函数的定义域》复习

1、函数的定义域函数的定义域复习复习（1）对于变量x允许取的每一个值组成的集合A为函数y=f(x)的定义域.对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（2）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。（2）对于变量y可能取到的每一个值组成的集合B为函数y=f(x)的值域. 一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之确定，则他们都是函数。下列图形中，不可能是函数y = f （x）图像的是（ ）yyyxyxxx(A)(D)(C)(B)D例2:根据函数的定义判断下列对应是否为函数: 2(1),0,;(2),.xxxRxxyx xN yR2这里y 判断标准：两个非空数集

2、A、B，一个对应法则f，A中任一对B中唯一。例3:比较下面两个函数的定义域与值域: (1)f(x)=(x-1)2+1 ,x -1,0,1,2,3(2)f(x)=(x-1)2+1例2下列函数哪个与函数y=x相等)(2) 1 (xy 33)2(xy xy2) 3(xyx2)4(解（1） ，这个函数与y=x（xR）对应一样，定义域不不同，所以和y=x （xR）不相等)0()(2xxyx （2） 这个函数和y=x （xR）对应关系一样 ，定义域相同xR，所以和y=x （xR）相等)(33Rxxyx|2xyxx，x0-x，x0（3） 这个函数和y=x（xR）定义域相同x R，但是当x0且且a1， a2)

3、的定义域。的定义域。 例例6、已知函数、已知函数f(x)的定义域是的定义域是(0,1,求求g(x)=f(x+a)+f(x-a)(其中其中-1/2a0)的定义域。的定义域。如求函数如求函数y=log2(1-ax)的定义域？的定义域？把？把2改写成改写成以以a为底的指为底的指数和对数数和对数22loglog2aaaa 综合综合2：设函数设函数 求求f(x)的定义域；的定义域；问问f(x)是否存在最大值和最小值？如果存在，是否存在最大值和最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，说明理由。请把它写出来；如果不存在，说明理由。 )(log) 1(log11log)(222xpxxxxf二、求二、求函

4、数的值域问题函数的值域问题1： 求函数的值域首先要确定函数求函数的值域首先要确定函数的定义域，函数的值域就是当自变的定义域，函数的值域就是当自变量量x取不同值时对应的取不同值时对应的y值的集合；值的集合；2：函数的值域一定要用区间或集合：函数的值域一定要用区间或集合表示；表示；3：函数的值域是函数值的集合，：函数的值域是函数值的集合，与函数的最值不同；与函数的最值不同；函数值域的求法函数值域的求法方法方法1，直接法：，直接法：有些函数的结构不复杂，可通过基本有些函数的结构不复杂，可通过基本初等函数的值域结合不等式的性质直初等函数的值域结合不等式的性质直接求值域；要对学习过的基本初等函接求值域；

5、要对学习过的基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的指数函数、对数函数、三角函数）的性质和不等式的性质熟练的掌握；性质和不等式的性质熟练的掌握；164xy 0,)0,40,4)(0,4)例1，（20102010重庆文第重庆文第4 4题）函数题）函数的值域是（ ）B. A. C. D. 400164160,4)xxy答案：C 221;111,3 ,1134;11( 3 );1yxyyyxxxxyxxyx例 2 ： 求 下 列 函 数 的 值 域 ： ( 观 察 法 )( 1 )= ( 2 )= 方法方法2，分离常数法：，分离常数法

6、：22( )(0)( )(0)axbaxbxcf xacf xadcxddxexf形如或的函数，把其化为一个常数和另一个的函数，把其化为一个常数和另一个函数的和（差）的形式，即函数的和（差）的形式，即 ( )( ,)axbmf xkk mcxdcxd是常数 或222( )( ,)axbxcmf xkk mdxexfdxexf是常数即对那个函数进行求取值范围即可；即对那个函数进行求取值范围即可；例例3，求下列函数的值域求下列函数的值域2( )1xf xx（1）221( )1xf xx（2）23( )1111xf xxx 解析：（1）( )(,1)(1,)f x 所以函数的值域是222212( )

7、11111xfxxxx （ 2），2202( )( 1,11f xx 1222xx：y变式练习51442xyx例 、方法方法3，配方法：，配方法：或可配为二次型的函数，可用配方法。或可配为二次型的函数，可用配方法。2(0)y axbxc a对于形如 =例例5，求下列函数的值域求下列函数的值域2(1)23yxx(2)423xxy 222646;(2)46;0,3( )y=-+ +2y xxy xxxxx例 ：求下列函数的值域：(配方法)(1) = = 3 方法方法4，换元法：，换元法：换元法求函数的值域分两种情况：换元法求函数的值域分两种情况：（1）代数换元，形如）代数换元，形如( )f xax

8、bcxd用换元法把根号换掉。用换元法把根号换掉。（2）三角换元：三角学完再讲）三角换元：三角学完再讲 例例7，求下列函数的值域求下列函数的值域 ( )1 2f xxx2 +4 1+ ;2 +4 1- ;- ,-3yxxyxxx例8：求下列函数的值域：(换元法)(1) =(2) =变式 方法方法5，利用函数的单调性求值域：，利用函数的单调性求值域：如：（如：（1）在公共定义域内：简记为：）在公共定义域内：简记为：增增+增增=增增 减减+减减=减减0( )( )kkf xf x2（ ）若单，则与调性相同；0( )( )kkf xf x ，则与若单调性相反；1( )( )f xf x（3）函数与单调

