勾股定理典型题型

1、.新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、 经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例.在ABC中，C90 已知 AC6 ， BC8求 AB 的长已知AB17 ， AC15 ，求 BC 的长分析：直接应用勾股定理a 2b2c2解： ABAC2BC210 BCAB2AC28题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物9 米，那么15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一” 的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！2222222根据勾股定理 AC+BC=AB, 即 AC+9

2、=15 ,所以 AC=144, 所以 AC=12.例题 2 如图（ 8），水池中离岸边D点 1.5米的 C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到 D 点，并求水池的深度AC.CABD解析： 同例题1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知 ACD中 , ACD=90°, 在 Rt ACD中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解： 如图 2，根据勾股定理，222AC+CD=AD设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.5 2

3、=（ x+0.5 ） 2解之得 x=2.故水深为2 米.题型三 ：勾股定理和逆定理并用例题 3 如图 3，正方形 ABCD中， E 是 BC边上的中点， F 是 AB上一点，且 FB1 AB4那么 DEF是直角三角形吗？为什么？,.解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。 仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB1 AB 可以设 AB=4a，那么 BE=CE=2 a,AF=3a,4BF= a, 那么在 Rt AFD 、Rt BEF和 Rt CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。详细

4、解题步骤如下：解： 设正方形 ABCD的边长为 4a, 则 BE=CE=2a,AF=3 a,BF=a222222在 Rt CDE中， DE=CD+CE=(4 a)+(2 a) =20 a同理 EF2=5a2, DF 2=25a2在 DEF中， EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且DEF=90° .注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四 ：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点 E，将 ADE折叠使点 D 恰好落在 BC边上的点 F，求 CE的长

5、.解析： 解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB 边和 CD边，他测得 AD=80cm， AB=60cm， BD=100cm，AD边与 AB 边垂直吗？怎样去验证AD边与 CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图 4，矩形 ABCD表示桌面形状，在AB上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？) ，连结 MN，测量 MN的长度。222如果

6、 MN=15,则 AM+AN=MN, 所以 AD边与 AB边垂直；如果 MN=a 15, 则 92+122=81+144=225,a2 225, 即 92+122 a2，所以 A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题 6 有一个传感器控制的灯， 安装在门上方， 离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内， 灯就自动打开， 一个身高 1.5 米的学生， 要走到离门多远的地方灯刚好打开？,.解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5 米还是脚先距离灯5 米，可想而知应该是头先距离灯 5 米。转化为数学模型，如图 6 所示， A 点表示控制灯， BM表示人的高度， B C MN,BCA

7、N当头（ B 点）距离 A 有 5 米时，求 BC的长度。已知 AN=4.5 米 , 所以 AC=3米，由勾股定理，可计算 BC=4米. 即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开。题型六 ：旋转问题：例 1、如图， ABC 是直角三角形， BC 是斜边， 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后， 能与 AC P重合，若 AP=3，求 PP的长。变式 1：如图， P 是等边三角形ABC内一点， PA=2,PB=23 ,PC=4, 求 ABC的边长 .分析：利用旋转变换，将BPA绕点 B逆时针选择 60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变

8、式 2、如图， ABC为等腰直角三角形， BAC=90°， E、 F是BC上的点，且 EAF=45°，试探究 BE 2、 CF 2、 EF 2 间的关系，并说明理由 .题型七 ：关于翻折问题例 1、如图，矩形纸片 ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 CD边上的点 G 处，求 BE的长 .变式：如图， AD 是 ABC的中线， ADC=45°，把 ADC 沿直线 AD 翻折，点C 落在点 C的 位 置 ，BC=4,求 BC的长 .题型八 ：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路 MN 和

9、公路 PQ 在 P 点处交汇， 点 A 处有一所中学， AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米 /小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九 ：关于最短性问题例 5、如右图 1 19，壁虎在一座底面半径为2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫， 便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行

10、突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（ 取 3.14，结果保留1 位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？,.三、 课后训练：一、填空题1如图 (1) ，在高 2 米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米DCBDEOAABC第 4题图F图(1)第 3题图2种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5 ，高为 12 ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露

11、出 4.6 ，问吸管要做。3已知： 如图， ABC 中， C = 90 ，°点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点，点D 、 E 、 F 分别是垂足，且BC = 8cm ， CA= 6cm ，则点O 到三边OD BC，OEAC ，OF AB ， AB ， AC 和 BC 的距离分别等于cm4在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_ 米。A20235. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、 3dm、2dm， A 和 B 是这个

12、台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 _.B二、选择题1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A、25B 、14C、 7D、7 或 252 Rt一直角边的长为 11，另两边为自然数，则Rt 的周长为（）A、121B、 120C、 132D、不能确定3如果 Rt两直角边的比为5 12，则斜边上的高与斜边的比为（）A、60 13B 、5 12C、 12 13D、60 1694已知 Rt ABC中， C=90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则 Rt ABC的面积是（）A 、 24cm2B、 36cm2C、 48cm2D、 60cm25等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A、56B、 48C、 40D、 326某市在旧城改造中， 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（）AEDA 、 450a 元B 、225a 元C、 150a 元D、300a 元20m30m150°BC第6题图F第 7题图7已知，如图长方形ABCD中， AB=3cm， AD=9cm，将此长方形折叠，使点