初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)

1、二次函数试题论：抛物线 y1 x21是由抛物线 y1 x2怎样移动得到的？22抛物线 y1 ( x1) 2 是由抛物线 y1 x 2 怎样移动得到的？22抛物线 y1 ( x1) 21是由抛物线 y1x21怎样移动得到的？22抛物线 y1 ( x1) 21是由抛物线 y1 ( x 1) 2 怎样移动得到的？22抛物线 y1 ( x1) 21是由抛物线 y1 x 2 怎样移动得到的？22选择题：1、 y=(m-2)x m2- m是关于 x 的二次函数，则m=（）A -1B2C -1或2Dm 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a 0) 模型的是（）A 在一定距离内，

2、汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2 个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（）Ay= （ x-2）2+2B y= （ x+2） 2+2Cy= （ x+2） 2+2D y= （ x-2） 2 2y5、抛物线 y=1x2-6x+24 的顶点坐标是（）2A （ 6， 6）B （ 6，6）C （ 6，6）D （6， 6）6、已知函数 y=ax 2+bx+c, 图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个01x abc a cb

3、 a+b+c 1 c bA BCDy7、函数 y=ax 2-bx+c （ a 0）的图象过点（ -1， 0），则abc的值是（）=bcacab1-1 0xA -1B1C1D2-28、已知一次函数y= ax+c 与二次函数 y=ax2+bx+c （ a 0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（）yyyyxxxxABCD二填空题：13、无论 m 为任何实数，总在抛物线y=x 22mx m 上的点的坐标是 。16、若抛物线y=ax 2+bx+c （ a 0）的对称轴为直线x，最小值为，则关于方程ax2+bx+c 的根为 。22k17、抛物线 y= （ k+1） x +k -9 开口向下，且经过原

4、点，则解答题：（二次函数与三角形）1、已知：二次函数y=x2+bx+c ，其图象对称轴为直线 x=1，且经过点（ 2， ）（ 1）求此二次函数的解析式（ 2）设该图象与x 轴交于 B、C 两点（ B 点在 C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E，使 EBC的面积最大，并求出最大面积2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于 A、B 两点（ A 在 B 的左侧），与 y轴交于点 C (0，4)，顶点为（ 1， 9y）C2（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使 CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标

5、（ 3）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与 A、 B 不重合），分别连接 AC、 BC，过点 E 作 EF AC 交线段 BC 于点 F ，连接 CE，记 CEF 的面积为 S，S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的最大值及此时 E 点的坐标；若不存在，请说明理由AOD(第 2题图)Bxy3、如图，一次函数y 4x 4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A 、C 两点，抛物线 y4x2 bx3c 的图象经过 A、 C 两点，且与 x 轴交于点 BA O（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）设抛物线的顶点为 D，求四边形 ABDC 的面积；（ 3）作直线 MN 平行于 x 轴，分别交线段

6、AC、BC 于点 M 、N问在 x 轴上是否存在点P，使得 PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标； 如果不存在，C请说明理由Bx(第 3 题图)（二次函数与四边形）4、 已知抛物线 y1 x2mx 2m722(1)试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3 时，抛物线的顶点为点C，直线y=x 1 与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点 D 抛物线上是否存在一点平移直线CD ，交直线P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；AB 于点 M，交抛物线于点N，通过怎

7、样的平移能使得C、D、 M、N 为顶点的四边形是平行四边形5、如图，抛物线y mx2 11mx24m ( m0) 与 x 轴交于 B、C 两点（点 B 在点 C 的左侧），抛物线另有一点 A 在第一象限内，且 BAC 90°（ 1）填空： OB_ ，OC_ ；（ 2）连接 OA，将 OAC 沿 x 轴翻折后得 ODC，当四边形 OACD 是菱形时，求此时抛物线的解析式；（ 3）如图 2，设垂直于 x 轴的直线 l： xn 与（ 2）中所求的抛物线交于点M，与 CD 交于点 N，若直线 l 沿 x 轴方向左右平移，且交点 M 始终位于抛物线上 A、C 两点之间时，试探究：当n 为何值时

8、，四边形AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大值yyl: x nAMAOBCxOBCNxDD6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形， BC AD ， BAD=90 °， BC 与 y 轴相交于点M，且 M 是 BC 的中点， A、B、D 三点的坐标分别是 A （ 1 ，0）， B（1 ，2 ），D （ 3， 0）连接 DM ，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到ON 若抛物线 y ax 2bx c 经过点 D、M 、N （ 1）求抛物线的解析式（ 2）抛物线上是否存在点 P，使得 PA=PC，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（ 3）设抛物线与

