排列组合复习

1、排列组合复习1、熟悉排列数、组合数的计算公式；。；规定，.了解排列数、组合数的一些性质：，由此可得：，为相应的数列求和创造了条件；，由此得：；=_2、解排列组合问题的依据是：解排列组合应用题首先要明确需要完成的事件是什么；其次要辨析完成该事件的过程：分类相加（每一类方法都能独立地完成这件事）；分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各个步骤都完成了，才能完成事件）；较为复杂的事件往往既要分类，又要分步（每一类办法又都需分步实施）；分类讨论是研究排列组合问题的重要思想方法之一，分类时要选定讨论对象、确保不重不漏。如：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则

2、不同的选派方案共有 种 (用数字作答).3、解排列组合问题的原则有：有序排列，无序组合；先选后排，正难则反（即去杂法）4、解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。如：要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 。（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。）如：在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1

3、,2)，(2,1)可以确定三角形的个数为 。（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如：把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为 。（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。如：某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 （5）多排问题单排法。如：若2n个学生排

4、成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为 ；（6）选取问题先选后排法。如：某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是 如：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种 (B)60种(C) 100种 (D) 120种（7）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有 种（8）相同

5、元素分组可采用隔板法。如10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（9）分组问题注意平均分组：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法(1) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2) 平均分成三堆；(3) 分成三堆，一堆四本，另两堆各一本；(4) 分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本；(5) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(6) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得一本，一人得两本，一人得三本；(7) 平均分给甲、乙、丙三个人；(8) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得四本，乙

6、、丙各得一本；(9) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得四本，另两人各得一本；(10) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，甲、乙各得一本，丙、丁各得两本；(11) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，两人各得一本，另两人各得两本；练习： 16个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为_2有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有_3只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有_4男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步

7、上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有_6某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有_7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为_8由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是_9如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有_10安排7位工作人

8、员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)11今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_种不同的排法(用数字作答)12将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)13要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_种不同的种法(用数字作答)14.某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种

9、方法有 种（以数字作答）图3 图415如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）16如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种图5 图617将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种 14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其

10、中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有_ 15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有_16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是_17.现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?18. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数： （1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1

11、，2不相邻的数。 19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有_20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为_ 21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是_22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位_ 23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有

12、两位女生相邻，则不同排法的种数是_24. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为_25. 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为_27. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）28. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子

13、里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有_29. 将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有_30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种31. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）33按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间二项式定理考点1：多项式的展开式问题例1 已知，其中，求的值.

14、考点2：求展开式中的各项系数之和的问题例2 已知.求：（1）； （2）；（3）； （4）.2.求的值.考点3：求二项式展开式中的特定项例3 试求：（1）的展开式中的系数； （2）的展开式中的常数项；（3）的展开式中系数最大的项；（4）的展开式中的系数为有理数的项的个数.考点4：求解某些整除性问题或余数问题例4 求证能被64整除.1. 被100整除所得的余数为（ ）A. 1 B. 81 C. -81 D. 考点5：计算近似值例5 求的近似值，使误差小于.考点6：二项式系数与项的系数例6 在的展开式中，求：（1）第5项的二项式系数及第5项的系数. （2）的系数.考点7：有关等式与不等式的证明问题例

15、7 求证：.2.证明下列等式与不等式（1）.（2）设是互不相等的正数，且成等差数列，求证.3.设.（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项. （3）求展开式中系数最小的项.同步训练1.若展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为（ ）.2.已知二项式.（1）求展开式第四项的二项式系数.（2）求展开式第四项的系数.（3）求第四项.3.如果，那么=（ ）.A. -2 B. -1 C. 0 D. 24.（2010江西）展开式中不含项的系数的和为（ ）.5.（2010重庆）的展开式中的系数为（ ）.6.（2011西安）二项式展开式中含项的系数为（ ）.7.（

16、2010全国）的展开式中的系数是（ ）.8.（2009北京）若，（为有理数），则=（ ）.9.（2010全国）的展开式中的系数（ ）.10.(2011江西)已知的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中的系数为（ ）.11.(2010全国)若的展开式中的系数是-84，则（ ）.12.（2010辽宁）的展开式中的常数项为（ ）.13.（2009四川）的展开式的常数项是（ ）.14.（2010湖北）在的展开式中，的系数为（ ）.15.（2011北京模拟）在的展开式中，常数项是（ ）.16.若二项式的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为（ ）.17. =（ ）.18.

