电磁场理论复习题含答案

1、第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场 u =xy + yz+zx的梯度为A,贝U M (1, 1, 1)处A =, V x A = 0 02. 已知矢量场 A = 8 ( y + z) + 公 4 xy 2 + 邑 xz，则在 M( 1, 1, 1 )处 A = 9。3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场(场量为 A ),则必须同时给定该场矢量 的旋度刀xA及散度-A 。4. 写出线性和各项同性介质中场量D、E、B、H、J所满足的方程(结构方程)：D = &E, BiH, J = pE。_ _5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为耕 dS

2、= 如_和 'J =_云。6. 设理想导体的表面 A的电场强度为E、磁场强度为 B,则(a) E、B皆与A垂直。(b) E与A垂直，B与A平行。(c) E与A平行，B与A垂直。(d) E、B皆与A平行。答案：B7. 两种不同的理想介质的交界面上，(A) E1 =E2 , H1 =H2(B) E1n =E2n，H1n = H2n(C)d =E2t , Mt 叫(D)Et = E2t , Hn = H2n答案：C58.设自由真空区域电场强度E=eyE°sin(3t 8 ) (V/m)，其中E。、3、 8为常数。则空间位移电流密度 Jd (A/m2)为：(a) ?y E0 cos(

3、 3 t 8 )(b) y 3 E0 cos( 3 t 8 )（c）?y 3goEoCos（3t 8 ）（d） ey 8 I0cos（3t 8） 答案：Cx9.已知无限大空间的相对介电常数为饥=4，电场强度E = ?xP0cos（V/m）,其中2dP0、d为常数。则x=d处电荷体密度 P为：答案：d3）_些（b） 一竺地（c） 一组（d）_竺虫 dddd10. 已知半径为Ro球面内外为真空，电场强度分布为(-富 cos 6 + ?sin 6)(r < R 0)R°"B 一 一一3 您 2cos？sin r)(r R0)r'求（1）常数B; （2）球面上的面电荷

4、密度；（3）球面内外的体电荷密度。Sol. (1)球面上2 . . B . . f 一 2由边界条件 E1t=E2t碍： sin 8 = sin 6 t B = 2R0 R°R°(2)由边界条件Dm - D2n =Ps得：6 ；0s - ；0(E1n 一 E2n) - ；0(E1r - E2r ) = " cosR°(3)由 D = P得：("R。)(r R0)2- r -1 £(r Er) +1己(Esin)0p= E = &0 n+ &0;土=Jrcrr s i n、0即空间电荷只分布在球面上。11. 已知半径为R

5、0、磁导率为卜的球体，其内外磁场强度分布为2（耳 cos &声in 力（r ： R。）H = A , 3（?r2cos?sin 口）（r R0）r'且球外为真空。求（1）常数A ; （2）球面上的面电流密度Js大小。Sol.球面上（r=R。）： H r为法向分量；H $为法向分量，一一 一一 一一，,_3（1） 球面上由边界条件 Bm=B2n得：HHi=H°H2rT A =R3J 0（2） 球面上由边界条件 H壮一 H 2t = J s得Js =（Hj-H2 项 |r*=（2 ：）sin。 -0第3章 静电场及其边值问题的解法1. 静电场中电位巾与电场强度E的关系为

6、E = * ；在两种不同的电介质 （介电常数12 '12分别为§和安）的分界面上，电位满足的边界条件为12 印 2印 <2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为p,贝U静电场： - E =0, E =-P/ sn。2三v2E= 3. 电位1*和电场强度 E满足的泊松方程分别为一_句 、124. 介电常数为耳的线性、各向同性的媒质中的静电场储能皆度为Wm = _ &E25. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的切向 分量及电位移的法向 分量总是连续的。6. 如图，E1、£2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，勾=3刁，如=30° ,则卷

