DSP第三章4-习题

1、.例例1 1、如果、如果 为周期为为周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的序列，令： 为 周期为N的DFS 为 周期为2N的DFS由 确定)(nx)(1KX)(nx)(2KX)(nx)(1KX)(2KX解：101)()(NnKnNWnxKX1221102112022)()()()(NNnKnNNnKnNNnKnNWnxWnxWnxKXP119-5.1221102112022)()()()(NNnKnNNnKnNNnKnNWnxWnxWnxKX令：Nnn10)(2110212)()()(NnNnKNNnKnNWNnxWnxKX1021211)()2(NnKNNKnNWWnxKX)1)(2(1

2、jkeKX)2(21KXK为偶数0K为奇数K=0,1,2,32N-1.例例2 2、有限长序列的、有限长序列的DFTDFT为序列在单位园上为序列在单位园上ZTZT的取样，的取样，若有一个若有一个1010点序列点序列x(n)x(n)的的DFTDFT，我们希望找出半径为，我们希望找出半径为1/21/2的围线上的围线上X(Z)X(Z)等间隔取样，即：等间隔取样，即：证明：如何修改证明：如何修改x(n),x(n),以获得一个新序列以获得一个新序列x1(n),x1(n),使使x1(n)x1(n)的的DFTDFT对应所希望的对应所希望的X(Z)X(Z)取样。取样。101025.0)(kjeZZX.解：对于右

3、图，nnkjenx90101025 . 0)(101025.0)(kjeZZX90101090102105 . 0)(5 . 0)(nknnjnnknjnjnwenxeenx90101)(nknWnx1015 . 0)()(njnenxnx其中：如右图的取样的相当于的ZTnxDFTnx)()(1.例例3 3、令、令X(K)X(K)为为N N点序列点序列x(n)x(n)的的N N点点DFTDFT1)1)证明证明: :若若x(n)=-x(N-1-n),x(n)=-x(N-1-n),则则X(0)=0X(0)=02)2)当当N N为偶数时，若为偶数时，若x(n)=x(N-1-n),x(n)=x(N-1

4、-n),则则X(N/2)=0X(N/2)=0证：1)10)()(NnKnNWnxKX当K=0时) 1(.)2() 1 ()0()0(NxxxxXa)N为偶数) 1()0(Nxx)2() 1 (Nxx)2() 121() 12(NxNNxNx得证0)0(X.b)N为奇数) 1()0(Nxx)2() 1 (Nxx0)21()211()21(NxNNxNx得证0)0(X.10)()(NnKnNWnxKX2）101022)()()2(NnjnNnnNNjenxenxNX) 1()2(.)2() 1 ()0(NxNxxxx) 1()0(Nxx而)2() 1 (NxxN为偶数，X(N/2)成立)2() 1

5、21() 12(NxNNxNx得证0)2(NX.例4. 已知序列 现对于x(n) 的 变换在单位圆上 等分抽样，抽样值为 试求有限长序列的N点 IDFT X k ,01,nx na u nazN 2jkkNNz WeX kX z.( )( ), 01nx na u na解：由101( )( )1nnX zx n zaz得11( )( )1kNkNz Wz WX kX zaz11kNaW1111NNkNNkNa WaaW1011NnkNNnaWa1011NnnkNNna Wa1( )( )1nNNIDFT X ka Rna. ( )()( )kNnkNz WnX kNWznXX zx对在单位圆上

6、 点等间隔抽样，得周期序列：( )X kIDFS的：( )()Nrxnx nrN( )( )( )NNX kX k Rk点 ( )( )x nIDFT X k1( )1nNNa Rna( )( )NNxn Rn ()( )n rNNrau nrN Rn0( )n rNNraRn0( )rnNNraaRnN越大，越大，x(n)越逼越逼近近x(n).例例5 5、令：、令： 表示表示 的傅氏变换的傅氏变换y(n)y(n)表示长度为表示长度为1010的一个有限长序列，的一个有限长序列，Y(K)=DFTy(n)Y(K)=DFTy(n)相当于相当于 的单位园上的单位园上1010个等间隔采样，求个等间隔采样

7、，求y(n) y(n) )(jeX)()21()(nUnxn)(jeX解：)()()(NRrNnxnyrNnrrNnrrNn)21(11)21()21()21()21(0010)21(11)21()(,10nnyN讨论：.例6. 试求以下有限长序列的 点 （闭合形式）：NDFT)()() 1nnx1)()()(1010NnKnNNnKnNWnWnxKX1,.1 , 0NK)()()20nnnxNn 0000210010)()()(KnNjKnNNnKnNNnKnNeWWnnWnxKX1,.1 , 0NK.210( )NjnknNNna eRk(3) ( )( )nNx na Rn10( )(

8、)( )NnkNNnX kx n WRk解：21( )1NNjkNaRkae210( )nNjkNNnaeRk.0( )cos()( )Nx nan Rn(4) 10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：002101()( )2NjnkjnjnNNnaeeeRk2100cos()( )NjnkNNnan eRk002211()()001( )2NNjknjknNNNnnaeeRk.000022()()111( )211jNjNNjkjkNNeeaRkee0000002221 21 21 2()()()2221()2()NNNjjjjkjkjkNNNeeeaeee00000022

9、21 21 21 2()()()222()( )()NNNjjjNjkjkjkNNNeeeRkeee0000112200sin()sin()122( )112sin()sin()22NNjkjjkjNNNNNaeeRkkkNN.)()()5nnRnxN1N0nKnN1N0nKnNnWx(n)WX(K)1,.1 , 0NK直接计算较难)()()()1()(nRnNnRnxnxNNN两边取DFT)()()(KNNWKXKXKNKNWKNKX1 1)()(时1,.1NKKNWNKX1)(由定义时,0K1N0n0N2) 1(nWX(K)NN.1( 2/)01()()NjNn kkxnXkeN例7. 如

