初二数学整式的乘除与因式分解复习教案

1、整式的乘除与因式分解一、学习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5.掌握因式分解的常用方法。二、知识点总结：1、单项式的概念： 由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如： a 2 bc的 系数为2 ，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。22、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如： a 22ab

2、x1，项有 a 2、2ab 、 x 、 1，二次项为 a2、2ab ，一次项为 x ，常数项为1，各项次数分别为2，2， 1， 0，系数分别为 1， -2，1， 1，叫二次四项式。3、整式： 单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列：如： x32 x2 y 2xy2 y31按 x 的升幂排列：12y 3xy2x2 y 2x3按 x 的降幂排列： x32x 2 y 2xy2 y 31按 y 的升幂排列：1x3xy2x 2 y 22 y3按 y 的降幂排列：2 y32x2 y 2xy x315、同底数幂的乘法法则：am a

3、nam n （ m, n 都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如： (ab)2 (ab) 3(ab)56、幂的乘方法则：( a m ) na mn （ m, n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：( 35 )2310幂的乘方法则可以逆用：即a mn(a m ) n( an )m如： 46(42)3(43)27(ab)abn （ n 是正整数）、积的乘方法则：nn积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（2x 3 y 2 z) 5 = ( 2)5( x3 )5( y 2 )5z532 x15 y10 z58、同底数幂的除法法则：a ma na m n

4、 （ a0, m, n 都是正整数，且 m n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：( ab) 4(ab) (ab)3a3b39、零指数和负指数；a 01 ，即任何不等于零的数的零次方等于1。ap1（ a0, p 是正整数），即一个不等于零的数的p 次方等于这个数的p 次方的a p倒数。如：23(1) 312810、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积

5、的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x 2 y3 z3xy11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(abc)mambmc ( m, a,b, c 都是单项式 )注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如： 2x( 2x3y)3 y( xy)12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘， 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。(3a2b)(a

6、3b)如：(x5)( x6)13、平方差公式： (ab)( ab)a 2b2 注意平方差公式展开只有两项公式特征： 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如： (x y z)( xyz)14、完全平方公式：(ab)2a 22ab b 2公式特征： 左边是一个二项式的完全平方，右边有三项， 其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。注意：a 2b 2(ab) 22ab(ab)22ab( ab)2(ab) 24ab(ab)2(ab) 2(ab) 2(ab) 2(ab) 2(ab) 2完全平方

7、公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2 倍。15、三项式的完全平方公式：(abc) 2a 2b 2c 22ab2ac2bc16、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除） ，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：7a2 b4 m49a 2 b17、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即： (ambmcm)mammbmmcmmabc18、因式分解：常用方法：提公因

8、式法、公式法、配方法、十字相乘法三、知识点分析：1.同底数幂、幂的运算：mnm+na ·a =a( m， n 都是正整数 ).例题 1. 若 2 a 264 ，则 a=；若 273n( 3)8 ，则 n=.例题 2. 若 52 x 1125 ，求 (x 2) 2009 x 的值。例题 3.计算 x 2 y 3 n2 y x 2 m练习1.若 a2 n3，则 a 6n =.2.设 4x=8y-1 ,且 9y=27 x-1 ,则 x-y 等于。2.积的乘方(ab)n =anbn(n 为正整数 ).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例题 1. 计算：nm 3pm n

9、nm p 43. 乘法公式平方差公式： ababa 2b 2完全平方和公式：ab完全平方差公式：ab2a22abb 22a22abb2例题 1. 利用平方差公式计算：2009×2007 20082例题 2.利用平方差公式计算：20072008200722006例题 3.利用平方差公式计算：20072200820061例题 4.（ a2b 3c d）（ a 2b 3cd）变式练习1广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3 米，东西方向要加长3 米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？24）（32008）340162.（ 3+1 ）（3+1）（ 3 +1+12

10、3. 已知 x12, 求 x21的值xx 24、已知 ( xy) 216,( xy) 24 ，求 xy 的值5.如果 a 2 b 2 2a 4b 5 0 ，求 a、 b 的值6.试说明（1）两个连续整数的平方差必是奇数（2）若 a 为整数，则a3a 能被 6 整除7.一个正方形的边长增加4cm ，面积就增加56cm ，求原来正方形的边长4. 单项式、多项式的乘除运算（1）（ a 1 b）（ 2a 1 b）（ 3a2 1 b2）；6312（ 2） （ a b）（ a b） 2÷（ a22ab b2） 2ab（ 3）已知 x2x 1 0，求 x3 2x2 3 的值5. 因式分解：1.提公

11、因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例 1 把 2ax10ay5bybx 分解因式分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列， 然后从两组分别提出公因式2a 与b ，这时另一个因式正好都是x5y，这样可以继续提取公因式解： 2ax10 ay5bybx2a( x5 y)b( x5 y)(x5 y)(2 ab)说明：用分组分解法， 一定要想想分组后能否继续完成因式分解， 由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试例 2 把 ab(c2d 2 )(a2b2 )cd 分解因式分析： 按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重

