2012年-河北-衡水中学-高三-名校模拟(一模下)-理科-数学解析

1、20112012 学年度下学期一模考试 高三数学（理科） 第I卷（选择题 共 60 分）共 120 分钟 一、 选择题（每小题 5 分，共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确 答案的序号填涂在答题卡上） 1、 若复数-一色（a三R,i为虚数单位）是纯虚数，则实数 a的值为 （） 1 +2i A. -6 B. -2 C. 4 D. 6 2、 已知 U 二1,2,3,4 ?,M 1,2?,N 二2,3?，则 CU M N =（ ） D. ABC是边长为 2 的正三角 D. 3 2 4、已知a*为等差数列，若a1 a5 a，则cos（a2 - a8）的值为（ ） A. - B.

2、2 3 2 1 C. 2 D. 2 5、“ m ：1 ”是“函数 f(x) 二x x m有零点” 的（ ) A.充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不 必要条件 T T T T 6、在边长为 1 的正三角形 ABC中，BD xBA, CE二yCA， x 0, y 0 ,且x，y = 1， A.1,4? B.1,3,4? C. ：4; A.- B. C. 7、执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 3 3 D. 2 4 8，则输入的数是 3、 如图， 一个空间几何体的三视图如图所示， 其中， 主视图中 形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 （） 则CD B

3、E的最大值为 A. 2或 2 . 2 B . 2-2 或-2“-2 C . - 2 或-2、2 D . 2 或-2-; 2 8、如上图，给定两个平面向量 0怖口OB，它们的夹角为120，点 C 在以 0 为圆心的圆弧 AB 上，且O?=xOA + yOB （其中x,yR），则满足xy42的概率为（ ） A. 2 -1 B 3 JI C. D JI 4 4 3 9、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y （吨标准 煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ？=0.7x+0.35， 那么表中 m 的值为（ ） J 4 5 6

4、2. 5 m 4 4+ 5 A.4 B.3.15 C.4.5 D.3 2 2 10、已知双曲线 务每=汨上。）的焦距为 2c，离心率为 e,若点（-1，0）与点（1, a b 0）到直 x y 4 线 1的距离之和为 S,且 S_c，则离心率 e 的取值范围是（ a b 5 a A.V,5 B. 2、7 C. 2 log2 x(x 0 ) 已知函数f x二 ?x(x 0 ) k = 4n k |n Z,/输入x/ 尹I H5, 7 D. 、 11、 且关于x的方程f x X - a = 0有且只有一个实 根, 则实数a的范围是（ A. -：， B. 0,1 C. 1,2 12、 在整数集 Z中

5、，被 4 除所得余数 k的所有整数组成一个“类” ，记为k，即 /输匾1/ /输出由/ I 一： 丨 k =0,1,2,3 .给出如下四个结论： 2012 1: -2 2: Z 二0 一 1 一 2 一 3； “整数a,b属于同一类”的充要条件是“ a_b0 ” .其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 第H卷非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) ( 3 13、 若 f(x)在 R 上可导，f(x) =x2 2f (2)x 3，则 o f(x)dx 二 . 14、 设面积为 S 的平面四边形的第i条边的边长为a,i =1,2

6、,3,4) , P是该四边形内一点， 4 点 P 到第i条边的距离记为hi,若別二竺二空二岂二k，则 a 二空，类比上 1 2 3 4 y k 述结论，体积为 V 的三棱锥的第i个面的面积记为 S(i=1,2,3,4), Q 是该三棱锥内的 点，点 Q 到第个面的距离记为di ,若S =二S3 1 2 3 于 _ 。 15、已知三边长分别为 4、5、6 的厶ABC勺外接圆恰好是球 O的一个大圆，P为球面上一点, 若点P到厶ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥 P-ABC勺体积为 _ a1 1,a4 3, S3 0) , C2是以直线 2x- 3y= 0与 2x+ ,3y= 0为渐近线，以(0,

7、 7)为一个焦点的 双曲线. (1 )求双曲线C2的标准方程； (2)若G与C2在第一象限内有两个公共点 A和B，求p的取值 范围，并求FA FB的最大值; 2 h p (3)若=FAB的面积S满足S FA FB，求p的值. 3 21、(本题满分 12 分) 已知函数f (x) =(2-a)(x-1)-2In x,g(xxe1.( R,e 为自然对数的底数) (I)当a =1 时,求 f (x)的单调区间; 1 (Il)若函数f (x)在(0,)上无零点,求 a的最小值； (III )若对任意给定的xo三i：0,el,在 0,e 1 上总存在两个不同的(1,2), f(xj 二 g(x0)成立

8、,求 a的取值范围。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22、选修 4-1 :几何证明选讲 如图，圆 O 与圆 Q 相交于A B 两点，AB 是圆 O 的直径，过 A 点作圆 O 的切线交圆 E,并与 BQ 的延长线交于点 P, PB 分别与圆 0、圆 C2交于 C, D 两点。 求证：(I )PA PD=PE PC (n )AD=AE 使得 Q 于点 23、选修 4 4:坐标系与参数方程 2 在极坐标系中，曲线 L : :?sin d =2cos，过点A (5, a ) ( a为锐角且tan二3)作 2 2 平行于= - R）的直线丨，且丨与