7、=60°，IE1I. |E2| = 3E117.理想导体与电介质的界面上,表面自由电荷面密度 Ps与电位沿其法向的方向导数的:n8.如图，两块位于 x = 0和x = d处无限大导体平板的电位分别为0、Uo,其内部充满体密度P=（l-ex_d ）的电荷（设内部介电常数为 诺。（1）利用直接积分法计算 0<x <d区域的电位8及电场强度E ; （2） x = 0处导体平板的表面电荷密度。Sol.为一维边值问题：巾=0(x)"。d2'"xq一 -=2 一 一 (1 e )；dx ；o边界条件：*x=0)=0, Wx = d)=U°(1)直

8、接积分得：2(x)=-0(exe )电-一(1-d e )x；02d；°d1=0dq r 0 / x_d、 U 0? 0E(x) = _'、=-包x 二 _& (e - x) (1 - ddx；od；°de)(2)由心 =Ps得:；:n、磷例LSs = -珈=一 &0 = So E(x) x_0Ex 工一= f"U01 -d2：%deW：)d9. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为 V。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐 标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。S

9、ol.（略）见教材第 82页例3.6.110. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d处有一个点电荷q°。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。Sol.空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：无限大接地导体平面+接地导体球边界条件：令平面=巾球面=0使*平面=0,引入镜像电荷:z' = d, q' = q0使1*球面=0,引入镜像电荷：L2aaz = 一， q = 一 q0dd22a az2 =wa，q2 =z轴上z > a各点的电位：=-Jq ,"0 |_| z -d | z -zq01q0q2a3q&#

10、176;z - z2z d2a31 ,i2 -24 4兀60zd| z d -a z + d11. 已知接地导体球半径为 R0，在x轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷 +q、-q , 位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3） x轴上x>2R）各点的电场强度。Sol. （1）引入两个镜像电荷:q1R)q一q = 2R02R2 R0x=一q2R2R0（-启2R°蛎小如检葺-勤-略）R = J(x2Ro)2 +y2 +z2 ,Ri = J(x R°/2)2 + y2 + z2R2 = J(x+R°/2)2 +y2

11、+z2 , R，= J(x+2Rg)2 +y2 十 z2(3) x轴上x>2R0各点的电场强度：£_ q +q/2q/2q 】匚一ex2222：(x2R0)(x R0/2)(x + R°/2)(x + 2R°) 一12.Sol.如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q,求(1)各镜像电荷的位置及电量；(2)两块导体间的电位分布。(1)qi = q0 , ( a，0, 0)q2 =+q° , (0, a, 0)q3 =q° , (a, 0, 0)(2)(x,y,z)R。R1R2R3 j=(略)其中：R

12、6; =. x2(y a)2z2R1 =(xa)2y2z2R2 =, x2(ya)2z2R3 =. (x -a)2y2z2(0,-a,0)第 4 章，叵定电场与，叵定磁场1.线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 在该导电媒质的表面上。0, 净余电荷只能分布2.线性和各项同性的均匀导电媒质中,V，J =； ，D = 3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件为：E1t = E2t、 J1n = J2n 。24. 在电导率为的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小 E的美系为Pc = sE 。5. 恒定磁场的矢量磁位 A与磁感应强度B的关系为 B = V

13、X A ; A所满足的泊松方程为2a = - J。6. 对线性和各项同性磁介质（磁导率设为卜），恒定磁场（磁场强度大小为H ）的磁能密1 12度 Wm =, V 空间磁能 Wm = J 2 H dV。2 27.已知恒定电流分布空间的矢量磁位为:A = ?xx2y+&y2x+ezCxyz , C 为常数，且 A满足库仑规范。求（1）常数C ; （2）电流密度J ; （3）磁感应强度BoSol. (1)- a -a y (直角坐标系中：' a =?x( ) &:y；z库仑规范："A = 0 % 土 :x:y: z3：'az 八；:axLT + eu-):z

14、 : x : x : y=2xy 2xy Cxy = 0= C - -4由 v2a = - J ,',2a J =-=A =&x2 y +?y y2x ?z4xyz 得:1 f 时2A . c A .餐2 A+ +_ 2_ 2cycz（第9题图）11以及各分界面上的自由电荷密度。Sol.用静电比拟法计算。用电介质（氾 0d2 =U°口 =D2T &iEi=&2E2B = '、 A = -&4xz ey 4yz 包(y2 - x2)8.（P.136.习题4.2）在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（,。和妾，。2），其厚度分别为