12、新分组，然后再分解因式解：ab(c2d 2 )( a2b2 )cdabc2abd 2a2 cdb2 cd(abc2a2 cd )(b2cdabd2)ac(bcad )bd (bcad )(bcad )(acbd )说明： 由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用2. 公式法： 根据平方差和完全平方公式例题 1 分解因式 9x225 y23.配方法：例 1 分解因式 x26x16解： x26x 16 x22x 3 323216 ( x 3)252( x35)( x35)(

13、x8)( x2)说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验4.十字相乘法：（ 1） x2( pq)xpq 型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和x2( pq)xpqx2pxqxpqx( xp)q(xp)(xp)( xq)因此，x2( pq) xpq( xp)( xq)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式例 1 把下列各式因式分解：(1)x27x6(2) x213x36解：

14、 (1)6(1)(6),(1)( 6)7x27x6x( 1 ) x ( 6 ) x( x 1)(6 )(2)3649,4913x21 3x3 6 x(4 x) (9 )说明： 此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同例 2 把下列各式因式分解：(1)x25x24(2)x22x15解： (1)24(3)8,(3)85x25x2 4x( 3 )x (8 )x (x 3 ) (8 )(2)15(5)3,(5)32x22x 1 5x( 5 )x (3 )x (x 5 ) (3 )说明： 此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因

15、数与一次项系数的符号相同例 3 把下列各式因式分解：(1)x2xy6 y2(2)(x2x) 28( x2x) 12分析： (1) 把 x2xy6 y2 看成 x 的二次三项式，这时常数项是6y2 ，一次项系数是y ，把 6y2 分解成 3y 与2 y 的积，而 3y ( 2 y)y ，正好是一次项系数(2)由换元思想，只要把x2x 整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式 a28a 12 解： (1)x2xy6 y2x2yx62( x3y)( x2y)(2)( x2x)28( x2x) 12( x2x6)( x2x2)( x 3)(x2)( x2)( x1)（ 2）一般二次三项式

16、ax2bxc 型的因式分解大家知道， ( a1xc1 )( a2 xc2 )a1 a2 x2(a1c2a2c1 ) xc1c2 反过来，就得到：a1a2 x2(a1c2a2 c1 )x c1c2(a1 xc1 )(a2 xc2 )我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1a,2,c1c,2写成 a1c1 ，a2c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2 c1 ，如果它正好等于 ax2bxc 的一次项系数 b ，那么 ax2bxc 就可以分解成( a1 xc1 )( a2 xc2 ) ，其中 a1 , c1 位于上一行， a2 , c2位于下一行

17、这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意， 分解因数及十字相乘都有多种可能情况， 所以往往要经过多次尝试， 才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例 4 把下列各式因式分解：(1) 12x25x2(2)5x26xy8y2解： (1) 12x25x2(3 x2)(4 x1)(2)5x26 xy8 y2(x2 y)(5 x4y)3 24 112 y54 y说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 时较困难， 具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑 ”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑 ”

18、，先 ”凑 ”绝对值，然后调整，添加正、负号练习1、 已知 2x y1， xy2 ，求 2x 4 y 3x3 y 4 的值。32、 若 x、 y 互为相反数，且( x2) 2( y1)24 ，求 x、 y 的值提高练习1（ 2x2 4x 10xy）÷（） 1x 15y222若 x y8， x2y24，则 x2 y2 _3代数式 4x23mx9 是完全平方式则 m _4（ a 1）（ a 1）（ a2 1）等于（）（ A ）a41（ B） a4 1（ C） a42a2 1（D ）1 a45已知 a b 10，ab 24，则 a2 b2 的值是 （）（ A ）148（B）76（C） 58

19、（D）526（ 2）（ x 3y） 2（ x 3y） 2；（ 2）（ x2 2x 1）（ x2 2x1）；447（ 11）（ 11）（ 11）（ 11）（11）的值223242921028已知 x1 2，求 x2 1， x41的值xx 2x4a 2b29已知（ a 1）（ b 2） a（ b 3） 3，求代数式ab 的值210若（ x2 pxq）（ x2 2x3）展开后不含x2， x3 项，求 p、q 的值整式的乘除与因式分解单元试题一、选择题： （每小题3 分，共 18 分）1、下列运算中，正确的是 ( )A.x 2·x3=x6B.( ab) 3=a3b3C.3a+2a=5a2D.（x3）2= x 52、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）（A）（ B）（C）（ D）3、下列各式是完全平方式的是（）A、B、C、D、4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）（A）（ B）（ C）（D）5、如 (x+m) 与 (x+3) 的乘积中不含x 的一次项，则m的值