初中数学动点相似三角形练习题(答案)

1、经典相似三角形1 / 4相似三角形（附答案）5已知：如图所示，在 ABC 和 ADE中， AB=AC， AD=AE， BAC=DAE，且点 B， A， D 在一条直线上，连接BE， CD， M， N 分别为 BE， CD的中点（ 1）求证： BE=CD； AMN 是等腰三角形；（ 2）在图的基础上，将 ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180°，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立；（ 3）在（ 2）的条件下，请你在图中延长ED交线段 BC于点 P求证： PBD AMN分析：（ 1）因为 BAC=DAE，所以 BAE=CAD，又因为AB=AC，A

2、D=AE，利用 SAS可证出 BAE CAD，可知BE、 CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证AMN是等腰三角形（ 2）利用（ 1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变（ 3）先证出 ABM ACN（ SAS），可得出 CAN=BAM，所以 BAC=MAN（等角加等角和相等） ，又 BAC=DAE，所以 MAN=DAE=BAC，所以 AMN， ADE和 ABC都是顶角相等的等腰三角形，所以PBD=AMN，所以PBD AMN（两个角对应相等，两三角形相似）（ 1）证明： BAC=DAE， BAE=CAD， AB=AC，AD=AE， ABE ACD， BE=CD由 AB

3、E ACD，得 ABE=ACD，BE=CD， M、 N 分别是 BE， CD的中点， BM=CN又 AB=AC， ABM ACN AM=AN，即 AMN为等腰三角形（ 2）解：（1）中的两个结论仍然成立（ 3）证明：在图中正确画出线段 PD，由（ 1）同理可证 ABM ACN， CAN=BAM BAC=MAN又 BAC=DAE， MAN=DAE=BAC AMN， ADE 和 ABC都是顶角相等的等腰三角形 PBD和 AMN都为顶角相等的等腰三角形， PBD=AMN， PDB=ANM， PBD AMN10附加题：如图 ABC 中， D为 AC上一点， CD=2DA， BAC=45°，

4、BDC=60°， CEBD于 E，连接 AE（ 1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（ 2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（ 3）求 BEC 与 BEA的面积之比分析：（ 1）根据直角三角形中30 度角所对的直角边是斜边的一半，可知CD=2ED，则可写出相等的线段；（ 2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断ADE AEC；（ 3）要求 BEC 与 BEA的面积之比， 从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作 BEA 的边 BE边上的高即可求解解：（ 1） AD=DE， AE=CE=EB CEBD， BDC=60&#

5、176;，在RtCED中， ECD=30° CD=2EDCD=2DA， AD=DE， DAE=DEA=30°=ECD AE=CE（ 2）图中有三角形相似， ADE AEC； CAE=CAE， ADE=AEC， ADE AEC；（ 3）作 AFBD 的延长线于F，设 AD=DE=x，在 RtCED中，可得CE=，故 AE= ECD=30°在 RtAEF 中， AE=， AED=DAE=30°， sin AEF=， AF=AE?sin AEF=.13如图，已知梯形ABCD中， ADBC， AD=2，AB=BC=8，CD=10（ 1）求梯形 ABCD的面积 S

6、；（ 2）动点 P 从点 B出发，以 1cm/s 的速度，沿 B? A? D? C方向，向点 C运动；动点 Q从点 C出发，以 1cm/s的速度，沿C? D? A 方向，向点A 运动，过点Q作 QEBC 于点 E若 P、 Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒问：当点 P 在 B? A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ将梯形 ABCD的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P、A、 D 为顶点的三角形与CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否

7、存在这样的t ，使得以P、D、 Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由解答：S ABCD=（ AD+BC） AB= ×（ 2+8）× 8=40（ 2） BP=CQ=t， AP=8 t ， DQ=10 t ， AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8 t+2+10 t=t+8+t t=3 8当 t=3 秒时， PQ将梯形 ABCD周长平分第一种情况： 0t 8若 PAD QEC 则 ADP=C tan ADP=tanC= = = ，t=若 PAD CEQ 则 APD=C tan APD=tanC= = ，=t=

8、第二种情况：8t 10， P、A、 D 三点不能组成三角形；第三种情况：10t 12ADP 为钝角三角形与 RtCQE不相似；t=或 t=时， PAD 与 CQE相似第一种情况：当 0t 8时过 Q点作 QEBC，QHAB，垂足为E、 HAP=8 t ， AD=2， PD= CE= t ， QE= t ， QH=BE=8t ， BH=QE= t PH=t t=t PQ=， DQ=10t ： DQ=DP， 10 t=，解得 t=8秒： DQ=PQ， 10 t=，化简得： 3t 2 52t+180=0 解得： t=， t= 8（不合题意舍去）第二种情况： 8t 10 时 DP=DQ=10 t 当

9、8t 10 时，以 DQ为腰的等腰 DPQ 恒成立第三种情况：10t 12 时 DP=DQ=t 10当 10t 12 时，以 DQ为腰的等腰 DPQ 恒成立综上所述， t=或 8t 10 或 10t 12 时，以 DQ为腰的等腰 DPQ 成立14已知矩形 ABCD，长 BC=12cm，宽 AB=8cm，P、Q分别是 AB、BC上运动的两点若 P 自点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB方向运动，同时， Q自点 B 出发以 2cm/s 的速度沿 BC方向运动，问经过几秒，以 P、 B、 Q为顶点的三角形与 BDC 相似？分析：要使以 P、B、Q为顶点的三角形与 BDC 相似，则要分两两种情