9、x 轴的另一个交点为E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值7、已知抛物线yax22ax3a ( a0) 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点（ 1）求 A 、 B 的坐标；（ 2）过点 D 作 DH 丄 y 轴于点 H ，若 DH=HC ，求 a 的值和直线CD 的解析式；（ 3）在第（ 2）小题的条件下，直线CD 与 x 轴交于点E，过线段OB 的中点 N 作 NF 丄 x 轴，并交直线CD 于点 F，则直线NF上是否存在点M ，使得点 M 到直线 CD 的距离等于

10、点M 到原点 O 的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由（二次函数与圆）8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（ a0）的图象经过M （1，0）和 N（ 3， 0）两点，且与y 轴交于 D（0， 3），直线 l 是抛物线的对称轴1）求该抛物线的解析式2）若过点A（ 1， 0）的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式3）点 P 在抛物线的对称轴上，P 与直线 AB 和 x 轴都相切，求点P 的坐标9、如图， y 关于 x 的二次函数y=（ x+m ）（ x3m）图象的顶点为M ，图象交 x 轴于 A 、B 两点，交 y 轴正半轴

11、于D 点以 AB 为直径作圆，圆心为 C定点 E 的坐标为（ 3， 0），连接 ED（m 0）（ 1）写出 A 、 B、 D 三点的坐标；（ 2）当 m 为何值时 M 点在直线 ED 上？判定此时直线与圆的位置关系；（ 3）当 m 变化时，用 m 表示 AED 的面积 S，并在给出的直角坐标系中画出 S 关于 m 的函数图象的示意图。10、已知抛物线yax 2bxc 的对称轴为直线x2 ，且与 x 轴交于 A 、B 两点 与 y 轴交于点 C其中 AI(1 ，0)，C(0，3 )（ 1）（ 3 分）求抛物线的解析式；（ 2）若点 P 在抛物线上运动（点 P 异于点 A ）（ 4 分）如图l当

12、PBC 面积与 ABC 面积相等时求点P 的坐标；（ 5 分）如图 2当 PCB= BCA 时，求直线CP 的解析式。答案：1、解：（ 1）由已知条件得，（ 2 分）解得 b=， c=，此二次函数的解析式为y=x2x；（ 1 分）（ 2） x2 x=0，x1= 1， x2=3，B（ 1，0）， C（3， 0）， BC=4，（ 1 分）E点在 x 轴下方，且 EBC 面积最大，E 点是抛物线的顶点，其坐标为（1， 3），（ 1 分） EBC的面积 = ×4×3=6（ 1 分）9）设抛物线的函数关系式为y a ( x 1) 2 92、（ 1） 抛物线的顶点为（ 1， 2 a (

13、01) 2 9 412抛物线与 y 轴交于点 C (0，4) ，解得 a22所求抛物线的函数关系式为y1( x 1)2922（ 2）解： P1 (1， 17)， P2 (1，17)， P3(1， 8)， P4 (1，17)，198（ 3）解：令2( x 1) 0，解得 x1 2， x1 422抛物线 y 1( x1) 29与 x 轴的交点为 A ( 2， 0)C (4， 0)22过点 F 作 FMOB 于点 M， EF AC， BEF BAC， MF EB又OC 4， AB 6， MF EB× OC2EBOCAB21AB131设 E 点坐标为(x，0)，则 EB 4x， MF (4

14、x)SS BCESBEFEB· OCEB· MFEB(OC3222 MF ) 1 (4 x)4 2(4 x) 1x22x81( x 1)2 3233333y a 1 0， S 有最大值当 x 1 时， S 最大值 3此时点 E 的坐标为(1， 0)3EA OBx3、（ 1） 一次函数 y 4x 4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 C 两点， A ( 1，0)C (0， 4)把 A ( 1， 0) C (0， 4)代入 y4x2 bx c 得34 b c0b84 28x 4 3解得3 y x3c 4c 43C4 284216顶点为D（1，16）（ 2） y x x

15、4 ( x 1)33333D由 D （ 1， 16） C (0， 4)设直线 DC 交 x 轴于点 Ey(第 3 题图)43易求直线 CD 的解析式为 yx 43116PAOBx易求 E（ 3， 0），B（ 3， 0）S16EDB 2× 6×3SECA 1× 2× 4 4S 四边形 ABDC SEDB SECA 12MN2（ 3）抛物线的对称轴为x 1C(第3题图)做 BC 的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点 D3易求 AB的解析式为 y 3x 3 D 3E 是 BC 的垂直平分线 D3E AB设 D3E 的解析式为 y3x b D 3E 交 x 轴

