向量及向量的基本运算

1、向量及向量的基本运算一、教学目标：1 理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件2 会用向量的代数运算法则、 三角形法则、平行四边形法则解决有关问题. 不 断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则.三、教学过程：（一）主要知识：1）向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量。 向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。 零向量：长度为 0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行。 注意与0的

2、 区别 单位向量：模为1个单位长度的向量。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做 a的相反向量。记作-a。 相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为a = b。2）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设AB = a, BC = b，则a + b = AB BC = AC。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。说明：（1） o，a=ao = a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；3）向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向

3、量。记作-a,零向量的相反向量仍是零向量。 关于相反向量有：（i） -（_a） = a ; （ii） a+（ - a ）=（ - a）+a = 0 ;（iii）若a、b是互为相反向量，则 a = - b ,b = a ,a + b = 0。 向量减法：向量 a加上b的相反向量叫做 a与b的差，记作：a-b=a，（-b）。求 两个向量差的运算，叫做向量的减法。a -b的作图法：a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

4、（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4）实数与向量的积实数入与向量a的积是一个向量，记作 入a，它的长度与方向规定如下：(I) |访=慣-a;(n)当.0时，入a的方向与a的方向相同；当 ：0时，入a的方向与a的方向相反；当=0时，/.a = 0，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律：设入、卩为实数,则 入(卩a )=(入口 ) a (入+卩)a = a +卩a 入(a + b)=入a +入b5) 两个向量共线定理向量b与非零向量a共线二 有且只

5、有一个实数，使得b= .a。6) 平面向量的基本定理如果0(2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1, '2使：a - re ：A2e2其中不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的组基底。7)特别注意：(1) 向量的加法与减法是互逆运算。(2) 相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。(3) 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线 (重合)的情况。(4 )向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。(二) 主要方法：1 充分理解向量的概念和向量

6、的表示；2 数形结合的方法的应用；3. 用基底向量表示任一向量唯一性；4. 向量的特例0和单位向量，要考虑周全.(三) 例题分析：若a = b,则a = b(4)向量就是有向线段若 a=b, b=c，贝U a = c；(8)若四边形 ABCD是平行四边形，则例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向单位向量都相等(5)两相等向量若共起点，则终点也相同(7)若 a/b , b/c，贝U a/cAB 二 CD,BC 二 DA(9)已知A (3, 7), B (5, 2),将AB按向量a= ( 1, 2)平移后得到的向量 AB的坐标为(3, 3) （10） a = b的充要条件是| a | =

7、| b |且a / b ；解：（1）不正确，零向量方向任意，（2）不正确，说明模相等，还有方向（3）不正确，单位向量的模为 1,方向很多 不正确，有向线段是向量的一种表示形式（5）正确，（6）正确，向量相等有传递性（7）不正确，因若b =0，则不共线的向量 a,c7也有 a/O,O/c。（8）不正确，如图 J二 A B=CD,BC = DA （ 9）不正确，a = （1, 2）,二平移公式是X，将A ( 3 , 7) , B ( 5, 2 )分别代入可求得y = y+ 2A (4,9), B (6,4)，故 A B = ( 6,4)-( 4,9) = (2, - 5)。（10）不正确，当a/b

8、，且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b ；点评正确理解向量的有关概念例2、如图平行四边形 ABCD的对角线 OD,AB相交于点C,线段BC上有BC=3BM, 线段 CD 上 有一点 N 满 足 CD =0A 二 a,OB 二 b,试用a,b表示OM,ON,MN解： BM JbC3.OM =OB BM= -BA,61 '5.a b6 6BM = 1 BA =1 OA - OB = 1 a - b 6 61 CN CD, ON3D6= 4CD3= -OD31 一 1-a b MN =ON -OM Ja-丄b326ON 二 2 OD 二OA OB 二33点评根据向量的几何加减法

9、则，能对图形中的向量进行互相表示练习：ABC2中,A" 3AB，DE /bc 交 AC 于 E，ABC 边上中线交 DE 于 N设AB = a，AC = b，用a,b分别表示向量 AE,BC,DE,DN, AM ,AN .如图解： AE = 2 b,BC 二 b - a,DE = 2 b - a ,DN = 1 b - a333AM=b a,AN=b a23例3、一条渔船距对岸 4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达 对岸时，船的实际航程为 8km，求河水的流速.解：设AB表示垂直于对岸的速度，BC表示水流速度，则AC为实际速度航行时间为4km 2km/h=2h在厶A

10、BC中AB=2 无=4 BS =2*3所以，河水的流速为2.、3km/h点评求合力或分力 三角形法则例4、在厶ABC中，,合速或分速问题用向量解是一种常见问题，要善于运用平行四边形和D、E分别为AB、AC的中点，用向量的方法证明:DE平行且等于0.5BC一 1 分析:要证明DE平行且等于0.5BC,只要DE BC2解：如图 DE = AE - AD, BC = Ac - AB又D,E为中点 1 . 1 .AD AB, AE AC2 2即 DE二AE_A5=1ACAB 二2 21所以DE平行且等于丄0.5BC2点评几何问题可以转化为向量问题的证明，往往会变的简单明了C练习：已知G是厶ABC的重心

11、，求证： GA GB GC = 0证明：以向量GB,GC为邻边作平行四边形 GBEC，则GB GC =GE =2GD，又由G为 ABC 的重心知 AG 二 2GD，从而 GA 二-2GD , /. GA GB GC 二-2GD 2GD 二 0。例5、设q ,e2是不共线的向量，已知向量AB二2q ke2 ,CB = q 3e2,CD = 2q - e2 ,若A,B,D三点共线，求k的值分析：使ABBD解: BD =CD -CB二号 _4e2 ,使 AB 二 BD 2号 ke2 二（号4e2）k - -8点评共线或平行问题，用向量或坐标平行的充要条件解决例3.经过 OAB重心G的直线与OA,OB

12、分别交于点P , Q ,1 1设 OP 二 mOA, OQ = nOB , m, n R，求 的值。n m11宁 b）， PQe1 彳1 *PGSG-OP 飞® 3b，则OG由P,G,Q共线，得 存在实数，使得 PQPG，即 nb - ma = £- m)a £ b-m - ( m) 从而3n 二1 3(四) 巩固练习：1.已知梯形ABCD中，T呻 彳AD = e2，用 e1|ab2|dc |, m,e2 表示 DC、BC、N分别是DC、AB的中点，若AB(2)(3)斗f t rt1rf1 tBC = BA AC = -AB AC = AD DC 'AB=

13、 ADAB= e2 e121e1 -e241MN = MD DA AN AB - AD AB 421 AB - AD4(1) 设两个非零向量 eie2不共线，如果T T T T TAB = 2e-i 3e2, BC 二 6ei23e2,CD =4e1 -8e2 ,求证：A,B, D 三点共线(1)所以2 设 %A B2 1 e 2,k e 二 C 3B1二.BC = 6e, +23e2,CD = 4e, -8e2个啣不T共线的向量，已知2, e，(若 A,(B,DD三点共线，求ek的值证明：因为BCBD =10ei, 15e：又因为AB =2e 3e2T T得 BD =5AB即 BD / AB又因为公共点B所以A,B, D三点共线；,I