9、曲线 L 分别交于 B, C 两点。 4 （I ）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度, 写出曲线 L 和直线丨的普通方程； （n）求|BC|的长。 24. （本小题满分 10 分）选修 4 5 :不等式选讲 已知关于 x的不等式| 2x 1| - | x -1| _ log 2 a （其中a 0）。 （I ）当 a=4 时，求不等式的解集； （n）若不等式有解，求实数 a 的取值范围。 20112012 学年度下学期一模考试 高三数学（理科） 一、 选择题 1 1、A. A. 2 2、C. C. 3 3、D. D. 4 4、A. A. 5 5、C.C.6、B.7、D.

10、 8、B 9、D.10、A 11 二、 填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 3V * 13、-18 14 、 15、10 16 、n 2n 1 k 三解答题（共 6 个小题，共 70 分） 17、解法一：（I ）证明：因为 cos（:；亠J =cos cos ： - sin sin : cos（：-）二cos： cos ： -sin _：isin -, -得 cos（卅亠卜）一cos（:; ）=-2sin ： sin :.- 分 令：一 A,： - 一B 有:=B 2 2 A + B A B 代入得 cos A cos B = -2sin - sin - . (n)由

11、二倍角公式,cos2Acos2B = 1 -cos2C可化为 2 2 2 1 -2sin A-1 2sin B 2sin C,. 所以 sin1 2 A sin2C =sin2 B . . 9 分 设 ABC的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 由正弦定理可得 a2 c2二b2 . 11分 根据勾股定理的逆定理知 ABC为直角三角形 . . 12 分 解法二：(I )同解法一. (n)利用(I)中的结论和二倍角公式，cos2A - cos2B = 1 - cos2C可化为 -2sin A B sin A - B =11 2sin2C , . 8 分 因为 A,B,C 为ABC

12、的内角，所以A B -：, 所以一sin A B sin A-B =sin2 AB. 又因为 0 ： A B ：二，所以 sin A B p 0, 所以 sin A B sin A-B =0. 从而 2sin AcosB=0. . 9 分 又 sin A = 0,所以 cos B=0 ,故三 B = . . : 所以 ABC为直角三角形 . 12分 18、解析：(1)投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的， 其概率为 只=舟 6 1 =3. 只投掷一次不可能返回到 A点；若投掷两次质点 P就恰好能返回到 A点，则上底面出现 1 1 1 1 1 37 所以，质点P恰好返回到A点的概

13、率为：P= R+ P3+ P4= +；+门=爲.6 分 建立平面直角坐标系, 、D. 12、C. ,- . 1 分 . 2 . 5 分 的两个数字应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为 Pa=(彳冬 3= 3； 若投掷三次质点 P恰能返回到 A点，则上底面出现的三个数字应依次为： (1,1,2)、 1 3 1 (1,2,1) 、(2,1,1)三种结果，其概率为 P= (-)3X 3=-; 3 9 若投掷四次质点 P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为： (1,1,1,1) 其 1 1 概率为 P4=(?4= 8. 3 9 81 81 (2)由(1)知，质点P转

14、一圈恰能返回到 A点的所有结果共有以上问题中的 7 种情况，且 E的可能取值为 2,3,4 , 3 3 1 则 P( E= 2) = 7, P( 3) = -, P( E = 4) = 7, 所以，EE= 2x3+ 3x3 + 4 x-= 9. 12 分 19.(满分 12 分)解：(1 )取 AC 中点 0,因为 AP=BP 所以 0吐OC 由已知易得三角 形 ABC 为直角三角形， 0A=0B=0C, POA POB POC,. OPL OB OP 丄平面 ABC, v OP 在平面 PAC 中，.平面 ABC丄平面 APC 4 分 (2) 以 0 为坐标原点，0B、OC OP 分别为 x

15、、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系 . 由已知得 0(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0), C(0,2,0),P(0,0, 2.3), - BC =( 22,0), PB =(2,0,2.3), AP =(0,2,2 3) 设平面 PBC 的法向量云=(x, y,z), 由BCn 1 =O,PB *n0得方程组 _2x 卑，取 n=33,1) 2x -2 3z =0 21 cos ：: AP, n 7 直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 分 分 21。 7 (2)由题意平面 PAC 的法向量n2 =OB=(2,0,0), 设平面 PAM 的法向量为 n3 = (x,

16、y,z), M (m, n,0) / AP =(0,2,2.3), AM = (m, n 2,0)又因为 AP n3 =0,AM n3 = 0 y+2j3z=0 J mx + (n +2) y =0 取匕=(空也 2,-3,1) 2 3(n 2) T T cos : n2, n3 = I n 2 2 2 3( - ) 3 1 1 m 3(n 2)2 =32 m .3( n - 2) 4、2m 11 B 点到 AM 的最小值为垂直距离d = 8 2 _2 3 =8 .一70 2. 25 o .35 35 20 解：（1 ）设双曲线C2的标准方程为: 2 y 2 a X2 b2则据题得: a =_

