八年级上全等三角形专题讲解

1、全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4 种：1三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“ AAS ”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4 种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形

2、全等三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、 最常用的方法， 这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（ 1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等， 而从近年的中考题来看， 这类试题难度不大， 证明两个三角形的条件比较充分 只要同学们认真观察图形， 结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等例 1 已知：如图1，CE AB 于点 E，BD AC 于点 D， BD 、CE 交于点 O，且 AO 平分

3、 BAC 那么图中全等的三角形有_对分析：由 CE AB ， BD AC ，得 AEO= ADO=90 o由 AO 平分BAC ，得 EAO= DAO 又AO 为公共边，所以AEO ADO 所以AEO=DO ， AE=AD 又 BEO= CDO=90 o， BOE= COD ，所以 BOE COD 由AE=AD ， AEO= ADO=90 o， BAC 为公共角，所以EAC DAO 所以 AB=AC 又B EAO= DAO ， AO 为公共边，所以ABO ACO 所以图中全等的三角形一共有4 对（ 2）条件不足，会增加条件用判别方法E DOC图 1此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的

4、已知条件或已知条件不充分， 需要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案例 2 如图 2，已知 AB=AD ， 1=2，要使 ABC ADE ，还需添加的条件是（只需填一个） _A12BDEC分析：要使 ABC ADE ，注意到 1= 2，所以 1+ DAC= 2+ DAC ，即 BAC= EAC 要使 ABC ADE ，根据 SAS 可知只需 AC=AE图 2即可；根据 ASA 可知只需 B= D ；根据 AAS 可知只需 C=E故可添加的条件是 AC=AE 或 B= D 或 C= E（ 3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线

5、用判别方法在证明两个三角形全等时， 当边或角的关系不明显时， 可通过添加辅助线作为桥梁， 沟通边或角的关系， 使条件由隐变显， 从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等例 3 已知：如图 3， AB=AC ， 1= 2求证： AO 平分 BAC 分析：要证 AO 平分 BAC ，即证 BAO= BCO，A要证 BAO= BCO，只需证 BAO 和 BCO 所在的两个三角形全等而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可证明：连结 BC1O因为 AB=AC ，所以 ABC ACB 3B因为 1= 2，所以 ABC - 1 ACB - 2图 3即 3= 4，所以 BO=CO 因为 AB=A

6、C ， BO=CO ， AO=AO ，所以 ABO ACO 所以 BAO= CAO ，即 AO 平分 BAC （ 4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法24C有些几何问题中， 往往不能直接证明一对三角形全等， 一般需要作辅助线来构造全等三角形例 4 已知：如图 4，在 Rt ABC 中， ACB=90 o， AC=BC ， D 为 BC的中点， CEAD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF求证： ADC= BDF C证明：过 B 作 BG BC 交 CF 延长线于 G，ED所以 BG AC 所以 G= ACE 因为 AC BC ，BCE AD ，所以 ACE= AD

7、C 所以 G= ADC AF因为 AC=BC ， ACD CBG=90 o，所以图 4G ACD CBG 所以 BG=CD=BD 因为 CBF= GBF=45 o， BF=BF ，所以 GBF DBF 所以 G= BDF 所以 ADC BDF 所以 ADC BDF 说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种： 涉及三角形的中线问题时， 常采用延长中线一倍的方法， 构造出一对全等三角形； 涉及角平分线问题时， 经过角平分线上一点向两边作垂线， 可以得到一对全等三角形；证明两条线段的和等于第三条线段时， 用“截长补短” 法可以构造一对全等三角形（ 5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调

8、了数学的应用价值， 注意培养同学们应用数学的意识， 形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视例 5 要在湖的两岸 A 、 B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量 A ，B 两点间的距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案(1) 画出测量图案(2) 写出测量步骤（测量数据用字母表示）图 5(3) 计算 A 、 B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）分析：可把此题转化为证两个三角形全等第(1) 题，测量图案如图5所示第 (2) 题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在 AO 的延长线上取一点 C，并测得

