆锥曲线中有关角、线段、面积等知识，考查综合运算能力。如： 设抛物线y2=2x 的焦点为 F，过点 M(、3，0)的直线与抛物线相交于 A, B 两点,与抛物线的准线相交于 C, | BF =2,则心 BCF ACF 的面积之比SCF=()S血CF的特殊关系，研究有关的距离最短、距离之和最

3、小等，考查学生分析问题、解决A.B.C.4D.考点六.圆锥曲线中有关的距离最短、 距离之和最小。 利用圆锥曲线与直线问题以及数形结合的能力。如：已知直线h：4x-3y6 = 0 和 l2：x=-1，抛物线y?=4X 上一动点P到 li和 I2的距离之和的最小值是（）考点七待定系数法求曲线方程。能用待定系数法求曲线方程，处理直线与 圆锥曲线的相关问题以及有关对称问题。 此类问题多属于中档或高档题。女口：过 点（1，0）的直线 I 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为乎的椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线 y=x 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于2直线 I 对称，试

4、求直线 I 与椭圆 C 的方程考点八.求圆锥曲线方程的方法。能运用多种方法（如：直接法、定义法、 几何法、代入法、参数法、交规法等）求圆锥曲线的方程，求动点轨迹时应注意 它的完备性和纯粹性。巧点妙拨1. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨 论和数形结合的思想方法2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）； 涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间

5、的关系灵活转化，往往就能事半功倍3. 求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数A.2B.311C.5D.3716的单调性或三角函数的有界性等求最值。【典题对应】例 1.(2009 山东)设R,在平面直角坐标系中,已知向量 a = (mx, y 1),4J 呻向量 b =(x, y -1), a _ b,动点M (x, y)的轨迹为 E.(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；1(2)已知m=1 2,证明：存在圆心在原点

6、的圆，使得该圆的任意一条切线与轨4迹 E 恒有两个交点 A,B,且OA_OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程；1(3) 已知m =,设直线丨与圆 C: x2 y2二 R2(1R2)相切于 A,且I与轨迹 E 只有一个公共点 B,当 R 为何值时,|A 启|取得最大值？并求最大值.命题意图：本题主要考查直线与圆的方程和位置关系，以及直线与椭圆的位 置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题，有几个交点的问题。解析：(1)因为 a _ b, a = (mx, y 1), b = (x,y -1),所以 a b = mx2y2-1 =0 ,即 mx2y2=1.当 m=0 时，方程表示两直线，方

7、程为y二1;当m=1 时,方程表示的是圆；当m .0且m=1时，方程表示的是椭圆；当m：0时，方程表示的是双曲 线.(2)当心时轨迹E的方程为亍设圆心在原点的圆的一条切线为2 2 22 4k 1 4k 1 4ky二kx t解方程y =k x=1t2 2x 4(kx t) =4(1 4k2)x28ktx 4t2-4=0,要使切线与轨迹 E恒有两个交点 A,B,则使 =64k2t2-16(1 4k2)(t2-1) = 16(4k2-t21) 0,22y2=(心t)(kx2t) = k X1X2kt(X1X2) t要使,需4t2_4 t2_4k25t2_4k2_4即4k2-t210,即t24k21,

8、X28kt21 4kx-ix24t2-41 4k2k2(4t4)1 4 k2使 N8k2t22t-4k22t7 ,1 - 4k21 4k2X2=0/1,y 即所以5t2-4k2-4 = 0, 即5t2= 4k24且t2：4k21,即4k24：20k25也满足0A _ OB.恒有两个交点 A,B,且 OA_OB.恒成立.所以又因为直线y二kx t为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为t24-(V k )51 k21 k2=-,所求的圆为5x2y2舟.当切线的斜率不存在时，切线为 x =,与+54交于点（5，-5）或（一:一：、5）X28kt1 4k2x1x24t2-421 - 4k2=X2,

9、所以,xj 二4t2-421 4k16R2-163R2综上，存在圆心在原点的圆x2+ y ,5使得该圆的任意一条切线与椭圆 E为直线I与圆14时,轨迹C：x2y22E 的方程为亍y2二 R2(1R0)的焦点，J 则 b=()224 b2而这三点的两两连线必有故椭圆上不存在三点D,E,G，使得SODE=S-ODG(川)假设椭圆上存在三点D,E,G，使得SODE= =T T，A.3B. 5 5C. 3 3D.2. 抛物线 y=ax2与直线 y=kx+b(kM0)交于 A、B 两点，且此两点的横坐标分 别为 Xi, X2,直线与 x 轴交点的横坐标是 X3,则恒有()A.X3=X1+X2B.X1X2

10、=X1X3+X2X3C.Xi+X2+X3=0D. X1X2+X2X3+X3X1=03. 中心在原点，焦点在坐标为(0， 5、.2)的椭圆被直线 3X y 2=0 截得的弦的中点的横坐标为1，则椭圆方程为。24. 直线 I 的方程为 y=x+3,在 I 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12X24y2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为 _.2 25. 已知R、F2是椭圆C:笃与=1( a b 0)的两个焦点，P为椭圆Ca b上一点，且 PR 丄 PF2.若也 PF1F2的面积为 9,则b=_6.已知抛物线 y2=2px(p0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线

11、I 与该抛物线 交于不同的两点 A、B,且| AE| a2+4b2 2(a2+b2)=2 b2 a2=1,当且仅当 a=b 时上式等号成立，此时5d2=1,从而 d 取最小值，为此有a =ba =1a =得*或/* i 222b一a=1b =1-b =/ r2=2b2,二 r2=2于是所求圆的方程为：(x 1)2+(y 1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=24. 解析：所求椭圆的焦点为 F1( 1,0), F2(1,0),2 a=|PF|+|PF。欲使 2a 最 小，只需在直线 I 上找一点 P.使|PF|+| PF2|最小，利用对称性可解.2 2答案：乞丄=154| PF1|+|PF2

12、|=2a22225. 解析：依题意，有 |PF1|PF2|=18，可得 4c + 36= 4a，即卩 a c2 2 2JPF1| +| PF2| =4c=9,故有 b= 3。6. 解析：(1)设直线 I 的方程为：y=x a,代入抛物线方程得(x a)2=2px,即2 2x 2( a+p) x+a =02解析：解方程组2二ax=kx b,得 ax2 kx b=0,可知 xi+x2=- ,xix2= - ,X3=aa | AE|=、2 . 4(a p)2-4a2 2p. 4ap+2p p；即 4ap0, aw .4(2)设 A(Xi,yi)、盼小),AB 的中点 C(x, y),由(1)知，yi=xi a, y2=X2 a, Xi+X2=2a+2p, 则有 x=l=a + py = yi+y2=xi+x2_2a=p.2 2 2线段 AB 的垂直平分线的方程为y p= (x a p),从而 N 点坐标为(a+2p,0 ) 点 N 到 AB 的距离为|aJ?pa|2p。2从而ST、2心p厂4a2p=2p、2app2当 a 有最大值一卫时，S 有最大值为.2p2047.解析：(I)由题意，得c 3，解得 a=1,c = M3 ,a2b2=c2-a2=2，所求双曲线C的方程为x2-d 1.2()点 P x3,y0 x0y0- 0 在圆 x2y2=2上,圆