16、于（ 1， 0）代入解析式得b 3, y 3x 3把 x 1 代入得 y 0 D3 (1， 0),过 B 做 BHx 轴，则 BH111在 Rt D1HB 中，由勾股定理得D 1H 11 D1（ 1，113）同理可求其它点的坐标。可求交点坐标D1（ 1，113）, D2（ 1，22）, D3( 1， 0), D4 ( 1,113) D5（ 1， 22）4、 (1)24 12m7= m24m 7 = m24m 4 3=2= mm 23，不管 m 为何实数，总有22m 22= m23 0，无论 m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点 0，2(2) 抛物线的对称轴为直线 x=3， m 3

17、，y1x23x5=1x32抛物线的解析式为2 ，顶点 C 坐标为（ 3， 2），222yx1,x11x27解方程组15 ，解得或y23xy10y2，所以 A 的坐标为（ 1， 0）、B 的坐标为（ 7，6），x262x 3时，D的坐标为（3，），设抛物线的对称轴与x 轴的交 点为E，则E的坐标为（，y=x1=31=2230），所以 AE=BE=3， DE =CE=2， 假设抛物线上存在一点P 使得四边形 ACPD 是正方形，则AP、CD 互相垂直 平分且相等，于是P 与点 B 重合，但 AP= 6，CD= 4，AP CD ，故抛物线上不存在一点P 使得四边形 ACPD 是正方形 ( )设直线

18、CD 向右平移 n 个单位（ n 0）可使得 C、 D、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD 的解析式为 x=3n ，直线 CD与直线 y=x1 交于点 M（ 3n ， 2n ），又 D 的坐标为（ 3， 2）， C坐标为（ 3， 2）， D 通过向下平移4 个单位得到 C C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边形（）当四边形CDMN 是平行四边形，M 向下平移4 个单位得 N， N 坐标为（ 3n ， n2），又 N 在抛物线 y1 x23x5上，n21 3n3 3 n5，22222解得 n10 （不合题意，舍去）

19、， n22 ，（）当四边形CDNM 是平行四边形，M 向上平移4 个单位得 N， N 坐标为（ 3n ， n6），又 N 在抛物线 y1 x23x5上， n61 3n3 3 n5，22222解得 n1117（不合题意，舍去） ， n2117 ，( ) 设直线 CD 向左平移 n 个单位（ n 0）可使得 C、 D、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD 的解析式为 x=3n ，直线 CD 与直线 y=x 1 交于点 M（ 3 n ， 2n ），又 D 的坐标为（3，2），C 坐标为（ 3， 2）， D 通过向下平移 4 个单位得到 C C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，四

20、边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边形（）当四边形CDMN 是平行四边形，M 向下平移4 个单位得 N， N 坐标为（ 3n ，2n ），又 N 在抛物线 y1 x23x5上，2n13 n3 3 n5 ，22222解得 n10 （不合题意，舍去） ， n22 （不合题意，舍去） ，（）当四边形CDNM 是平行四边形，M 向上平移4 个单位得 N， N 坐标为（ 3n ， 6n ），又 N 在抛物线 y1 x23x5上，6n1 3n3 3 n5，22222解得 n117 ， n117 （不合题意，舍去） ，12综上所述，直线CD 向右平移2 或（ 117 ）个单位或向左平移（1

21、17 ）个单位，可使得C、D 、M、N 为顶点的四边形是平行四边形5、解：（ 1） OB 3， OC 8（ 2）连接 OD ，交 OC 于点 Ey四边形 OACD 是菱形 AD OC，OE EC 1× 84BE4312A又 BAC 90°， ACE BAEAECEOB ECxBEAE AE2 BE·CE 1× 4DAE2点 A 的坐标为 (4， 2)把点 A 的坐标(4， 2)代入抛物线 y mx211mx 24m，得 m 1抛物线的解析式为 y1x211x12yl: x n222M（ 3） 直线 x n 与抛物线交于点MA点 M 的坐标为(n，1211

22、2n n 12)2C由（ 2）知，点 D 的坐标为（4， 2），OB Ex1N则 C、D 两点的坐标求直线CD 的解析式为Dy x 41211111 2点 N 的坐标为n 4) MN （2n 4） 5n 8( n，2n 2n 12）（2n22 S 四边形 AMCN S AMN S CMN 1MN · CE1（ 1n2 5n 8）× 4 (n 5)2 9222当 n 5 时， S 四边形 AMCN 96、解：（ 1） BC AD ，B （ -1， 2 ）， M 是 BC 与 x 轴的交点， M（ 0 ， 2 ），9a3bc0 DM ON ， D（ 3 ，0）， N（ -3 ，