15、d1和d2。若在两极板上加上恒定的电压U 0。试求板间的电位中、电场强度 E、电流密度J功日切 替代导电媒质，静电场场强分别设为E1、E2c2U 0E1 = -?x2 0 J （0 ：x 2）；2d相2c tU0E2 = -& 一 一 （d1 ：x y） 2d11d2电位移:Di=D2 = ；iEi2U 0Ex =:x% 耗2（0 :：: x ： di）=（x）EidiE2（x -di）=；X，（ ；2 - ；i）di U 0 （di ： x ： d2）“di 村2静电比拟：Eu E , J u D, bu©u巾，则导电媒质中的恒定电场:LU。平！ =xqx （l -；i）d

16、i M2 =U 0J（.2di ；扑2exE（x）=! &iLU°了2di, ；id22 0二 2di%2（0 ： x ： di）（di ： x ： d2）（0 : x : di）（di ： x ： d2）"了 2U 0二 2di d2.:n:x12 0 *iPsxSx 0二.:n: 2iU 0一 ；2 "='： （-x）-2d id2_ （ ；i ；2 - ；2；i ）U 0Ldi *2a、2a ,电导率为。求（i）导电媒质上电位分布R 。可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号p#p只有理想电容器s x0s xdi Tfl2才有电容定义。

17、9. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为 如图建立圆柱坐标，若电位 蛔m=U° （常量）及q假=0。 以及恒定电场的电场强度 E ; （2）该情况下导电媒质的直流电阻 Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位。仅与坐标中有关，即（i）叶=0 = 土噌=0 = p=A平+Bd由愉=U° M*|假=0得:峭）=半年-.- 1 热一.2UoE =-、e.e.pez（2）八健一鬲列。1Ji P一 2oaU0(a d。= In 22a、2a2；;U0 1=J dS = J (a .")=Saa直流电阻:JI2；aln210. 一横截面为正方形的扇形均匀导电

18、媒质，其内、外半径分别为a、2a ,电导率为ct。如图建立圆柱坐标，若电位 > D =U 0 （常量）及e|%a=0。求（1）导电媒质上电位分布 a以及导电媒质上恒定电场的电场强度E ； （2）该情况下导电媒质的直流电阻Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位巾仅与坐标P有关，即巾=中（口）（1） V2。=0 n 42p竺 1=0 n e = Aln P + B 5 di由 °| 性=U° 及 8|快=° 得：（P）=普护 P + lnQa）- r - U0 1E =* "*ln2(2) J =E =昂札0 1ln 2-jrPI = . J dS =

19、 J (a )S2l aU°2ln 2直流电阻:2ln2l a第5章电磁波的辐射1.复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为2.坡印亭矢量S的瞬时表示式是212E 3.自由仝间中时变电磁场的电场满足的波动方程为V E-也 2 =0 ,这个方程在正弦.22l c；t电磁场的情况下变为' E k E = 04.在无损耗的均匀媒质(&, H )中，=0 ,其中 A： , 2；2o正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为5.-22、H k H(A)k2(C) k2在时变电磁场中，磁感应强度电场强度E与位的关系为(B)(D)k2k22,22=a £B与位的关系为E - -E

20、 A；:t6.J0皆为常数。则电场强度复矢量已知某一理想介质(6 =4祐，卜=5!%,。=0 )中)时谐电磁场的角频率为 切 流复矢量为Jd =eJ0 cos翌e® , a、P、/人、-J0评弗(A) excose * j，azpx - J0.评 4 应(C) exsinej ' a(B)(D)Jo w 习伐 exco ej4 ；0 ajoex j4 '07.电偶极子天线的功率分布与(a) sin2(c) cos2日的关系为a o(b) sin(d) cos8.9.自由空间的原点处的场源在 函数中和A(a) t -二;c在球坐标系中，sin2(a)二rt时刻发生变化，

