函数单调性的定义与应用名师制作优质教学资料

1、函数的性质单调性【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性一、增函数与减函数 增函数与减函数 定义：对于函数 f(x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ,x 2.若当 x1<x2 时，都有 f(x 1)<(fx 2), 则说 f(x) 在这个区间上是 增函数若当 x1<x2 时，都有 f(x 1)>(fx 2), 则说 f(x)在这个区间上是 减函数说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数， 而在另一

2、些区间上不是增函数. 例如函数 y=x2，当 x 0,+时是增函数，当x(-,0) 时是减函数 . 单调性与单调区间若函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x) 在这一区)间具有（严格的） 单调性 ，这一区间叫做函数y=f(x) 的单调区间 . 此时也说函数是这一区间上的 单调函数 .在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明： 函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数 （或减函数），例如，图 5 中，在 x1 ,x 2 那样的特定位置上，虽然使得 f(x 1)<(fx 2

3、) ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的 “f(x 1)<(fx 2 ) 或 f(x 1)>(fx 2) ”改为“ f(x 1)(fx 2)或 f(x 1) (fx 2 ) ”即可；定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.几何特征： 在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 例题例 1图 6 是定义在闭区间 -5 ，5 上的函数 y

4、=f(x) 的图象，根据图象说出 y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x) 是增函数还是减函数 .1的增减性的正确说法是：练习：1、函数 yx1A单调减函数B.在 (,0) 上是减函数 , 在 (0,) 上是减函数C. 在(,1) 是减函数 , 在 (1,) 是减函数 D. 除 x1点外, 在(, ) 上是单调递减函数二次函数的单调性： 对函数 fx ax2bxc(a0)，( )当 a0时函数 f ( x) 在对称轴 xb的左侧单调减小，右侧单调增加；2a当 a0时函数 f ( x) 在对称轴 xb的左侧单调增加，右侧单调减小；2a例：讨论函数 f(x) x22ax 3在

5、(-2,2)内的单调性。二、函数单调性的证明步骤： 任取 x1， x2 D，且 x1<x2； 作差 f(x 1 ) f(x 2) ；变形（通常是因式分解和配方） ；定号（即判断差f(x 1) f(x 2) 的正负）；下结论（即指出函数f(x) 在给定的区间D上的单调性）例 1、证明函数 yx1 在（ 1，+）上为减函数x例 2、证明函数f ( x)1x2 - x 在 R 上是单调减函数。练习 1证明函数 f(x)=1/x在 (0,+) 上是减函数 .练习 2试判断函数f (x)x 2 - 1 在 (0,) 上的单调性并加以证明。x已知函数 f(x) x2例a(a>0)在 (2， )

6、上递增，求实数a 的取值范围x三、复合函数单调性对于函数 yf ( u) 和 u g( x) ，如果 u g( x) 在区间 ( a， b) 上具有单调性，当 x( a，b) 时，u( m，n) ，且 yf ( u) 在区间 ( m，n) 上也具有单调性，则复合函数 yf ( g( x) 在区间 ( a，b) 具有单调性的规律见下表：例：函数 yx 22x3 的单调减区间是（）A. (, 3B.1, )C.( ,1D.1, )求函数单调区间（复合函数）1. 函数 y1 的单调区间是（）xA（- ，+）B.（-，0） （1， ，）C.（- ，1） 、（1， ） D.（-，1） （1， ）2.下列

7、函数中 , 在区间（ 0,2 ）上为增函数的是 ().A y 3x 2B y3C y x24x 5xD y3x28x103函数 yx22x3 的增区间是（）。A -3 ，-1 B -1,1 C 11 a( , 3) D ( 1, )34、已知函数 f (x) x1判断 f (x) 在区间 0， 1和（ 1，+）上的单调性。x ，五、函数单调性的应用：判断函数yf ( x) 的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例 （ 1）若函数 f ( x) 2x 2ax 5 在 (-2,) 上单调递增，在(- ,-2) 上单调递减，求其实数 a 的取值；（ 2）若函数f ( x)2x2ax5 在 (-2,) 上单调递增，其实数a 的取值范围；（ 3）若函数f ( x)ax22x5 在 (-2,) 上单调递增，其实数a 的取值