初等复变函数

1、第三节 初等函数一、指数函数二、对数函数三、幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考2一、指数函数一、指数函数1. 复指数函数的定义复指数函数的定义: zxiy 定定义义复复数数的的指指数数函函数数为为(cossin )zx iyxeeeyiy 2.复指数函数的性质复指数函数的性质:(1)(1)(2)(2)(3)(3)Im( )0, ( ),Re( ).xzf zexz当当时时其其中中|ze | |Arg() ze ,xe2() ykk 其其中中 为为任任何何整整数数12zze e 12() zze 加加法法定定理理3 . 所没有的所没有的该性质是实变指数函数该性质

2、是实变指数函数xe例例1 (4)(4)2 zk ie 2zk iee ze 2,zek i 即即 的的周周期期是是 (5)(5) ze 在在整整个个复复平平面面上上解解析析，()zzee 并并且且注意注意：121 2()zzz zee 一一般般不不成成立立12 , (1); (2)Re();izzzxiyee 设设求求12 zzee= = (6)(6)122zzk i 0, 1, 2,.k 4zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 1(2)ze 5二、对数函数二、对数函数1.

3、 定义定义zwzfwzzewLn , )( )0( 记为称为对数函数的函数满足方程，则令irezivuw ,iivureeiurevive)sin(cosArgzvzrulnlniArgzzLnzwln2uervk6 .2 , )( , Arg的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也是多值函数也是多值函数所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于izfwz ,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果将如果将 . Ln ln Ln 的主值的主值称为称为，记为记为为一单值函数，为一单值函数，那末那末zzz.arglnlnzizz 于是有于是有特殊地特殊地,

4、.,lnln Ln , 0 是实变数对数函数是实变数对数函数的主值的主值时时当当xzzxz Lnln2(0, 1, 2,),zzk ik 7例例2 解解注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广. Ln2, Ln( 1) 求求ln2=因因为为 Ln2 =ln( 1)= 因因为为 Ln( 1) ln|2|0i ln2 ln22k i () k为为整整数数ln|1|i i ln( 1)2k i (21) ki () k为为整整数数8例例3解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31

5、(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k92. 性质性质且且处处处处可可导导和和其其它它各各分分支支处处处处连连续续主主值值支支的的复复平平面面内内包包括括原原点点在在除除去去负负实实轴轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 1212(1) Ln()LnLn,zzzzLn( )(2)ze 1122LnLnLn,zzzzLnze , z2(0, 1, 2,.)zk ik 10证证 (3) , ln arg是是单单值值的的内内的的反反函函数数在在区区域域zwzezw wezzwdd1dlnd 证毕证毕.1z iargz lnlnzz考

6、虑, ln .z除除原原点点与与负负实实轴轴 在在复复平平面面内内其其它它点点处处处处连连续续11三、幂函数三、幂函数1. 定义定义注意注意: :, zwz 对对任任意意的的复复数数 以以及及复复变变量量定定义义幂幂函函数数为为Ln=zze Ln(ln| |arg2)=zzizk izee即即 Lnln(arg2) , .zzizkz 由由于于是是多多值值的的因因而而也也是是多多值值的的12(1) , n 当当为为整整数数时时Ln = nnzzze ln(arg2) nzizke (lnarg ) 2 nzizkn ie (lnarg ) nzize . nz 具具有有单单一一的的值值ln n

7、ze lnlnln zzze lnlnln zzzeee z zz ) (个个因子因子 n13(2) (, 0), ppqqq 当当与与 为为互互质质的的整整数数时时ln(arg2) ppzizkqqzze ln(arg2) ppzizkqqe ln cos(arg2 )sin(arg2 )pzqppezkizkqq , zq 具具有有个个值值 0,1,2,(1). kq即即取取时时相相应应的的值值ln(arg2) ppzizkqqee 14特殊情况特殊情况: 1) (), n 当当正正整整数数 时时 nzz , nnwz 即即当当时时 就就得得到到通通常常的的幂幂函函数数1 2) (), n

8、 当当分分数数 时时11Ln znnze 11ln(arg2) zizknne 11ln(arg2) zizknnee . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中11(arg2)izknnze nz 15(3) 当当是是一一无无理理数数或或者者虚虚数数时时，2k ie 这这时时的的所所有有值值都都不不相相同同z 就就是是无无穷穷多多值值的的函函数数Ln(ln| |arg2)=zzizk izee(ln| |arg )2=zizk iee 16例例4 4 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中ii