9、OC=OA ，在 BO 的延长线上取一点 D，并测得 OD=OB ，这时测得 CD 的长为 a ，则 AB 的长就是 a 第 (3) 题易证 AOB COD ，所以 AB=CD ，测得 CD 的长即可得 AB 的长解： (1) 如图 6 示(2) 在陆地上找到可以直接到达A 、 B 的一点 O，在 AO 的延长线上取AB一点 C，并测得 OC OA ，在 BO 的延长线上取一点D，并测得 ODOB ，这时测出 CD 的长为 a ，则 AB 的长就是(3) 理由：由测法可得 OC=OA ， OD=OB 又 COD= AOB ， COD AOB CD=AB= a 评注：本题的背景是学生熟悉的，提供

10、了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识练习： 1已知：如图7， D 是 ABC 的边a OD C图 6ADEFBCAAB 上一点， AB FC， DF 交 AC 于点 E， DE=FE 求证： AE=CE 2如图 8，在 ABC 中，点 E 在 BC 上，点图 7DD 在 AE 上，已知 ABD= ACD ， BDE= CDE B求证： BD=CD 3用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图 9 所示，先在 AOB 的两边上取 OP=OQ ，再取 PM=QN ，连接 PN、QM ，得交点 C，则射线 OC 平分 AOB 你能说明道理吗？4如图 10

11、， ABC 中， AB=AC ，过点 A 作 GE C图 8AMPCOQ NB图 9AEFHDBCGE BC，角平分线 BD 、CF 相交于点H，它们的延长线分别交 GE 于点 E、 G试在图10 中找出 3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明P 图105已知：如图 11，点 C、 D 在线段AB 上， PC=PD 请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明所添条件为 _ ，你得到的一对全等三角形是_ _6如图 12， 1= 2，BC=EF ，那么需要ACDB图 11AF补充一个直接条件_（写出一个即可） ，才能BCAE使 ABC DEF图12D7如图 13，在 ABD 和 A

12、CD 中， AB=AC ， B= CBC求证： ABD ACD DC D图 138如图 14，直线 AD 与 BC 相交于点 O，O且 AC=BD ， AD=BC A求证： CO=DO A 图14B9已知 ABC ， AB=AC ，E、 F 分别E为 AB 和 AC 延长线上的点，且 BE=CF ，EFCABG交 BC 于 G求证： EG=GF 图15F10已知：如图 16， AB=AE ， BC=ED ，BE点 F 是 CD 的中点， AFCDCFD求证： B= E图 1611如图 17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（

13、）( A ) 带和去(B) 带去( C) 带去(D) 带去图 1712有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图 18 中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理图 1813如图 19，将两根钢条AA' 、 BB' 的中点O 连在一起，使AA' 、BB' 可以绕着点 O 自由转动， 就做成了一个测量工件，则 A' B' 的长等于内槽宽 AB ，那么判定 OAB OAB 的理由是（ ）（ A ）边角边（B ）角边角（ C）边边边（ D）角角边图 19专题二 角的平分线从一个角的顶点出发， 把一个角

14、分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路O（ 1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等1 2例 6 如图 20， 1 2，AEOB 于 E，DEBD OA 于 D，交点为 C34CAB求证： AC=BC 图 20证法： AE OB， BD OA ， ADC= BEC= 90 1 2， CD=C

15、E 在 ACD 和 BCE 中， ADC= BEC， CD=CE ， 3 4 ACD BCE(ASA) ， AC=BC 说明：本题若用全等方法证明点 C 到 OA 、 OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明， 原因在于同学们已经习惯了用全等的方法， 不善于直接应用定理， 仍去找全等三角形， 结果相当于重新证明了一次定理， 以后再学新定理， 应用时要注意全等定势的干扰， 注意采用简捷A证法例 7 已知：如图21， ABC 中， BD=CD ， 1E2求证： AD 平分 BAC 1D证明：过 D 作 DE AB 于 E，DF AC 于 FB图 21在 BED 与 CFD 中， 1 2， BED CFD 90 BED CFD(AAS) DEDF ， AD 平分 BAC F2C， BD=C