等腰梯形的轴对称性讲义

1、中小学1对1课外辅导专家课题等腰梯形的轴对称性学习目标与考点分析 了解等腰梯形的有关概念，探索并掌握等腰梯形的性质和一个梯形是等腰 梯形的条件； 了解等边三角形的概念并探索其性质。学习重点1. 等腰梯形的定义2. 等腰梯形的性质3. 等腰梯形的识别学习方法引导、分析、探究学习内容与过程等腰梯形的轴对称性知识点一等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫等腰梯形知识点二 等腰梯形的性质(1) 等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴为过两底中点的直线(2) 等腰梯形在同一底上的两个角相等(3) 等腰梯形的对角线相等(1) =； (2) =; (3)例1如图，梯形 ABCD中，AB / CD, AD=BC，连接 AC

2、、BD,则知识点三等腰梯形的识别(1) 两腰相等的梯形是等腰梯形(2) 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形一 简单说理题例1如图，已知梯形 ABCD中，AD / BC, AB=CD , E为BC的中点，试说明AE=DE二简单的计算例2如图，在梯形 ABCD中，AB / DC, AB=AD=BC , DC=BD,AC ,求梯形各内角的度数三 本节中的数学思想方法例3若等腰梯形的三边长分别为5,6,17,则这个等腰梯形的周长为A.33B.45C.33 或 45D.33 或 34 或 35四探索题例4 如图，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB=CD,E为CD的中点，AE与BC的延长线

3、交于点 F。(1) 判断Saabf和S梯形ABCD有何关系，并说明理由(2) 判断Saabe和S梯形ABCD有何关系，并说明理由(3) 上述结论对于一般梯形是否成立？为什么？线段的轴对称性(1) 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴(2) 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(3) 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上8龙文教育无锡训导部例1 (1/如图1,已却线段 AB ,CD± AB于点E, AE=BE，点F在CD上，贝U FBFA2)如图2,已|知线段AB,DD满足AC=BC、AD=BD，则直线 CD是AB的角的对称性角是轴对称角平分线上角的内部到(

4、1)(3)线上例2图B点角D分线所在的直线是它的对称轴两边的距离相等距离相等的点，在这个角平分形，角平 到角的 的两边D是OC上一点，DE ± AO于点E, DF ± OB于点F,则DE DF(1) 如图1 , OC是Z AOB的平分线，(2) 如图 2, ZAOB 内一点 C, CD ± OA 于点 D, CE± OB 于点 E,且 CD=CE，贝U OC 为Z AOB 的的垂直平分线，交AB于点E,交AC于点D , BCD的 求AB的长中，AB=AC , DE 为 AB 周长为 14cm, BC=5cm ,例 2 在 ABC 中，AD 平分Z BAC

5、，匕 C=90° , DE ± AB，交 AB 于点 E, BC=10,ABD=2CD，求 DE的长B二、说理题例3如图，在 ABC中，边AB、BC的垂直平分线 MM 1、NN 1相交于点P,那么P点在AC的垂直平分线上 吗？为什么？AN三应用性试题例4 A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等，变电站建在什么位置最佳？（用点 P表示）B>3、（2010泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张 ABC纸片，点D、E分别是边AB、 AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若ZA

6、= 70°,则Z1 + Z 2=（）A. 140°B. 130° C. 110° D. 70°【典例导析】如图，C是Z AOB内一点，Ci、C2分别是点C关丁 OA、OB的对称点，若Ci、C2的连线交OA 丁 D,交 OB 丁 E, CiC2 = 4.5cm，贝U CDE 的周长为（）A. 4.5cm B. 6.5cm C. 5.5cm D.无法求如图，在ABC中，点。是Z ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是（）A. OB = OCB . OD = OFC. OA = OB = OCD . BD = DCA.

7、13 B. 14 C. 15 D. 16【专题训练】1、如图，等腰 ABC的周长为21,底边BC = 5, AB的垂直平分线DE交AB 丁点D,交AC 丁点E,则ZXBEC的周长为（）1、已知，如图， ABC中，ZABC与Z ACB的平分线交丁点 P,那么点 P是否在Z BAC的平分线上？为什么？2、下列说法：（1）若直线PE是线段 AB的中垂线，WJ EA = EB, PA= PB; （2）若EA = EB, PA=PB,则直线PE垂直平分线段AB ; （3）若PA= PB,则点P必是线段AB的中垂线上的点；（4） 若AE = BE,则经过点E的直线垂直平分线AB,其中正确的个数为（）A.

