八年级一次函数分段函数经典讲解

1、认清分段函数 , 解决收费问题定义：一般地，如果有实数 a1，a2，a3k1,k, 2k3b1,b 2, b3且 a1a2a3函数 Y 与自变量 X 之间存在k x+b1x a11y =k x+b2a xa2的函数解析式，则称该函数解析式为X 的分21段函数。K x+b3a2x a33 应该指出:( 一),函数 解 析 式 这 个整 体 只 是 一 个 函 数 , 并 非 是 Y=KX+b11Y=KX+b 等几个不同函数的简单组合 , 而 k x+b1,k x+b 是函数 Y 的几种不同的表22122这个整体只是一个函数，不能认为达式. 。所以上例中 Y=它是两个不同的函数，只能说 110X和

2、 110×80%X是同一函数中的自变量 X在两种不同取值范围内的不同表达式。( 二),由于k1,k2,k 3b1,b 2,b 3是实数, 所以函数Y 在X 的某个范围内的特殊函数, 如正比例函数和常数函数。( 三 ), 由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。( 四 ),一次函数的分段函数是简单的分段函数。分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上， 解答时需分段讨论。 在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题， 因此，分段计算的应用题成了近几

3、年中考应用题的一种重要题型。收费问题与我们的生活息息相关, 如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例 1 （四川广元） 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，与相应话费y （元）之间的函数图象如图1 所示：月通话时间x（分钟）（）月通话为100 分钟时，应交话费元；（）当x 100 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（ 3）月通话为280 分钟时，应交话费多少元？图 1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在分钟之间月话费y(元

4、 )是月通话时间x(分钟 )的正比例函数,当 x 100 时 ,是月通话时间x(分钟 )的一次函数 .0到100月话费 y(元 )解：（ 1）观察图象可知月通话为100 分钟时，应交话费（ 2）设 y 与 x 之间的函数关系式为y=kx+b由图上知： x=100 时 ,y=40 ； x=200 时 ,时， y=6040 元；40100kbk15则有200k,解之得60bb20所求函数关系式为 y1 x20 .51（3）把 x=280 代入关系式 y20 ,得 y1x280 20 7655即月通话为280 分钟时，应交话费76 元二、水费中的分段函数例 2（广东） 某自来水公司为了鼓励居民节约用

5、水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元 )与用水量x(吨 )的函数关系如图2.(1) 分别写出当 0 x 15 和 x 15 时 ,y 与 x 的函数关系式 ;(2)若某户该月用水21 吨 ,则应交水费多少元?分析 :本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知 , 0 x 15 时 y 是的正比例函数 ; x15时 ,y 是 x 的一次函数 .x279解 : (1) 当 0 x 15 时 ,设 y=kx,把 x=15,y=27 代入 ,得 27=15k,所以 k=,所以9155时 ,设 y=ax+b,将 x=15,y=27和y= x;当 x 155x=20,y=39.

6、5 代入 ,得15ab27,20ab39.5解得 a=2.5,b=-10.5所以 y=2.5x-10.5图 2(2) 当该用户该月用21 吨水时 ,三、电费中分段函数例 3 ( 广东 )今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3 所示），根据图象解下列问题：（ 1）分别写出当 0 x 100 和 x 100 时， y 与 x 的函数关系式；（ 2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（ 3）若该用户某月用电62 度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105 元时，则

7、该用户该月用了多少度电？图 3分析 :从函数图象上看图象分为两段,当 0 x 100 时 ,电费 y 是电量 x 的正比例函数 ,当 x 100 时 ,y 是 x 的一次函数 ,且函数图象经过点(100,65)和 (130,89), 设出相应的函数关系式 ,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解 : (1) 设当0 x 100 时 ,函数关系式为y=kx,将 x=100,y=65 代入 ,得 k=0.65,所以y=0.65x;设当 x 100 时,函数关系式为y=ax+b,将 x=100,y=65 和 x=130,y=89 代入 ,得100ab65,解得 a=0.8,b

8、=-15. 所以 y=0.8x-15130ab89.综上可得 y0.65x(0 x 100)0.8x15( x 100)(2)用户月用电量在 0度到 100 度之间时 ,每度电的收费的标准是0.65 元 ;超出 100 度时,每度电的收费标准是0.80 元.(3)用户月用电62 度时 ,用户应缴费 40.3 元 ,若用户月缴费105 元时 ,该户该月用了 150度电 .谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。 下面我们归纳分析如下， 供学习时

9、参考。1、二段型分段函数1.1 正比例函数与一次函数构成的分段函数解答这类分段函数问题的关键, 就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。例 1 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成工程进度满足如图1 所示的函数关系，该家庭共支付工资8000 元（ 1）完成此房屋装修共需多少天？（ 2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？解析：设正比例函数的解析式为：y=k 1x，因为图象经过点（3， 1 ），所以，144= k 1× 3，所以 k1= 1 ，所以 y= 1 x， 0 x 31212

10、设一次函数的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（ k0，k ，b是常数）因为图象经过点（3， 1 ），（ 5， 1 ），所以，42k 231b1 ,b1由待定系数法得：4 ，解得： k2k 25188b2一次函数的表达式为11，所以，当 y1时， 1x11 ，解得 x 9yx8888完成此房屋装修共需9 天。方法 2解：由正比例函数解析式可知：甲的效率是1 ，乙工作的效率：1111281224甲、乙合作的天数：3116（天）41224甲先工作了 3 天， 完成此房屋装修共需9 天（2）由正比例函数的解析式：1，可知：甲的工作效率是1，y=x1212所以，甲 9 天完成的工作量是：913 ，124甲得到的工资是：380006000 （元）4评析：在这里未知数的系数的