9、ieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案课堂练习课堂练习.3)( 5 计算计算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik172. 幂函数性质幂函数性质 , )1(的的在复平面内是单值解析在复平面内是单值解析幂函数幂函数nz .)(1 nnnzz . , )2(1个分支个分支具有具有是多值函数是多值函数幂函数幂函数nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn18 它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复各个分支在除去原

10、点和负实轴的复平面内是解析的平面内是解析的,1(3) ( ), ,. wznn 幂幂函函数数除除去去与与两两种种情情况况外外当当为为无无理理数数或或负负数数时时 是是无无穷穷多多值值的的1()zz19四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.20,2cos izizeez 我我们们定定义义余

11、余弦弦函函数数为为.2sin ieeziziz正正弦弦函函数数为为212. 三角函数的性质三角函数的性质(1) , zx当当 为为实实数数 时时 我我们们定定义义三三角角函函数数与与通通常常的的三三角角函函数数定定义义是是一一致致的的(2) sin , cos.zz是是奇奇函函数数是是偶偶函函数数.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz (3) 2. 正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数都都是是以以为为周周期期的的(4)(4)正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数在在复复平平面面内内都都是是解解析析函函数数.sin)(cos,cos)(sin

12、zzzz 22(5)(5)有有关关正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数的的几几组组重重要要公公式式12121212121222cos()coscossinsin,sin()sincoscossin,sincos1.zzzzzzzzzzzzzz sin0z (6)(6)的的根根,0, 1, 2,.znn cos0z 的的根根1() ,0, 1, 2,.2znn 23 解方程解方程0sin z解解0212sin2 izizizizieeieez12 ize. kz), 2, 1, 0( k24 , 时时为纯虚数为纯虚数当当yiz .cos ,sin , yiyiy时时当当( (注意：这是与实变函数

13、完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的) )sincoszz ( (7 7) )在在复复数数域域内内，不不能能断断言言| | | 1 1, ,| | | 1 1cos2yyeeyi sin2yyeeyii 25其他复变数三角函数的定义其他复变数三角函数的定义,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数 . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周期性周期性我们可以讨论它们的我们可以讨论它们的类似类似和和与与zz263. 双曲函数的定义双曲函数的定义 c

14、h,2zzeez 我我们们定定义义双双曲曲余余弦弦函函数数为为 sh,2zzeez 双双曲曲正正弦弦函函数数为为 th.zzzzeezee 双双曲曲正正切切函函数数为为274. 双曲函数的性质双曲函数的性质(1) , zx当当 为为实实数数 时时 我我们们定定义义双双曲曲函函数数与与通通常常的的双双曲曲函函数数定定义义是是一一致致的的(2) sh , ch.zz是是奇奇函函数数是是偶偶函函数数(3) 2.i 双双曲曲正正弦弦函函数数和和双双曲曲余余弦弦函函数数都都是是以以为为周周期期的的(4)(4)双双曲曲正正弦弦函函数数和和双双曲曲余余弦弦函函数数在在复复平平面面内内都都是是解解析析函函数数

15、sh()sh ,ch()ch .zzzz (sh )ch ,zz (ch )sh .zz 28:(5)(5)有有如如下下公公式式chc s ,oizz shsiniziz sinshiziz coschizz 22chsh1zz29五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , ,cos zwzwwz 记作记作的反余弦函数的反余弦函数为为那么称那么称设设,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方程的根为方程的根为21ArccosLn1 (. )zzzi30 同样可以定义反正弦函数和反

16、正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤重复以上步骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:2. 反双曲函数的定义反双曲函数的定义21 ArcsinLn(1)zizzi11ArctanLn.21izziiz 2 ArshLn(1),zzz反反双双曲曲正正弦弦2 ArchLn(1),zzz反反双双曲曲余余弦弦11 ArthLn21zzz 反反双双曲曲正正切切31例例5 5解解).32tan( Arci 求函数值求函数值 )32tan( Arci)32(1)32(1Ln2iiiii 53Ln2ii kii231arctan52ln2.31arctan212152ln4 ki . , 2 , 1 , 0 k其中其中32六、小结与思考六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基