初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析

1、初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解知识点二：反比例函数在应用时的注意事项1 反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题2 针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系3 列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围知识点三：综合性题目的类型1 与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.2 与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的

2、面积规律方法指导这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题 学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合1 （ 2010四川成都）如图1 ，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点（1 ）试确定这两个函数的表达式；（ 2 ）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标， 并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围思路点拨 : 由于 A 在反比例函数图象

3、上，由反比例函数定义得出一次函数解析式联立一次函数和反比例函数解析式，可求出次函数图象上方时 x 的取值范围，从而求出 A 点的坐标再由待定系数法求 B 点坐标。根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一解析：（ 1 ）已知反比例函数经过点，即A(1 ， 2)一次函数的图象经过点A(1 ，2) ，反比例函数的表达式为一次函数的表达式为，。（2）由消去，得。即,或。或。或点 B 在第三象限，点B 的坐标为。由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。总结升华：（ 1）综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法（ 2 ）能通过观察图像得到所求信息是解决这类

4、问题的关键。举一反三：【变式】 如图 2 所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M 、 N 两点（1 ）求反比例函数和一次函数的解析式；（2 ）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围【答案】（1 ）M 、 N 在反比例函数上设一次函数解析式为则，解得故一次函数的解析式为（ 2 ）由图象可知，当时，反比例函数的值大于一次函数的值类型二：反比例函数与三角形或四边形面积问题2 如图 3，反比例函数与一次函数的图象相交于A、 B 两点。（1）求 A、 B 两点的坐标；（2 ）求AOB 的面积。思路点拨：（ 1 ）问联立解析式求解（2）问把AOB 的面积分成与之和来解决。解析

5、：（ 1 ）解方程组得所以 A、B 两点的坐标为A（-2，4），B（4，-2 ）（2 ）因为与 y 轴交点 D 的坐标是（ 0， 2），所以，所以总结升华： 三角形面积不方便直接求解的时候可以考虑“割”或者“补”的方法，原则是割，补后的三角形易于找底和高。举一反三：【变式】如图 4，和的图象与的图象分别交于第一象限内的两点A ， C，过 A， C 分别向 x 轴作垂线， 垂足分别为B，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为，求与有什么关系？【答案】：设点 A 的坐标为（），则在，所以同理可得。所以。类型三：反比例函数与实际问题相结合3 （ 2010江苏泰州） 保护生态环境，

6、 建设绿色社会已经从理念变为人们的行动。某化工厂2009 年 1 月的利润为200万元。设2009 年 1 月为第 1 个月，第x 个月的利润为y 万元。由于排污超标，该从2009 年 1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1 月到 5 月， y 与 x 成反比例。到5 月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20 万元（如图5 ）(1) 分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y 与 x 之间对应的函数关系式。(2) 治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200 万元？(3) 当月利润少于 100 万元时为该厂资金紧张期，问

7、该厂资金紧张期共有几个月？思路点拨 :（ 1 ） y 与 x 之间的函数关系式分成和两段分别求解。 （ 2）令的解析式等于200 ，可以求出经过几个月，利润达到200 万元；（ 3 ）找出两段函数等于100的 x 的值，月份只差就是资金紧张的月份。解析：（ 1 ）当时，设，把（ 1,200 ）代入，得k=200, 即，当 x=5 时， y=40, 当时，.（2 ）当 y=200时，所以治污改造工程顺利完工后经过8 个月，该厂利润达到200 万元。（3 ）对于，当 y=100时， x=2 ；对于，当 y=100 时， x=8 ，所以资金紧张的时间为 8-2=6个月。总结升华： 解决反比例函数与实

8、际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.举一反三：【变式 1】一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强 p （Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N ，回答下列问题：（1）用含 S 的代数式表示p ， p 是 S 的反比例函数吗？为什么？（2）当木板面积为 0.2m 2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa ，木板面积至少要多大？（4）画出相应的函数图象解析：随着木板面积变小（大），压强 p （ Pa）将变大（小） （1 ），所以 p 是 S 的反比例函数，符合反比例函数的定义（2 ），所以面积为时，压强是（3）若压强，解得，故木板面积至少要.（4）函数图象如下图6 所示：【变式 2 】某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 升 (1 升 1 立方分米 )的圆锥形漏斗，如右下图.（1 ）漏斗口的面积S 与漏斗的深d 有怎样的函数关系?（2 ）如果漏斗口的面积为100 厘米 2，则漏斗的深为多少?解析：（ 1 ）根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm ，