2011数值分析第一次作业及参考答案解析

1、1 数值计算方法第一次作业及参考答案 1.1.已测得函数y = f(x)的三对数据：(0 0, 1 1), (- 1 1 , 5 5), (2 2, 1 1), (1 1 )用 Lagra ngeLagra nge 插值求二次插值多项式。(2 2)构造差商表。(3 3)用 Newt onNewt on 插值求二次插 值多项式。 解：(1)(1)LagrangeLagrange 插值基函数为 (2)令x0 =0,为-1, x2 = 2，则一阶差商、二阶差商为 口心勿 口 4, gx，-1) =_2 0_(_1) _1_2 -4-2) f x0 , x1 , x2 P 1 0-2 实际演算中可列一

2、张差商表： x yi 一阶差商 二阶差商 0 0 1 1 1 1 5 5 4 4 2 2 1 1 2 2 1 1 (3(3)用对角线上的数据写出插值多项式 F2(x) =1 (-4)(x-0) 1*(x -0)(x 1) = x2 -3x 1 2.2.在-4乞x空4上给出f (x) =ex的等距节点函数表，若用二次插值求 ex的近似值，要使 截断误差不超过10，问使用函数表的步长 h应取多少？ 解： f (x) =ex, f(k)(x) =ex e4, x -4,4,考察点 x -h,x0, x0 h 及 x x0 th, t 乞 1.lo(X) (x 1)(x-2) (0 1)(0 -2)

3、1 T(x 1)(x-2) 同理 1 h(x)= 3X(X-2), 2 P2(x)八 yli x ) i =0 =x2 -3x 1 1 l2(x) x(x 1) 6 1) 1 x( x)( 2x X-( 2 3 x ( 2 |f( 3)(绷 则 R2(x)| = 3! |(x 一(x0 一 h)( x x0)x 一(人 + h) e4| |t(t1)(t+1) -|(t+1)h th -(t -1)h 3! e4 2 3 -=h3. (-4,4). 6 3.3 1 C t(t -i)(t +i)在点土忑处取到极大值 4 令 *h3 龙 10(得 h 0.006. 9.3 3.3.求f (x)

4、= x2在a,ba,b上的分段线性插值函数 lh(x)，并估计误差 解: 2 2 Xk 1 -人 Xk 1 (x )x x x -(xk xk 1) _ xkxk 1 Xk 一兀 1 R(x)| =| f(x) Ih(x)| = x2 仇 +Xk+)x XkXk十 =(x_xk)(x_xk卅)兰 1 兀十_兀=1 h2 4 4 4.4.已知单调连续函数 y = f (x)的如下数据 X 0.110.11 0.000.00 1.501.50 1.801.80 f (Xi) 1.231.23 0.100.10 1.171.17 1.581.58 用插值法计算X约为多少时f(x) =1.(小数点后至

5、少保留 4 4 位) 解：作辅助函数g(x)=f(x)-1,则问题转化为 x 为多少时，g(x)=0.此时可作新 的关于 g(Xi)的函数表。由f (x)单调连续知g(x)也单调连续，因此可对g(x)的数 值进行反插。的牛顿型插值多项式为e4h3 3! I h (x)- X卞1 xk Xk 1 2 Xk 上王x2仃心心 xk 1 -兀 Xk xk 1 3 x=g(y) = -0.11 0.097345(y 2.23) 0.451565(y 2.23)(y 1.10) -0.255894(y 2.23)(y 1.10)(y-0.17) 故 x =g( 0)= 1. 32 149 7. 5.5.设

6、函数f (x)在区间0,30,3上具有四阶连续导数，试用埃尔米特插值法，求一个次数不高于 3 3 的多项式 R(x)，使其满足 R(0)=0，R(1)=1，R(1) = 3, ,P(2)=1。并写出误差 估计式。 5 7 解：由所给条件可 用埃尔米特插值法 确定多项式 F3(x)， P3(x) x3 7x-x ：1(x)=-xX- 2);： 1X (= )x x-( x4)( 由题意可设 R(x)二 f (x) - p3(x)二 k(x)x(x-1)2(x - 2) 为确定待定函数 k(x)，作辅助函数： g(t) = f (t) - P3(t) -k(t)t(t -1)2(t -2) 则g(

7、t)在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有 5 个零点t =x,0,1,2(t =1为二重 零点)，反复应用罗尔定理，知至少有一个零点 (0,3) 使 g4)= 0，从而得 k(x) J f ()o 4! 1 故误差估计式为 R(x)二一f()X(X-1)2(X-2) (0,3) 4! 6.6.设函数y二f (x)在节点x =0,1,2,3的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的 三次样条插值函数S(x): (1) f(0) =1, f(3) =0 (2 2) f(0)=1, f(3) =0 解：(1)取洛处的一阶导数 m 作为参数，i=1,2。由于 4 k = - i =1 対gi=3

8、GfXiXi+ifXi,x)=0 hi hi 2 2 以及由三转角方程人 mi斗+2m+片厲十=9 匚，i=1,25 -o 2 4mj m2 - -1 由于 m =1,m3 =0,从而 E + 4m2 = 0 解之可得 叶 4/15,叫=1/15 x( x 1 ) (1 5 11 ) / 1 5 ,x 0,1 S(x)= (x- 1)X- 2)(7x3 ) /1X5, 1, 2 (x-32) x- 2)/15, x 2,3 (2) 取 x 处的二阶导数 Mi作为参数，i =1,2。由于 以及由三弯矩方程 1 1 M0 2M1 M 2“ 2 2 1 1 M1 2M2 M3=0 2 2 由于 M。

9、=1,M0,代入方程可得 M1 二-4/15, M3 =1/15, x(1 x)(1 炉 26)/90，游 故 S( x)= (x- 1)1- 2)*5 1 2) / 90, 1,2 (3-x )x- 2X(- 4) /90 x 2,3 7 7 编程实现题: 略。 31 8 8、试求 f (x) =sin x, x 0,最佳一次一致逼近多项式。 解：因为 f(x)=-si nx 在0,二/2内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为 R*(x)二f (0) f 1* )/2a xGx /2) 1 从而 R(x)=(siix )/2a x( x 上 2) 0.1 0525683 0.)63661 97

10、7 1c 1 m0 2m! m 2 2 1c 1 mi 2m 2 m 2 2 3= hi j hi di =6fxx,Xi= 0 M j2M j .M i 勺=dj i =1,2 = 6 式中印=f ( /2) f(0) 2 = 0.63661977 f (x1 cosx- = x = 0.88068924 兀/ 2 _0 兀7 9 9、给定f(x)二X X -1,试利用最小零偏差定理， 即切比雪夫多项式的最小零偏差性质, 在0,1上求f(x)的三次最佳一致逼近多项式。 (T2(x) =2x2 3 -1, T3(x) = 4x3 -3x, T4(x) =8x4 -8x2 1) 解：令 t =2

11、x-1= f (x) = f (1 )= )4 3(t 】)3-1. 2 2 2 t亠1 设 F3 (x)为f(x)在0,1上的三次最佳一致逼近多项式，由于f (- -)的首项系 2 1 数为二，故 24 t +1 * t +1 1 16f (亍)-P3(_2沪尹T4(t) t 1 t 1 4 t 1 3 1 4 2 =R( )=( )4 ( )3-1 (8t4-8t2 1) 2 2 2 16 8 二 P*(x) =(x4 3x3 -1) - 8(2x-1)4 -8(2x-1)2 1 16=8 5 2 1 129 -x -x - 4 4 128 1010、设羽=spa n1,x,申2 =spa

12、 nx100,x101，分别在曙、 2上求一函数，使其为 2 x C0,1的最佳平方逼近，并比较其结果。 解： 、i . * * * (1)设 1 ax 1 1 1 因(,%) =012dx=1, (% 严 d = J0 xdx = 2, (卅1)十醯1(5=2, 1 1 (f, J x2 xdx =- 0 4 * 1 * a0笄 2 2 二 f 2 ak(f, ) ： 0.00556 k=0 = 3x3 x 0,1 f a。 .ai =1 X 2 8 = 1*1*1 ao 3a4202 9 = 2 (x)二 375.24253x100 - 375.14825X101. 1 .2 . .2 *

13、 1 4 1 |6|2 Tl f |2 -迟 n(f，臥)=l X4dx-375.24253 汇 -375.14825x k=g 103 由结果知（1 ）比（2）好。 2 1111、用最小二乘法求一个形如 y=abx的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方 误 x 1919 2525 3131 3838 4444 yi 19.019.0 32.332.3 49.049.0 73.373.3 97.897.8 解:设；(x) =b；x100 Z101 他浮0)= J0 (x100)2dx =，1x100 0 1 103, x101dx= 1 （f，】 ） 0X 1 103 1 dx = 104

14、 1 * 1 * b。 b 二 _ 201 202 1*1， b。 b b0 375.24253 b* : -375.14825 1 0.16406 104 10 4 4 因 0(x) =1, 1(X)=X4有(0, 0)八 ；(Xi)12 =5, 7 7 4 4 (0, 1( 1, 0)八 0(Xi) (Xi)八 xS5327, i A i 4 4 (1,1)八 l(Xi)i(Xi)Xi4 =7277699, i =0 i =0 4 4 (by)八 0(X)yi，% =271.4, i =0 4 4 (1,y)八 1(Xi)yiX2yi =369321.5, i=0 i=Q 5a 5327b

15、 二 271.4 a 二 0.9726045 5327a 7277699b 二 369321.5 二 b = 0.0500351 二 y = 0.9726045 0.0500351X2. 2 2 卜I2 二 y 2 -aC0,y)-b( l,y) = 0.016954. I 可 2 =0.130207526. 2(x) =(x-： 2)1(x) - 0(x)=(x-2)2 1212、用格拉姆-施密特方法构造正交多项式求 f（x）=si n二x在0 0, 1 1上的二次最佳平方 11 逼近多项式。（参考讲义与参考书） 解：构造正交多项式 o(x)二 1 ； ：0） 1 n xdx 0, ：0)

16、1 1dx n c L0L0) 1) ( 1、2 (x _ 2) 1 01dX （X1,1） 1 0X(X ( ;:1,1) dx )2dx 2 1 )2dx 2 12 1 X 12 (00)= . Idx =1 1 0(X ；)2dx 12 12 1 2 1 2 ( ：2, 0(x -x 6)dx 180 1 2 0 sin 二 xdx (f, 1 )= .；(x -如n 二 xdx =0 1 (f,2”0( -x 6)sinxdx= 二 2 12 3 二 3 所以，f （x）二 sin 二 x在o o, 1 1 上的二次最佳平方逼近多项式为 ：(x) （f, 0） （00） 丄 1（x）

17、d2（x） 1） 2, 2） - 4.1225 x2 4.1225 x - 0.05047 1313、求 f (x) =ex 在 1 1，1 1 上的三次最佳平方逼近多项式。 （参考讲义与参考书，利用 LegendreLegendre 正交多项式） 先计算（f,PQ (k =0,1,2,3)。 又有 s3(x) 均方误差 1 (f,R)ex 1 d x = e 2.3504 ; e x xe （f,P2）jx2 d x = 2e，： 0.7358 ; :0.1431 ; e -d 2丿 ao =(f,F0)/2 =1.1752 = 5(f ,P2)/2 二 0.3578 二 1.1752 1.

18、1036 x 0.3578 =0.9963 0.9979 x 0.5367 x =37 1 -5e ： 0.02013 .; e * a1 3( f ,PJ/2 二 7(f ,P3)/2 1 2 (3x 2 x2 0.1761 x3 -1) 0.07046 1.1036 0.07046 ， (5x3 - 3x) 2 n 2 二 - S3 (x) I2 13 2 * 2 - a k 0.0084 2 k 1 1414、A A、B B C C 三点连成一条直线，ABAB 长为Xi , BCBC 长为X2，某人测量的结果为 Xi =15.5米, x2 =6.1米，为控制丈量的准确性， 又测量AC =

19、为 x2 =20.9米，试合理地决定 x和x2的 长度。(小数点后取四位有效数字) 解：令人为ABAB 的所求值，x2为 BCBC 的所求值，贝U捲=15.5 =为亠习，x2 = 6.1 = x2亠：2, X x2 = 20.9 = % x2 3.故 v =15.5-捲，；2 = 6.1 x2, 3 二 20.9-(为 x2). 在最小二乘意义下，要 f f - -；亠亠抒达到极小， 即求 f =(x -15.5)2 (x2 -6.1)2 (x1 x2 -20.9)2的极小点。 令 :f 讦 2(x； 一15.5) 2(x1 x； 20.9) =0, * =2(x； 一6.1) 2(x； x；

20、 一20.9) =0, -x x2 解的 x； =15.2667, x2 =5.8667。故应取 捲 15.2667, x? 5.8667。 x 1515、求函数f (x)二e在区间1 1, 1 1 上的近似 3 3 次最佳一致逼近多项式有哪几种方法? 选一种方法解本题，并估计误差。 (参考讲义与参考书) 解：三种方法，见参考讲义。 (1) 截断切比雪夫级数 由富利叶级数系数公式得 ecocosk 它可用数值积分方法计算，得到 C0 =2.53213176 C =1.13031821 C2 =027149534 C； =004433685 n 2 二 - S3 (x) I2 14 n 由 Cn

21、(x) 0 CkTk(x),及Tk (x)的公式得到 2 心C3(x) =0.994571 0.997308 X 0.542991 X2 0.177347 X3, 15 eX 一 C； (x)| 0.00607. (2) 拉格朗日插值余项的极小化 由T4(X)的 4 4 个零点 2k -1 Xk 二 cos - 8 (k 二 1,2,3, 4) 做插值点可求得 2 3 L3(x) =0.994584 0.998967X 0.542900X 0.175176X， eX - L3(x) _ 二 0.00666 . (3(3) 台劳级数项数的节约 应用e X的台劳展开，取n = 6,得 P6(X)=

