函数和导数复习(1).

1、函数与导数复习（1）学习目标：理解基本函数的性质（函数值，定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图像性质）理解导数的几何意义导数公式运算法则，利用导数求单调性和极值。一、概念回顾二、重点难点分析1、函数的零点和极值点2、利用导数求函数的单调性3、函数的图像（对称性和特殊点，构造函数解决问题）三、例题精选1( 1 )x 的零点个数为（1. 函数 f (x)x2）2A 0B1C2D 32设函数 fx2）ln x ，则（x1A x为 fx2C x2 为 fx的极大值点B的极大值点D1x为 fx 的极小值点2x2 为fx 的极小值点【解析】 f 'x21x20 ，则 x2x2xx2，令 f &

2、#39; x21x2当 x2 时， f 'x0 ；x2xx2当 x2时， f 'x21x20 x2xx2即当 x2 时， fx是单调递减的；当x 2 时， fx 是单调递增的所以 x2 是 fx的极小值点故选D 3.已知函数f ( x)ln xkk为常数 , e2.71828是自然对数的底数， 曲 线exy f x在点 1，f 1 处的切线与 x 轴平行。求 k的值； 求 fx 的单调区间； 设g xxfx , 其中 fx 为fx 的导函数 . 证明：对任意 x0, g x1e 2 .考点：导数，几何意义，单调性。解：（）由 fx= ln x+k,ex得f x1 kx xln

3、x , x0,xex由于曲线 yfx 在 1, fx处的切线与 x轴平行 .所以f 10,因此k1.（）由 得fx11 xxln x , x0,xxe令 h x1 x x ln x, x0,当x0,1时, h x当x1,时,h x0.0;又 ex 0,所以x0,1 , fx0;x1, fx0.因此fx的单调增区间为0,1 ，单调减区间为 1,.（）因为g x=xfx,所以g x = 11-x-x ln x ,x0，+ .ex由（）hx1xx ln x,求导得hxl nx2l nx2,l ne所以当 x0, e 2时 , hx0,函数 hx 单调递增；当 xe 2 ,+时, h x<0,

4、函数 h x单调递减 .所以当 x0,+时 ,hxh e-2=1+e-2.又当 x0,时,11,0ex所以当1220,时 , ex h x1 e ,即 g x 1 e .x综上所述结论成立。4（本小题满分12 分）已知函数 f ( x)1 x3x2ax 3（）讨论f ( x) 的单调性；（）设f( x) 有两个极值点 x1 , x2 ，若过两点 ( x1 , f ( x1 ) ， ( x2 , f ( x2 ) 的直线 l 与 x 轴的交点在曲线yf ( x) 上，求 a 的值。【命题意图】 本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念

5、，求解参数值的运用。解：（ 1）依题意可得f ( x)x22xa当44a0 即 a1 时， x22xa0 恒成立，故 f (x)0 ，所以函数f ( x) 在 R 上单调递增；当4 4a0 即 a1 时，f (x)x22x a0有两个相异实根x1244a11 a , x211 a 且 x1x22故由 f ( x)x22xa0 x(,11a ) 或 x( 11a ,) ，此时 f (x)单调递增由 f (x)x22x a011ax11a ，此时此时f (x) 单调递增递减综上可知当 a1时， f ( x) 在 R 上单调递增； 当 a1 时， f ( x) 在 x(, 11a ) 上单调递增，在

6、 x ( 11a,) 单调递增，在( 11 a , 1 1 a ) 单调递减。（2）由题设知，x1, x2 为方程 f (x)0 的两个根，故有a 1, x122x1a, x222x2a因13f ( 132 (a 1)x2a同理 f (x2 )33因此直线 l 的方程为 y2 (a 1)xa33设 l 与 x 轴的交点为 ( x0,0) ，得 x0a2(a1)此x )2 a113而 f (x0 ) 1(a)3(a)2a2a23(12a217a6)32(a1)2(a1)2(a1)24(a1)由题设知，点 ( x0 ,0) 在曲线 yf ( x) 的上，故 f (x0 ) 0，解得 a0 或 a2

7、3或 a4233所以所求 a 的值为 a0或 a或 a3。4【点评】试题分为两问，题面比较简单， 给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没有难度， 但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。5（ 2012 年江苏省16 分） 若函数 yf ( x) 在 xx0 处取得极大值或极小值，则称x0 为函数 y f (x)的极值点。已知 a， b 是实数， 1 和1是函数 f ( x)x3ax2bx 的两个极值点（ 1）求 a 和 b 的值；（ 2）设函数g( x) 的导函数 g ( x)f (x)2 ，

8、求 g( x) 的极值点；（ 3）设 h( x)f ( f ( x)c ，其中c2 ，2 ，求函数 yh( x) 的零点个数【答案】 解：（ 1）由 f ( x)x3ax2bx，得 f' ( x) 3x22axb 。1 和 1是函数 f (x)x3ax 2bx 的两个极值点， f'(1)32ab=0，f' ( 1)32ab=0 ，解得 a =0， b = 3。（ 2） 由（ 1）得， f ( x)x33x， g ( x)f ( x) 2=x33x 2=x 12，解得 x1 =x2 =1， x3 =2 。x 2当 x <2 时， g (x) < 0；当2 < x < 1 时， g ( x) > 0 ， x= 2是 g ( x) 的极值点。当 2 < x < 1 或 x >1 时， g ( x) > 0 ，x=1 不是 g (x)