10、况进行分析 分别是 PBQ BDC 或 QBP BDC，从而解得所需的时间解：设经 x 秒后， PBQ BCD，由于 PBQ=BCD=90°，（ 1）当 1=2 时，有：，即；（ 2）当 1=3 时，有：，即，经过秒或 2 秒， PBQ BCD;.15如图，在 ABC 中， AB=10cm， BC=20cm，点 P 从点 A 开始沿 AB边向 B 点以 2cm/s 的速度移动，点 Q从点 B 开始沿 BC边向点 C以 4cm/s 的速度移动， 如果 P、Q分别从 A、B 同时出发， 问经过几秒钟， PBQ与 ABC相似分析：设经过t 秒后， PBQ与 ABC相似，根据路程公式可得AP

11、=2t， BQ=4t， BP=10 2t ，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可解：设经过秒后t 秒后， PBQ与 ABC相似，则有 AP=2t ，BQ=4t，BP=10 2t ，当 PBQ ABC 时，有 BP：AB=BQ： BC，即（ 10 2t ）： 10=4t ： 20，解得 t=2.5 （s）（ 6 分）当 QBP ABC 时，有 BQ：AB=BP： BC，即 4t ： 10=（ 10 2t ）： 20，解得 t=1 所以，经过 2.5s 或 1s 时， PBQ与 ABC相似（ 10 分）解法二：设 ts后， PBQ与 ABC相似，则有， AP=2t ，BQ=4t，

12、 BP=10 2t分两种情况：（ 1）当 BP与 AB对应时，有=，即=，解得 t=2.5s（ 2）当 BP与 BC对应时，有=，即=，解得 t=1s所以经过 1s 或 2.5s时，以 P、B、 Q三点为顶点的三角形与 ABC 相似16如图， ACB=ADC=90°， AC=， AD=2问当 AB的长为多少时，这两个直角三角形相似解： AC= ， AD=2，CD=要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（ 1）当 RtABCRtACD 时，有=， AB=3；（ 2）当 RtACBRtCDA 时，有=， AB=3 故当 AB 的长为 3 或 3 时，这两个直角三角形相似19如图所示，梯形

13、ABCD中， ADBC， A=90°， AB=7，AD=2，BC=3，试在腰 AB上确定点P 的位置，使得以P，A， D 为顶点的三角形与以P， B， C 为顶点的三角形相似解：（ 1）若点 A， P， D 分别与点B， C， P 对应，即 APD BCP，=，=， AP2 7AP+6=0， AP=1 或 AP=6，检测：当AP=1时，由 BC=3，AD=2， BP=6，=，又 A=B=90°， APD BCP当 AP=6 时，由 BC=3， AD=2，BP=1，又 A=B=90°， APD BCP（ 2）若点 A， P， D分别与点 B， P， C对应，即 AP

14、D BPC = ，= ，AP= 检验：当AP=时，由 BP=， AD=2，BC=3，=，又 A=B=90°， APD BPC因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点 A 的 1、 6 处;.20 ABC和 DEF是两个等腰直角三角形， A=D=90°， DEF 的顶点 E 位于边 BC的中点上（ 1）如图 1，设 DE与 AB交于点 M，EF与 AC交于点 N，求证：BEM CNE；（ 2）如图 2，将 DEF 绕点 E 旋转，使得 DE与 BA的延长线交于点 M， EF 与 AC交于点 N，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论分析

15、：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45°，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得ECN MEN证明：（ 1） ABC是等腰直角三角形，MBE=45°， BME+MEB=135°又 DEF 是等腰直角三角形， DEF=45° NEC+MEB=135° BEM=NEC，而 MBE=ECN=45°， BEM CNE（ 2）与（ 1）同理 BEM CNE，又 BE=EC，则 ECN与 MEN中有，又 ECN=M

16、EN=45°， ECN MEN21如图，在矩形 ABCD中， AB=15cm，BC=10cm，点 P 沿 AB边从点A 开始向 B 以 2cm/s 的速度移动；点Q沿 DA边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、 Q同时出发，用t （秒）表示移动的时间，那么当t 为何值时，以点 Q、 A、 P 为顶点的三角形与 ABC 相似分析：若以点 Q、 A、 P 为顶点的三角形与 ABC 相似，有四种情况： APQ BAC，此时得AQ： BC=AP：AB； APQ BCA，此时得AQ： AB=AP：BC；可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t 的值解：以点

17、Q、 A、 P 为顶点的三角形与 ABC 相似，所以 ABC PAQ 或 ABC QAP，当 ABC PAQ 时，所以，解得： t=6 ；当 ABC QAP 时，所以，解得： t= ；故当 t=6 或 t= 时，以点 Q、 A、 P 为顶点的三角形与ABC相似27如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆， 其面积分别用 S ，S ，S 表示，则不难证明 S =S +S 123123（ 1）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1， S2，S3 表示，那么 S1， S2，S 之间有什么关系； （不必证明）3（ 2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、 S3 表示，请你确定S ，S ， S 之间的关系并加以证明；123（ 3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1， S2， S3 表示，为使 S1， S2， S3之间仍具有与（ 2）相同的关系，所作三角形应