22、1 x 丄x2 2 24X 4丄x5 120 丄X6. 720 作为e 的近似，其误差为 max 二_XP6 (X) e 7! 5.3934 10 由于 T6(X) 3X4 32 2 9 X 16 丄 32 1 1 1616 T5(X) 5 5 1616 X,X, 1 P6(X)= M6,4(X)五 (X) 720 T6(X), 32 若再用x 4 T 4 ( X ) x 2 代入M 6,4 (X)可求出 16 max eX 一 M 6,4 (x)兰 0.0005393 1920 23040 其中 M 64 (x) = 1.0000434 + 0.9973958X + 0.4996094x2

23、0.1770833 x3 0.043750 用M6,4(X)做e X的逼近多项式，其误差为 若再用x 4 T 4 ( X ) x 2 代入M 6,4 (X)可求出 17 2h 8h 4h 8h ,hf(x)dxUf(h)(0)f(h)具有三次代数精度 1 1 当 f (x) =1 时 I f (x)dx f (-1) + 2 f (xj +3 f(X2). 3 有两个参数，令 f(x) =x, x2精确成立 M 6,3 (x) =0.994575 + 0.997396 2 3 x 0.542969 x 0.177083 x , max岂e -M 6,3(x)| 兰 . 651 1616 编出用

24、正交多项式( (格拉姆-施密特) )作最小二乘拟合的程序或框图。(参考讲义与参考书) 略。 1717.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式 所具有的代数进度。 1 1) 2 2) 2h 2h f(x)dx ： A 二 f(-h) A0f(0) AJ(h); y .2h 1 J(x)dx f(-1) 2f(X1)3f(X2) 3 解：(1)三个参数，代入 Aj A0 A( = 4h f (x) =1,x, x2戶 -hA+hAL。 二 (h2)Ah2 3 8 A=h 3 -4 A0 =h 3 8 Ai = _ h 7 f x3dx =叫-h)3-彳h Q3

25、+ 辿(h)3 =0 2h 3 3 3 2h 4 *hx dx 04 旦(h)4 二 h5 3 3 3 若再用x 4 T 4 ( X ) x 2 代入M 6,4 (X)可求出 18 1 1 而 J 斗 x3dx 式一T+2x；+3x2 3 1 故.斗 f (x)dx ： f (-1) 2 f (0.68990) 3f(-0.12660)/3 1 与.(x)dx ： f(-1) 2f(-0.28990) 3f (0.52660)/3 均具有 2 次代数精度.2x1 3x1 2x； 3x； = 1 为=0.68990 x2 二-0.12660 或X1 X2 二-0.28990 二 19 “ 113

26、 1818、已知 Xo , X1 , X3 ： 4 2 4 (1) 推导以这三个点为求积节点在 (2) 求上述求积公式的代数精确度。 1 2 (3) 用上述公式计算 x dx。 0 1 故有 f (x)dx L2(x)dx =瓦 Akf(xQ (2)因为上述由二次插值推出，故至少具有二次代数精度，将 f(X)=X3,X4代入有 / 3. 1 cr 3 r1 4 I 1 亠 cr 4 37 x dx Qx x dx Qx ： 0 4 0 5 192 故该求积公式的代数精度为 3 3 次。 1 2 1 1 2 1 2 3 2 1 (3) .0 x2dx ：匚2 (；)2 -(；)2 2 (：)牛

27、力 3 4 2 4 3 b 1919、如果要用复化梯形公式计算积分 lf二f (x)dx，试问应将积分区间a,ba,b分成多 La 少份，才能保证误差不超过 ；。 解：已知将a,b a,b 分成 n n 份的复化梯形公式的余项为 Rf 口 h2f( )口)， (a,b) 0 0，1 1 上的插值型求积公式。 1 1 解：(1 )过 Xo , X1 = 4 2 (x_(x夕) Lx) = 1 1 1 3 (d) ,X3 = 3三点的二次插值为 4 (xj)(x) + 44 1113 ( )( ) 2 4 2 4 1 1 1 (x-(x-1) f(2)3 1 3 1 2 y f(3) 其中A = 故求积公式为 x”/ dx 2 )(1 1)(1 3)d 3 (V2)(r4) 1 1 (x-4)(x-2), 2 3 13 1 dxH 3 1 1 0f(x)dx ： 3 1(x_4)(x_ 弓) 曲 5 1 3 k =0 20 12 12n2 记M =m