10、图画出了几个周期序列 ，这些序列可以表示成傅里叶级数 ()x n（1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 成为实数？ ( )X k（2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 （除 外）成为虚数？( )X k(0)X（3）哪些序列能做到 ，( )0X k 2, 4, 6,.k . 为共轭对称序列，即满足实部偶对称，虚部奇对称（以 为轴）。( )x n0n 即 是以 为对称轴的偶对称( )x n0n 解:（1）要使 为实数，根据DFT的性质:( )X k( )( )Re( )ex nx nX k( )0Im( )0ox njX k( )x n( )x n( )()x nxn又由图知， 为实序列，

11、虚部为零，故 应满足偶对称： 故第二个序列满足这个条件. 为共轭反对称序列，即满足实部奇对称，虚部偶对称（以 为轴）。( )x n0n 即 是以 对称轴的奇对称( )x n0n （2）要使 为虚数，根据DFT的性质:( )X k( )0Re( )0ex nX k( )( )Im( )ox nx njX k( )x n( )x n( )()x nxn 又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应满足奇对称： 故这三个序列都不满足这个条件.（3）由于是8点周期序列，其DFS:238104411( 1)( )11j kkjnkjkjkneX keee 当 时， 2, 4, 6,.k 1( )0X k 序列

12、2:32442041( )1jkjnkjkneXkee217800( )( )( )NjnknkNnnX kx n Wx n e序列1:当 时， 2, 4, 6,.k 1( )0X k .序列3:311( )( )(4)x nx nx n根据序列移位性质可知31141( 1)X ( )X ( )X ( )(1)1kj kj kjkkkekee 当 时， 2, 4, 6,.k 3( )0X k 综上所得，第一个和第三个序列满足 ( )0X k 2, 4,.k .例8.已知 是N点有限长序列， 。现将长度变成rN点的有限长序列( )x n( )( )X kDFT x n( )y n( ),01(

13、)0,1x nnNy nNnrN试求rN点 与 的关系。( )DFT y n( )X k解：由210( ) ( )( ),01NjnkNnX kDFT x nx n ekN得10( ) ( )( )rNnkrNnY kDFT y ny n W210( )kNjnNrnx n e10( )NnkrNnx n W, 0,1,.,1klr lNkXr210( )NjnkrNnx n e. 在一个周期内，Y (k)的抽样点数是X (k)的r倍( Y (k)的周期为Nr)，相当于在X (k)的每两个值之间插入r-1个其他值（不一定为零），而当k为r的整数l倍时，Y (k)与X (k / r)相等。相当于

14、频域插值210( )( ) 01NjnkNnX kx n ekN, 0,1,.,1klr lN( )kY kXr.例9. 已知 是N点的有限长序列， ，现将 的每两点之间补进 个零值点，得到一个rN点的有限长序列 ( )x n( ) ( )X kDFT x n( )x n1r ( )y n(),0,1,.,1( )0,x n rnir iNy nn其他试求rN点 与 的关系。 ( )DFT y n( )X k解：由10( ) ( )( ),01NnkNnX kDFT x nx n WkN10( ) ( )( )rNnkrNnY kDFT y ny n W得10()NirkrNix ir r W

15、01krN10( )NikNix i W.故( )( )( )NrNY kXkRk 离散时域每两点间插入 r -1个零值点，相当于频域以N为周期延拓r次，即Y(k)周期为rN。10( )( ) 01NnkNnX kx n WkN01krN10( )( )NikNiY kx i W.例10.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力 ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度； （2）所允许处理的信号的最高频率； （3）在一个记录中的最少点数。10Hz.解:（1）因为 ，而 ，所以001TF010FHz0110Ts

16、即最小记录长度为0.1s。（2）因为 ，而31110100.1sfkHzT2shff152hsffkHz即允许处理的信号的最高频率为 。5kHz 又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为 300.13 1010000.1TNT（ ）1021024N .例11. 复数有限长序列 是由两个实有限长序列 和 组成的，且已知 有以下两种表达式： f n x n 01y nnN f nx njy n F kDFTf n 11111NNkkNNabF kjaWbW 21F kjN 其中 为实数。试用 求, a b F k ,X kDFT x n ,Y kDFT y n ,x n y n. 111

17、 11NNkkNNabF kjaWbW ( ) ( ) ( )( )F kDFT f nDFT x njy n解：由DFT的线性性 ( ) ( )DFT x njDFT y n( )( )X kjY k( ) ( )Re ( )X kDFT x nDFTf n( )epFk*1( )()( )2NNF kFNkRk由共轭对称性得.*11111( )2 1111NNNNNkkN kN kNNNNababjjRkaWbWaWbW*11111( )2 1111NNNNNkkkkNNNNababjjRkaWbWa Wb W*1( )( )()( )2NNX kF kFNkRk1( )1NNkNaRka

18、W10( )NnknNNna WRk1( )1NkNNkNaWRkaW( )( )nNx na Rn.( ) ( )Im ( )Y kDFT y nDFTf n1( )opFkj*1( )()( )2NNF kFNkRkj*11111( )21111NNNNNkkN kN kNNNNababjjRkjaWbWaWbW*11111( )21111NNNNNkkkkNNNNababjjRkjaWbWa Wb W1( )1NNkNbRkbW10( )NnknNNnb WRk1( )1NkNNkNbWRkbW( )( )nNy nb Rn.*111( )2NjNjNRk111( )2NjNjN Rk ( )NRk( )( )x