17、若的展开式中存在常数项，则的值可以是（ ）.19.若，则的值为（ ）.20.设，则被9除所得的余数为（ ）.21.化简：.22.求证：（1）能被7整除； （2）能被64整除.23.已知的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的所有有理项.24.在的展开式中，试求使项的系数最小时的值.25.求精确到0.001的近似值.26.如果今天是星期一，那么对于任意的自然数，经过天是星期几？27.在二项式的展开式中x的系数是-10，求实数的值.28.在二项式的展开式中，求：（1）二项式系数之和； （2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和； （4）所有项的系数的绝对值之和.第二章、随机变量及其分布列

18、知识点小结1、 知识结构连续性随机变量数学期望方差二项分布正态分布事件的独立性条件概率离散型随机变量的数字特征随机变量离散型随机变量超几何分布二、知识点（一）、离散型随机变量1.随机变量定义：我们确定一种 关系，使得每一个试验结果都用一个 表示，在这种 关系下，数字随着试验结果的变化而变化。像这种随着试验结果变化而变化的变量称为 常用字母 、 、 、 表示2随机变量与函数的关系随机变量与函数都是一种 ，试验结果的范围相当于函数的 ，随机变量的范围相当于函数的 3.利用随机变量我们还可以表示一些事件，例：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数。随机变量表示 ；“抽出3

19、件以上次品”可用随机变量 表示4.随机变量的分类5. 离散型随机变量的分布列：123456若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率则上述表格就称为离散型随机变量的 6.分布列的表示方法有：列表法表示：解析式法表示： 图象法表示： 7.离散型随机变量的分布列具有的性质：（1） ；（2） 8.两点分布列：01称服从 ；称 为 两点分布的特点是： 9.超几何分布列：一般地，从含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中加油X件次品，则P(X=k)= 其中 01如果随机变量X的分布列具有上述表格的形式，则称随机变量X服从 。10.求离散型随机变量分布列的步骤： （二）、条件概率1. 事件的交（积

20、）:由事件A和事件B同时发生所构成的事件D，称事件A与B的交（积）记D=AB或D=AB2. 和（并）事件： 2.定义及计算公式： 一般地，设A、B两个事件，且P(A)>0，称= = 为在事件发生的情况下事件发生的条件概率读作 3.条件概率具有概率的性质：有界性 可加性：如果和是两个互斥事件，则= 例1在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率2.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡

21、，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( )A. B. C. D.求解条件概率的一般步骤： （三）、事件的相互独立性1. 事件与事件的相互独立定义： 设为两个事件，如果 ，则称事件与事件的相互独立注意： 在事件与相互独立的定义中，与的地位是对等的，一件事的发生与否对另一件事情发生的概率没有影响； 不能用作为事件与事件相互独立的定义，因为这个等式的适用范围是；如果事件与相互独立，那么与，与，与也都 相互独立事件同时发生的概率公式（概率的乘法公式）应用公式的前提？ 互斥事件与相互独立事件的区别： 判断两个事件相互独立的方法： 推广

22、：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率：应用公式的前提？例1：甲乙两人解一道数学题，他们能解出的概率分别是；求（1）恰有一人能解出这道题的概率（2）这道题能被解出的概率2.已知A、B、相互独立，试用数学符号语言表示下列关系：A、B、发生的概率分别为P(A)、P(B)、 A、B同时发生概率； A、B都不发生的概率； A、中恰有一个发生的概率； A、B中至多有一个发生的概率； A、B中至少有一个发生的概率； （四）、独立重复试验与二项分布1.独立重复试验：在 的条件下 做的次试验称为次独立重复试验2.注意：独立重复试验的基本特征：（1）、每次试验是在 条件下进行；（2）、

23、每次试验都只有两种结果 与 ；（3）、各次试验中的事件是 ；（4）、每次试验,某事件发生的概率是 。（5）.独立重复试验的实际原型是 的抽样试验。（有放回，无放回）3.二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为：= ，则称随机变量服从 记作：（ ），并称为 注意：公式中的X、k、n、p分别表示什么？ 4. 二项分布与两点分布、超几何分布的区别与联系？例1例1某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射击手在5次射击中（1）恰有3次击中目标的概率；（2）至少有3次击中目标的概率（3）击中次数少于3次的概率是多

24、少？变式：上题目中求下列问题的概率（1）只有前3次击中目标的概率（2）第二次击中的概率（3）刚好第二次、第五次击中目标的概率（五）、离散型随机变量的均值1.样本平均数计算公式 加权平均数计算公式 2.均值或数学期望： 若离散型随机变量的分布列为：则称 为随机变量的均值或数学期望它反映离散型随机变量取值的 注意：随机变量的均值与样本的平均值的区别与联系：3.几种分布的数学期望若服从两点分布，则 ；若，则 若服从超几何分布，则 4. 求离散型随机变量的数学期望的方法和步骤？5. 求随机变量的连续函数的概率一般地，若是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量，即随机变量的某些函数也是 。要求f()的分布列，只需求出随机变量的分布列，再求f()的分布列时，要做到f()的取值 ，若f()的取值有重复时，需把他们的概率 ，作为此随机变量的概率6.离散型随机变量期望的性质：若，其中为常数，则也是随机变量，且 特别地，我们有：当a=0时， 当a=1时，有 当b=0时，有 。例：已知随机变量X的分布列为：X-2-1012Pm试求：（1）E(X) ;(2)若Y=2X，求E(Y) ; (3)若Y=2X-3，求E(Y)（4）（六）、离散型随机