初中数学分式化解求值解题技巧大全

1、化简求值常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、 应用分式的基本性质例 1如果 x12 ，则x2的值是多少 ?xx2x41解：由 x0，将待求分式的分子、分母同时除以x2 ，得原式 =.111111221.x21( x)213x2x2、倒数法例 2如果x12，则x2的值是多少 ?xx4x21解：将待求分式取倒数，得x4x21x211(x121213x2x2)2x原式=1.33、平方法例 3已知 x12，则 x21的值是多少？xx2解：两边同时平方，得x2214, x2

2、1422.x2x24、设参数法例 4已知abc0 ，求分式ab2bc3ac的值 .235a22b23c2解：设 abck ，则235a 2k,b 3k , c 5k .原式 = 2k3k23k5k3 2k 5k6k 26 .(2 k )22(3k )23(5k )253k 253例 5已知 a bc , 求 ab c 的值 .bcaab c解：设 abck ，则bcaabk, bck, cak. cakbk kckk kck 3 ， k3 1,k 1 a b c原式 = abc1.abc5、整体代换法例 6已知 113,求2x3xy2 y 的值 .xyx2 xyy解：将已知变形，得yx3xy,

3、 即 xy3xy原式 = 2( xy)3xy2(3xy)3xy3xy3 .( xy)2xy3xy2xy5xy5例：例5.已知a b0，且满足a22b，求a3b 3的值。2ab ba213ab解：因为221 ( a2ab2)aabbab2b2所以 (ab) 2(ab)13ab20a2abb 2所以 (ab2)(ab1)03ab1b)2所以 ab 2 或 ab1(a3ab3ab1由 ab0(1)23ab故有 ab13ab1a3b 3(aba)(2abb2 )所以13ab13ab13ab3ab11评注：本题应先对已知条件22aabbab2进行变换和因式分解，并由a b0确定出2a b1，然后对所给代

4、数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。6、消元代换法例 7已知 abc1, 则abc.ac c1ab a 1 bc b 1解： abc1, c1,abab1原式 =1b1ababab ab111aababaab1aba11abaa1ababa11.aba17、拆项法例 8若 a b c0, 求 a(1 1)b( 1 1 ) c( 1 1) 3 的值 .bcacab解：原式 =a( 11)1b( 11)1c( 11) 1bcacaba( 1 1 1 ) b( 1 1 1) c( 1 1 1 )abcabcabc( 111)( abc)abc a b c 0原式 =0.8、配方法例 9若 a

5、b13, b c 13, 求1的值 .2b2c2aab ac bc解：由 ab 13, bc13, 得 a c2 . a2b2c2ab ac b21(ab)2(bc)2(ac)2211202原式=1.6化简求值切入点介绍解题的切入点是解题的重要方向，是解题的有效钥匙。分式求值有哪些切入点呢？下面本文结合例题归纳六个求分式的值的常见切入点，供同学们借鉴：切入点一：“运算符号”点拨：对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式的分母的运算符号提出来，即可化成同分母分式进行相加减。例 1：求b24a22abb 2a解：原式b24a2b24a=b2a b=b2a2a24a 2b2=b2a=(

6、 2ab)(2a b)(2ab) =2ab(2a=b)评注： 我们在求解异分母分式相加减时，先要仔细观察这两个分式的分母是否互为相反数。若互为相反数，则可以通过改变运算符号来化成同分母分式，从而避免盲目通分带来的繁琐。切入点二：“常用数学运算公式”点拨：在求分式的值时， 有些数学运算公式直接应用难以奏效，这时， 需要对这些数学公式进行变形应用。例 2：若 a23a10，则 a31a3 的值为 _解：依题意知， a0，由 a 23a10 得a 213a ，对此方程两边同时除以a 得 a131111a13(a21(a)( a233 (323)18 aa3)( a2 )a)aaa评注：在求分式的值时

7、，要高度重视以下这些经过变形后的公式的应用： a2b2(ab)(ab) a 2b2(ab)22ab( ab) 22ab a3b3(ab)(a2abb2 )(ab)( ab) a3b3(ab)( a2abb2 )(ab)( ab)223ab(ab)33ab(ab) ab1 ( a b)2(a b) 2 4切入点三：“分式的分子或分母”点拨：对于分子或分母含有比较繁杂多项式的分式求值，往往需要对这些多项式进行分解因式变形处理，然后再代题设条件式进行求值。例 3：已知 x y 3, xy5 ，求 x23xy 2y 2的值。x2 y 2xy2解：x23xy2 y 2( x 2y)( x y)x yx2

8、 y 2xy2xy( x 2 y)xy x y3, xy5原式= 3355评注：分解因式的方法是打开分式求值大门的有效钥匙，也是实现分式约分化简的重要工具。像本题先利用十字相乘法对分子分解因式，利用提公因式法对分母分解因式，然后约去相同的因式，再代题设条件式求值，从而化繁为简。切入点四：“原分式中的分子和分母的位置”点拨：对于那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式，倘若直接求值，则难以求解。但是，我们可以先从其倒数形式入手，然后再对所求得的值取其倒数，则可以把问题简单化。例 4：已知x1，则x 2的值为 _2x13x 4x 2x1解：依题意知，x0，由2x11 得xx3x 2x13 ，即 x11

9、3 从而得 x12xxx x4x 21x211(x1 ) 21 221 3x2x 2x故x214x213x评注：取倒数思想是处理那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式求值问题的重要法宝。像本题利用取倒数思想巧变原分式中的分子和分母的位置，从而化难为易。切入点五：“题设条件式”点拨：当题设条件式难以直接代入求值时，不妨对其进行等价变换，也许可以找到解题钥匙。例 5：已知 323 ，则 2x3 yxy 的值为 _xy7 xy9y6x解：由 323得 3 y2x3xy ，则 2x3 y3xyxy 2x 3yxy2x3 yxy33xyxy4xy17xy9y6x3(3 y2x) 7xy3xy7xy16xy4评注：等价变换思想是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁，是恒等变形的充分体现。像本题通过对题设条件式作等价变换，找到重要解题条件“3y2x3xy ”和“ 2x3 y3xy ”，然后作代换处理，从而快速求值。切入点六：“分式中的常数值”点拨：当题设条件式的值和所要求解的分式的常数相同时， 应注意考虑是否可以作整体代入变形求解，以便更快找到解题的突破口。例 6：设abc1，求a1bcb1acc的值解： abc1ababc1原式 =abcabaabcbcb1acc1=1bcb1bcbcb1acc1=1 bc=1b1bcb1accb1a1ababc bc=1babc=1bbcb1aabcabb11