23、 2），则c2，解得9a3bc01， y1 x21 x 2 ；9a93b13c2（ 2 ）连接 AC 交 y 轴与 G， M 是 BC 的中点， AO=BM=MC ABC=90° ， BG AC ，即 BG 是 AC 的垂直平分线，要使在直线 BG 上，点 P 为直线 BG 与抛物线的交点， AB=BC=2 ， AG=GC ，即 G（ 0， 1），PA=PC ，即点 P 在 AC 的垂直平分线上，故P设直线 BG 的解析式为 ykxb ，则k b2k1x 1 ，b1，解得1， ybyx1x1 332x23 32，解得，y1 x2 1 x 2y12 3 2y22 3 293点 P（33

24、2，23 2）或 P（3-3 2 ， 23 2），（ 3 ） y1 x21 x21 ( x3) 29，对称轴 x3，939242令1 x21 x 20 ，解得 x13 ， x26，E（6 ，0），933故 E、D 关于直线 x对称， QE=QD ， |QE-QC|=|QD-QC|，2要使 |QE-QC| 最大，则延长DC 与 x3相交于点 Q ，即点 Q 为23直线 DC 与直线 x的交点，2由于 M 为 BC 的中点， C （1 ， 2），设直线 CD 的解析式为y=kx+b ，3kb0k1x 3，则b，解得b， yk23当 x3 时， y339，故当 Q在（3 ，9 ）的位置时， |QE-

25、QC| 最大，22222过点 C 作 CF x 轴，垂足为 F ，则 CD=CF 2DF 222222 2 7、解：（ 1）由 y=0 得， ax 2-2ax-3a=0 ，a0， x2-2x-3=0 ，解得 x1 =-1 ， x2 =3 ，点 A 的坐标（ -1 ， 0），点 B 的坐标（3，0）；（ 2 ）由 y=ax 2-2ax-3a，令 x=0 ，得 y=-3a ， C （0 ， -3a ），又 y=ax 2-2ax-3a=a （ x-1 ） 2-4a ，得 D （ 1， -4a ），DH=1 ， CH=-4a- （ -3a ） =-a ， -a=1 ， a=-1 ， C（ 0， 3），

26、 D（ 1，4），设直线 CD 的解析式为 y=kx+b ，把 C 、D 两点的坐标代入得，解得，直线 CD 的解析式为 y=x+3 ；（3）存在由（ 2）得， E（-3， 0），N（-，0） F（， ），EN=，作 MQ CD 于 Q，设存在满足条件的点M（， m），则 FM=-m ，EF=， MQ=OM=由题意得：Rt FQM Rt FNE ，=，整理得 4m 2+36m-63=0 ， m2 +9m=，m 2+9m+=+（ m+） 2=m+=± m1= ， m2=-，点 M 的坐标为 M1（，），M2（， -）8、解：（ 1） 抛物线2y 轴交于 D（ 0， 3），y=ax +b

27、x+c （ a0）的图象经过 M （ 1， 0）和 N（ 3， 0）两点，且与假设二次函数解析式为： y=a（x 1）（ x 3），将 D（ 0， 3），代入 y=a（ x1）（ x 3），得： 3=3a， a=1，抛物线的解析式为： y= （ x 1）（ x 3） =x 2 4x+3；（ 2） 过点 A （ 1， 0）的直线 AB 与抛物线的对称轴和 x 轴围成的三角形面积为6，AC×BC=6 ，抛物线 y=ax2+bx+c （a0）的图象经过 M （ 1， 0）和 N（ 3， 0）两点，二次函数对称轴为x=2 ， AC=3 ， BC=4 ， B 点坐标为：（ 2，4），一次函数解

28、析式为； y=kx+b ，解得：， y=x+；（ 3） 当点 P 在抛物线的对称轴上，P 与直线 AB 和 x 轴都相切， MO AB ， AM=AC ，PM=PC ， AC=1+2=3 ，BC=4 ， AB=5 ， AM=3 ， BM=2 ， MBP= ABC ， BMP= ACB ， ABC CBM ， PC=1.5， P 点坐标为：（ 2， 1.5）9、解：（ 1） A （ m， 0）， B（ 3m， 0），D （0，m）（ 2）设直线 ED 的解析式为y=kx+b ，将 E（ 3，0）， D（ 0，m）代入得：解得， k=， b=m直线 ED 的解析式为y=mx+m将 y= （ x+m ）（ x3m）化为顶点式： y= 2（ x+m ） +m顶点 M 的坐标为（ m，m）代入 y=mx+2m 得： m =m m 0， m=1所以，当 m=1 时， M 点在直线 DE 上连接 CD， C 为 AB 中点， C 点坐标为 C（ m， 0） OD=， OC=1 ， CD=2 ， D