9、性相反；211( )()2f xxxx （1）例例9，求下列函数的值域求下列函数的值域( )12f xxx（2）解析：（1）由单调性的性质可知 1(,2x 函数在内递减，7,)4所以此函数的值域是1(,2x （2）函数在单调递增，1(, 2所以此函数的值域是。方法方法6，利用函数的图象求值域：，利用函数的图象求值域：对于能够容易做出函数图象的，像分对于能够容易做出函数图象的，像分段函数，或是含有绝对值符号的解析段函数，或是含有绝对值符号的解析式，往往利用函数的图象求值域。式，往往利用函数的图象求值域。例例10，求下列函数的值域求下列函数的值域( )232,0,2f xxx111=+1 +-2+

10、1 +-25xxxx例：求下列函数的值域：(图像法)（ ）y变式：解不等式方法方法7，利用反函数法求值域：，利用反函数法求值域：当函数的反函数存在时，反函数的当函数的反函数存在时，反函数的定义域就是原函数的值域。定义域就是原函数的值域。例例12，求下列函数的值域求下列函数的值域12xyx22222+2 +5=+ +1+5 +6(2) =+2 -3xxxxxxyxx例13：求下列函数的值域：(判别式法)(1)y 222(,2)1xaxyaxx 例14：求使函数的值域为的 的取值范围。2222,1xaxxx令22131()0.24xxx 222222.xaxxx2(2)40.xaxxR即此不等式对

11、恒成立。2 (2) 4 1 40.a 62 .a解 得2221|62.xaxyaxxaa使 函 数的 值 域 为 (-,2)的的取 值 范 围 为三、求三、求函数值的问题函数值的问题() )(yf xxAxxaf aay设函数，如果自变量取值为 ，则由法则f确定的 的值叫做函数在时的函数值，记为(1)先求出函数解析式，然后代先求出函数解析式，然后代入求值入求值思路：可利用方程法先求思路：可利用方程法先求出函数的解析表达式，然出函数的解析表达式，然后代入求值后代入求值(1)f1()2 ( )3fxf xx例 ：已知则的值是 （2）整体法）整体法22( )1xf xx111(1)(2)(3)(4)

12、( )( )( )234fffffff例2：已知:，则= ？ 2222222111( )( )111111xxxf xfxxxxx11117(1)(2)(3)(4)( )( )( )323422fffffff（3）赋值法：对于与抽象函数）赋值法：对于与抽象函数有关的求值问题可采用此方法有关的求值问题可采用此方法 2xy(4)2 (2)4ff4xy令(16)2 (4)8ff可求出【解析】由已知可得：令可求出; 令;的值例3：已知()( )( )f xyf xf y,若(2)2f ，求(16)f四，函数解析式的求法：四，函数解析式的求法：方法方法1，配凑法，配凑法： 此方法是整体代换思想的体现，此

13、方法是整体代换思想的体现，把括号里看成一个整体，把等式的把括号里看成一个整体，把等式的右边化成含有这个整体的表达式即右边化成含有这个整体的表达式即可可2(1)53f xxx ，( )f x例4.已知求的表达式 方法方法2，换元法：，换元法：此方法用于不宜配凑的题目或很此方法用于不宜配凑的题目或很难配凑出的题目，把括号里的式子难配凑出的题目，把括号里的式子换成换成t，等式的右边用，等式的右边用t表示出来，表示出来，求出求出( )f t 的表达式，然后在把的表达式，然后在把t换换成成x即可，注意即可，注意t的范围的范围2(1)53f xxx ，( )f x例5.已知求的表达式 方法方法3，待定系数

14、法：，待定系数法：如果已知到函数的类型，即已知如果已知到函数的类型，即已知( )f x是什么样的函数，然后设出此函数是什么样的函数，然后设出此函数的一般式，利用待定系数法求出参的一般式，利用待定系数法求出参数即可数即可例6.已知函数是二次函数，且( )f x2(1)(1)244f xf xxx( )f x，求的表达式；方法方法4，构造消去法：，构造消去法：1 ( )()( )( )( ,)f xfxf xfxf x若已知中含有和和的关系式时，可构造出另一个方程，然后求出1( ) 2 ( )1f xfxx且( )1+f x例 7 ： 已 知 函 数的 定 义 域 为 ，( )f x求的 表 达

15、式五，分段函数问题五，分段函数问题分段函数的定义：分段函数的定义：指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。两点注意：两点注意： （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集1,lg1, 1)(2xxxxxf( (10)fflg101例例8、（12江西理江西理3）若函数若函数，则A 、 、 B、2 C、1 D、0110lg)10(f解：211) 1 ()10(2 fff所以求下列函数的解析式：222(1)( )(0)2,(1)( )1,( ).(2)(1)2,( ),(1),();111(3)(),( ).(4)3 (

16、 )2 ()3,( ).f xff xf xxf xfxxxf xf xf xxxff xxxxf xfxxf x已知是二次函数，且求已知求已知求已知求2( )( )(0), ,(2)211(3)(4) ,( )( )()f xf xaxbxc aa b cxxxxttxxxxf xxxf xfx分析：(1)由已知是二次函数，所以可设求出即可。将适当变形，用的式子表示。视为一整体不妨设为 ，然后用 表示 ，代入原表达式求解。同时使得有意义，用代 建立关于、的两个方程。(1)( )1.1,f xf xxaxabx由得恒等式2比较等式两边系数2(1 )()(0 ) .( 0 )2 ,2 .fxa xb xcafc设由即13,.22ab