21、此变化将在.r(b) t ;c电偶极子的辐射场sin(b)凶 r(c) t ；(d)任意(远区场)的空间分布与坐标的关系是十 sin - sin2 (c) r(，2时刻影响到r处的位10. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则(A )不再是均匀平面波。(B)空间各点电磁场振幅不变(C)电场和磁场不同相。(D)传播特性与波的频率无关。答案：C11.下列，电场强度所对应的电磁波为线极化方式的是(A) E=&10 e项+e；10j e殍(C) E =&10 e* -ey10 e"1#(B) E =&108y10j e-(D) E =&10 -+3

22、10书了 答案：C12、已知真空中某时谐电场瞬时值为E(x, z,t) =& sin(10jix) cos(«it -kzz)。试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所给瞬时值表示式写成下列形式E(x,z,t) = Re?y sin(10:x)ekzzej"因此电场强度的复矢量表示为E(x,z) =&sin(10二 x)ekzZ由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为H (x, z)=1,_(' E)1 *0dxExEy?Eyex J10兀e?Z；ZEz11 *0k_-？二 sin(10-：x) -？x0z0

23、*z e功率流密度矢量的平均值Sav等于复坡印廷矢量的实部，即1 *1&v =Re(S) = Re(E H ) = Re2 2exEx*Hx?yEy*HyezEz*Hz1= Re(&EyHz -?zEyHx)2一 5兀 k,一-xsin(20 兀 x)+?zl 1斗0= &sin2(10二 x) 2*0=1 Re ex2 xk,2zsin2(10 兀 x)013、已知真空中时变场的矢量磁位为求：(1)电场强度E和磁场强度A(z,t) =?xAo cos( t -kz)H ; (2)坡印廷矢量及其平均值。解：(1)把矢量磁位的瞬时值表示为A(z,t) tReiexAejk

24、Zej t则矢量磁位的复数形式为A(z) =<Aojkz根据磁场强度复数形式H与矢量磁位复数形式A之间关系可以求出ez-?yAx =ey(-jkA°)e-jkz；z jzAxAz磁场强度的瞬时值为H (z,t) tekAcosC t - kz _ )根据麦克斯韦方程组的第一个方程vx H = i十j切D，此时j= o,电场强度与磁场强度之间关系为1 二-1E ' < H) 丁eHxeyHyez.:-1;=-ex一. j«Hz：H ykAo_jkzf e;:zjn电场强度的瞬时值为-ik2 AE(z,t)=Re E e = ?cos( t - kz - 一

25、)2Jl(2)坡印廷矢量为s = e h = exey坡印廷矢量的平均值为.3 A 2.32一 cos2(-kz-)=?z cos2( .t-kz-):22一 _ ，-.1,*、"Re(s)=2Re(E H) = Wk3A22 ；第6章、均匀平面波的传播1. 两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们的振幅 相同 ，相位相差 * /2。2. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅相等 :相位相差:。3. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质(孔=2.25,巴=1,。= 0漆面上，则电场反射系数为-1/ 5。4. 在自由空间传

26、播的均匀平面波的电场强度为E= ex100cos (cot-20兀z )V / m，贝U波的5.传播方向为 +z ,频率为 3X109 Hz 、波长为 0.1m,波的极化方式为,100, “H =%片8一以-20rZ)A/m平均坡印3 7 7x方向的线极化波，对应的磁场为_50002亭矢量Sav为SaV均匀平面波电场方向的单位矢量eE、磁场方向的单位矢量eH以及传播方向的单位矢量&三者满足的关系是6.损耗媒质的本征阻抗为,表明损耗媒质中电场与磁场在空间同一位置存在着 相位差，损耗媒质中不同频率的波其相速度不同，因此损耗媒质又称为 色散 媒质。17. 设海水的衰减常数为a ,则电磁波在海