17、2 c = V7 又 a2 +b2 =c2ja2 I b -、-3 双曲线C2的标准方程为： 4 12 分 y2 x2 (2 )将y2= 2px(p 0)代入到 1中并整理得: 4 3 2 2X - 3px 6 = 0 设人(论，yj, B(X2, y2)其中为 0,X2 0, yi 0, y2 0则 x, x2 2 =(-3p) -4 2 6 0 竺 0 2 tx2 = 3 4逅 p P -y 又 F(?0) .FALFB =(x1 2 _ X2-卫)+YIY2 =X!X2 - 卫(Xi X2)E 2p. X1X2 2 2 4 fp2 2 3p 3 工1(p2、3)2 9 空 9 当且仅当p

18、 =2 、3时FA FB的最大值为 9 (3)直线 AB 的方程为： 一 =即(x2-xj( y-yj-(y2 - yj(x-为)=0 丫2一 yi X2Xi p I -yi（X2 -为）-（丫2 F（p，0）到直线AB的距离为： _Xi) I a -汀(Y2 - Yi)2 , 1 丨 - yi(X2 - Xi) -(y2 - yi SIABId =；|AB| N)l X2 Xi)2 (y2 - yi)2 1 1 s =?|AB|d 匚|-丫1&2-Xi)-(y2-yi -Xi)| 二丄(2、3 p) ,3p2-4、3p 4 又S= |FA?F. |(_1 p2 +2船p +3) =

19、1(23 + p) J3p2 _4/3p p = 2T3 2 21、解: 当 a =1 时，f (x) = x -1 - 2ln x,则 f (x) = 1 , x 由 f (x) .0,得 x 2;由 f (x) ：0,得 0 ：, x :：: 2. 故f (x)的单调减区间为 0,2 1,单调增区间为 2 : 1 (II)因为f(x)：0在区间(0,勺)上恒成立不可能， 1 1 故要使函数f(x)在(0,q)上无零点，只要对任意的 x(0), f (x) 0恒成立, 即对x(0),a .2空上恒成立。 2 x -1 c 2ln x 1、 =2 ,x (0,二)， x -1 2 2 =2ln

20、 x - 2,x (0,), x 2 x2 x x2 0, 1 1 故 m(x)在(0,-)上为减函数，于是 m(x) m(-) = 2 - 2ln2 0, 2 2 从而,l(x) 0,于是 l(x)在(0,丄)上为增函数， 2 所以 l(x)：丨(丄)=2 4ln 2, 2 故要使 a 2 - 2ln x恒成立，只要 a：=l-4l n2,：；3?, x -1 1 综上，若函数f(x)在(0 庁)上无零点，则 a 的最小值为 2-4l n2. . 6 分 (III) g (x) e1* xe1_ =(1 Xie1*, 当 x，(0,1)时,g (x) 0,函数 g (x)单调递增； 当 x1

21、,e 时,g(x) ：0,函数 g(x)单调递减. 令 l(x) 则 l(x) -(x -1) -21 n x x (x-1)2 2ln x 1 -2 x (x-1)2 再令 m(x) 又因为 g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e e1 0, 所以，函数g(x)在 0,e 1 上的值域为 0,11. . 7 分 当 a = 2 时,不合题意 2 (2 a) x 2 (2 a)( X ) 当 a = 2 时，f (x) =2_a 上=( )X_2 0,e X X X 2 当X 一 时，f (x) = 0. 2-a 由题意得,f(x)在 0,el 上不单调， 2 2 故 0 : e,即 a ：

22、 2 - . 9 分 2 -a e 此时，当X 变化时，(X), f (X)的变化情况如下： (0缶 2 2-a (2 I !,e I2 - a (X) 一 0 + f(x) 最小值 又因为，当 Xr 0 时,f(x)r ：, 2 2 f ( )=a-2ln ,f(e) =(2-a)(e-1)-2, 2-a 2-a 所以,对任意给定的 x0E(O,e,在(0,e上总存在两个不同的 x(i=1,2), 使得 f (x) =g(x0)成立，当且仅当 a 满足下列条件： 2 2 令 h(a) = a - 2ln ,a - (- ：-,2 一)， 2a e 则 h (a) =1 2ln 2 ln(2 a) = 1 - 2-a 得 a = 0 或 a = 2, 故当 a (：,0)时,h (a) 0,函数 h(a)单调递增； 9 当 a (0,2 - 2)时,h (a) 0,函数 h(a)单调递减. e 所以,对任意 a (-：，2 ),有 h(a) h(0)=0, e 即对任意a(：，2 )恒成立。 e2 f2， f(e) -1, 即 a2ln -0, (2 -a)(e-1)-2 _1. 10 分 3 由式解得：a乞2 . e-1 综合可知，当a =2-二 时,对任意给定的 O,el, v e1一 0 在0,e 1