8、1个 B . 2个 C. 3个 D . 4个3、 已知，如图， ABC的两个外角的平分线交丁点 P,那么点P是否在/ BAC的平分线上？为 什么？【中考真题】（2010无锡）如图， ABC 中，DE 垂直平分 AC 交 AB 丁 E, Z A = 30°, Z ACB = 80°,则ZBCE =°。课内练习与训练中小学1对1课外辅导专家中小学1对1课外辅导专家已知ABC中AB = AC,且过ZXABC某一顶点的直线可将 ABC分成两个等腰三角形，试 求ABC各内角的度数。如图， ABC 中，Z C= 90°, AC = BD , AD 平分Z CAB 交

9、 BC 丁 D , DE ±AB ,垂足为点 E,AB = 12cm, DC = 5cm，则 DEB 的周长为。C13龙文教育无锡训导部如图，在 Rt ABC 中，AB = AC, Z A = 90°,点 D 为 BC 上任意一点,DFLAB 丁 F, DE ±AC 丁 E, M为BC的中点，试判断 MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。(1)如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD = 3cm, A ABC的周长为20cm,求AC的长.(2)如图，在 AB C 中，AB = AC , AD ± BC , Z BAD = 40°, AD

10、 = AE .求 Z CDE 的度数.C【专题训练】1、如图，等边三角形ABC的三条中线交丁点O。则图中除 ABC还有 等腰 三角形.2、已知等腰三角形的一个外角为 80°,则这个等腰三角形的内角分别是3、 周长为15,边长都是整数的等腰三角形共有 中。5、已知AB = AC = 5, BC= 3,沿BD所在的直线，折叠使点 C落在AB上的E点，求 AED 的周长。6、已知 ABC的周长为24, AB = AC , AD ±BC 丁 D,若 ABD的周长为20,则AD的长为( )A. 6 B. 8 C. 10 D. 127、如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，取AC

11、的中点E,连结DE,则图中与DE相等的线段有()A. 1条 B . 2条 C. 3条D . 4条如图，过已知线段AB的两个端点，作射线AM、BN,使AM / BN,按下列步骤画图，并回答：(1) 画Z MAB , Z NBA的平分线交丁点 E, Z AEB是什么角？(2) 过点E任作一直线交AM 丁 D,交BN 丁 C,观察线段DE、CE,你有何发现？说明你的 猜想。(3) 试说明，无论D、C的两个端点在AM、BN上如何移动，只要DC经过点E, AD + BC都 等丁 AB。B/N8、Z MAN是一钢架，且/ MAN = 15°,为使钢架更加坚固，需在其内部加一些钢管 CD、DE、

12、EF、，添加的钢管长度都与AC相等，则最多能添加这样的钢管根。【典例导析】如图，等腰梯形 ABCD 中，AD / BC, BD ±CD, Z ABC = 60°, BC = 16cm，求等腰梯形 ABCD已知：如图，在等腰梯形 ABCD中，AB / DC,请你画出一点P,使 PAB、 PBC、 PCD、 PDA都为等腰三角形，这样的点 P有。AB如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB / DC。由四个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行 四边形。(1) 求四边形ABCD四个内角的度数；(2) 试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；(3) 现有图甲中的等腰

13、梯形若干个，利用它们你能拼出一个四条边都相等的四边形吗？若能， 请你画出大致的示意图。已知：如图，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AC ±BD ,垂足为O, AC = 8cm。求梯形ABCD中考真题（2010无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（A.两边之和大丁第三边B.有一个角的平分线垂直丁这个角的对边C.有两个锐角的和等丁 900 D.内角和等丁 180°（2009江苏）（1）观察与发现小明将三角形纸片ABC （AB >AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD , 展平纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点 A和

14、点D重合，折痕为EF,展平纸片后得 到AEF （如图）。小明认为 AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。BDC（2）实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE （如图）； 再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG （如图）；再展平纸片（如 图）。求图中Z a的大小。（2010无锡）（1）如图1,在正万形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P 是BC延长线上一点，N是Z DCP的平分线上一点。若Z AMN = 90°,求证：AM = MN。下面给出一种证明思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明。证明：在边 AB 上截取 AE = MC，连 ME。正方形 ABCD 中，Z B = Z BCD = 90°, AB = BC。二 Z NMC= 180° Z AMN -Z AMB = 180&#