27、水中的穿透深度为© 、在此深度上电场的振1幅将变为进入海水前的e 。8. 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为a。9.在无源的真空中，已知均匀平面波的E = E0e-和H nHoe-，其中的E0和H0为常矢量，贝U必有c 。(a) ez E0 =0; (b) ez H° = 0;(c) E° H° = 0; (d)E° H° =010.以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是 b(a) 不再是平面波(b) 电场和磁场不同相(c) 振幅不变(d) 以TE波的形式传播11、已知空气中存在电磁波的电场强度为E =eyE°co

28、s(6二108t 2z) V/m试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应 的磁场强度H 。解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量jkzE = eyE0e该式的电场幅度为Eo,相位和方向均不变，且 Eez=0= E_Lez,此波为均匀平面波。传播方向为沿着_ z方向。t =6二 108t = ，- 6上：108波的频率f =3 108 Hz波数k =2-2二波长，=1 mk相速 v =史=3 10 m/s p dt k由于是均匀平面波，因此磁场为Eoejkz1- 一ZwE= eX

29、E0sin（2兀 x108t2兀z）,已知介H =(-ez E)12、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为质的* =1 ,求每，并写出H的表达式。解：根据电场的瞬时表达式可以得到=2兀妇08 , k=2兀，而2k = . . 口 = -；rr、. ；00 = = ；r =坦 =9C,电场强度的瞬时式可以写成复矢量为- -j 2z 成E =exE°e波阻抗为Zw =4=40兀Q,则磁场强度复矢量为I 81-1- E0-j2-z-jg40 :H 亍（ez E ） =eyQe 2Zw因此磁场为H =e 与 sin（2 二 108t2z）y 40二13、铜的电导率 汀=5.8X107S/

30、m ,氏=&r =1。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、 波长、透入深度及其波阻抗。(1) f =1 MHz ； (2) f =100 MHz ； (3) f =10GHz解：已知 的整工 x109F/m和 她=4兀x10H/m ,那么0 36 二三= =1 1.044 1018-< 2 二f :r ；o f 当f =1 MHz时，"=1.044勺012 »1 ,则铜看作良导体，衰减常数&和相位常数E分 MR.别为= 15.132、., f =15.132 103相速：vp=-=4.152 10 刀、.f =0.4152 m/s波长:土 =4.152

31、 S m透入深度：、. =1=6.6 10亳mCt波阻抗：Zw ： M(1j) =2.61 10(1 j). f =2.61 10-4(1 . j) 当f =100 MHz时，旦=1.044心010»1,贝U铜仍可以看作为良导体，衰减常数a和(OS相位常数P分别为:=15.132. f =15.132 104, 2'、相速：vp=_=4.152 10 < f =4.152 m/s波长：, =2=4.152 10 直 m透入深度：、. =1=6.6 10-6 mCt波阻抗：Zw.M(1 j)=2.61 10 二(1j). f-=2.61 10 里(1 j)(3)当f =1

32、0 GHz时，旦=1.044 X108 »1，则铜看作良导体，衰减常数a和相位常数P分 别为- -. , 5口 =E =、；一 =15.132jf =15.132妇05相速：vp = ； =4.152 10 . f =41.52 m/s波长：=宜=4.152 10-6 m透入深度：、.=【=6.6 10丁 ma波阻抗：Zw =、；券(1 +j) =2.61 x 10(1 +j)/F =2.61x10 二(1 +j)14、海水的电导率 o=4S/m ,每=81 , K =1，求频率为10 kHz、10 MHz和10 GHz时 电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。解：已知X19 F/m 和卜

33、0 =4 兀勺0丁 H/m ,那么"=18乂109。0 36二；f 9 当f =10kHz时，旦=1§>(109=8勺05 »1 ,则海水可看作良导体，衰减常数口和，；f 99相位常数P分别为= 3.97 10 T f =0.397相速：V °p= 1.582 103. f =1.582 105波长：，=-'=15.83 m透入深度：= =2.52 mCt波阻抗：Zw ： M(1 j)=0.316二 10-3(1 . j)=0.099(1 j) 2二最减常数:- 当f =10 MHz时，旦=8心02 =88.891 ,则海水也可近似看作良导体,-9和相位常数P分别为a =P=3.97x10fT=12.55